CHAPITRE XIX. — ÉLIMINATION

On pose .V — y -h c et ron détermine y et z par les équations

Déduire de là que les trois racines de (i) sont données par la formule (de Cardan)

les deux racines cubiques étant associées de manière que leur produit soit — ^. (Cf. Leçons. n« 280.)

TRANSFORMATION DES ÉOUATIONS.

EXERCICES RÉSOLUS

1. Former l'équalion aux carrés des racines de V équalion (i) .r*-t-m.r*-; x--h mpx -{- p^= o.

Nous allons éliminer a: entre (i) et (2) j^x\

En tenant compte de (2), (1) s'écrit

y- -+- tnxy -, y -t- mpr -f-

d'où

in-

Portons dans

On obtient une équalion Incarrée. L'ayant résolue (n° 2i2)^ on aura les quatre racines de (i) par l'application de la formule (4).

Il convient toutefois d'observer ici que celle formule n\'st valable que si m{y H- /?) ^ o. Le cas 011 m r:r o n'offre aucun intérêt, car l'équation (i) se réduit alors à x'* + p-=zo. N'oyons maintenant ce qui se passe

si y = — p. En portant cette valeur dans (3), on a la condition /^ = -^- .

l58 CHAPITRE XX.

Si celle condllion esl remplie, l'équation (i) est vérifiée pour

Son premier membre est divisible par x- + /); on trouve d'ailleurs pour quotient

Les racines de (i) sont donc, dans ce cas, ± f— et — — ? qui est racine

double.

Revenons au cas général pour discuter la réalité des racines. Observons d'abord que, d'après (2) et (4), -r et y sont réels en même temps. Or, pour que (5) ait des racines réelles, il faut d'abord que l'on ait

u. pm - H ~

m- {ip —

./,-— )èo.

l^carlant les cas deja examines de w= o, p zzz —5 nous avons la condition

pi'-^

En second lieu, l'équation (5), considérée comme du second degré en 7-, doit avoir au moins une racine positive. Mais, ses deux racines ont le même signe, car leur produit /)'* est positif. 11 faut donc que la somme soit positive, ce qui se traduit ])ar

.ipni^-\ — < o.

Le premier membre est un trinôme du second degré en p; ses racines

sont — (2 ih y/2) ; et /? doit être compris entre elles. Mais, celte dernière

condition est incompatible avec (7), si I on observe que— (^2 — V2; > — •

Il s'ensuit que l'ér/uation (1) n'a jamais aucune racine réelle^ sauf le

cas ou p =. —j-'

TRANSFORMATION DES ÉOL'ATIONS. iSg