X* .T'' OX

EQUATIONS DIKFKRENTIELLES. 113

V. f :=z e-^ X co?> X . — Faisons le cliangemenl de varialjle y = e--^z; les nouvelles racines sont — i, o: donc

z" -\- z' = X CCS 37,

z' -h z = I 37 cos^ o^a? = 37 sina; H- cosa?. Substituons

z z= (nX -{- Ù) ces 37 + (C37 + (/)sin37,

z' = (ex -h d -h a) cosa7 + ( — a37 — /->-i-c)sin3-, « + c = (), b ^ d -h a — 1 , c — a = i, d — b -\- c = o;

d'où

JK4 = e--^ M — ^^^ h I ] ces 37 -i- I — H 1 sina-

sin37 .

rCn définitive, l'intégrale générale de Féquation proposée est

r = Cie-^-f- ce^-^H 1 1-4 — e-^l 1 1 h 3x

e-^ l „ bx- IQ37 6)\ „ f/ ^ \ (.rn-ii .

' X^ -\ 1 '- r- TTT -(- e2-^' hl COS37-^- 10. Déterminer iiiiLégrale de

y" — 'i-y' -^ 'ïy = X e^ ces 37,

qui s'annule pour x^=o. en même temps que sa dérivée. Cherchons d'abord l'intégrale générale.

I. Equation sans second membre. — Les racines de l'équation caractéristique /■- — 2 /• + 2 =1 o sont I ± /; donc (n° 197)

(i) jKo = e-'^(Gi C0S3" -t- 0-2 siii3').

II. Intégrale particulière (').. — Décomposons le second membre

en — e^('+'')-|- 1- e-^c-'). Pour le premier terme, faisons le changement de variable y =z e''<'+'' z ; les nouvelles racines sont o, — 2 /; donc

^ -i- ■>IZ = -;- .

(') Nous engageons le lecteur à recommencer la déleriiiinalion de celle inlégrale par les deux autres procédés inili(iiiés an ii° 198 (IV). Il pourra ainsi ciuniJarer la rapidité des trois mélUodes.

Il6 CHAPITRE XV.

Substituant

z = — i-—-^ax~b, o

on trouve

d'où, en négligeant le terme en b, qui rentre dans Ko,

yi= — e-^i-i-'"'( — ix + i) = — e->^(cos^ -;- i sina?) ( — ix -+- 1).

Pour le second terme -e*i'-'), on obtiendrait une intégrale particu-

lièi~e imaginaire conjuguée de celle-ci; en la lui ajoutant, on doit trouver le double de la partie réelle de i,. On peut donc écrire tout de suite l'intégrale relative au second membre complet, "à savoir

(2) — e-^(cosa7 H- 37 sinar),

l'intégrale générale étant dès lors

(3) j' = e-*^ f Cl cosa:' -1- Co sinj- -I- — cosa: -i- — sin^r j ,

III. Calcul des constantes. — En annulant .r dans y, nous avons d'abord Ci = o. Prenons ensuite la dérivée, en laissant de côté les termes qui disparaissent pour .z :=o; il vient

, /^ cos,z- \

j = e-ï" I C2 ces a: H r- . . . I .

Écrivant f|ue y' s'annule a\ec r, nous avons C2=: 7- Finalement,

l'intégrale demandée est

y =^ — \ X cos X -\- ( x"^ — i)sina7].

1 1 . Intégrer l'ér/ualion y" — 4 J'' + 4/ = ^' <?"'^'

I. Equation sans second membre. — L'équation caractéristique r- — 4'' + 4 = o a u'ie racine double égale à 2. Donc ( n° 107)

jo= e2-'-(Ci x-\- C2).

II. Intégrale particulière. — liaisons la transftuni^tion y =1 e--^ z : les

nouvelles racines sont o, o; donc

L'intégrale générale esl donc

1^. Intégrer l'équation œ-y" -\- pxy' ^ qy=^o {p, y^const.). par c/ian

On a

le changement de variable x t3 e'

, dy cly dt dy 1

c^a- rff dx dt x^

dy' f/-r 1 <^i' I

^j" dt^- X- dt x-

Portons dans l'équation proposée

, , d'Y , . dy

équation linéaire à coefficients constants.

Soient /i. /'o les racines de l'équation caractéristique

L'intégrale générale esl y z=i Cje''' -h C^e'-', ou

(3) y = CiX'-^~C2X'-2.

Dans le cas où /■,= /'i, y = e'"'' (Cj^ H- C^),

(4) y — x'>{Gi\ogx -h Cî).

On peut arriver directement à ce résultai, en faisant le changement de variable r = 07'';, qui donne

j-2 ^" ^ 3"( i f -^ p) z' -r [ r ( r — i) ~- pr -r- q \ Z = o.

On annule le coefficient de z et l'on a une équation du premier ordre en ;;'. Nous laissons au lecteur le soin d'expliciter les calculs et de retrouver, par cettç voie, les formules (3j et (4).

I l8 CIIAPIÏRK \V

EXERCICES PROPOSÉS

1. Trouver les séries entières (|ui véiifienl les équations diflerentielles

(I) xy" -^ (2/1 -^- i)y — xy = o (équation de Bessel),

(II) y'+.r/' + j>- = o,

(III) (i — -'î"-)jk" — xy-\-y = o,