Faire la transformation
sur l'équation
II nous faut éliminer x entre (i) et (2). En tenant compte de (i),
(2) s'écrit
< ■■* —yy-^^-{-^ —y) — Â(--'- —y) — 4-'.'+ i = o
ou
y-^-i Portant dans (i). il vient
(JK-— 3)2-|-(jK— 2)(jK+2)2=0 OU
On retombe sur l'équation proposée. Il semble donc que la transformation soit inutile au point de vue de la recherche des racines. Xous allons voir qu'il n'en est rien.
Ce qui précède nous apprend que si y. est une racine de (2). 2 — y.- en est une autre, d'ailleurs distincte de a, car on ne peut avoir a := 2 — y.que pour a = i ou — 2, valeurs qui ne vérifient pas (2).
Les racines de ( 2 ) sont donc de la forme a, j3, 2 — a-, 2 — |3^.
Si Ton pose cz -f- |3 ::= p, a[3 :^ ^, on a
( ■> — a2 ) -H ( 2 — ^2 ) = 4 — /?2 + 2 5et
On en conclut qu'il doit exister une identité de la forme
./•'• -4- .r^ — l\jc- — 4 ■'' -î- I
= {x'^ — p.r— q)[x''--r- { p"- — -iq — :^)x ^ { q -^ i)"- — ip''-\
Autrement dit, le système
(3) \= p'^—xq — !^— p^
(4) — 4 = (^ -H •>.)-— Il p"- — p"- -^ ipq -h ^p-^q,
(5) — 4 =—p^q -^ •'•)-+ ■ip-^-^-qp"-—iq-—Aq,
doit être compatible.
[6o CHAPITRE XX.
Multiplions (4) pai" p et ajoutons à (5)
— 4 — 4/J =— />^+ T,p-q -i- !xp--\-pq — 'Kf —
ou, en remplaçant 7 par sa valeur' tirée de (o).
(7) p--^p — 1 = 0; moyennant quoi on a
Si. dans (4), (5), (6), on remplace maintenant p- par i — p et q par — {p + 2), on constate qu'on obtient des identités.
Finalement, l'équation proposée se décompose en deux équations du second degré, obtenues en remplaçant p par les deux racines réelles de (7) dans
ce qui donne
p ± v/3 ( yo -4- î )
(en remplaçant p- par i — p sous le radical), avec /> = - ; d ou
les quatre racines
./'i = — ij8'2, .r2 = — 1,34, ./-s =0,21, .;'4 = i,95.
calculées à j iô pi'ès.
Comme vérification facile, on constate (|ue la somme est bien égale à — 1.
3. Théorème. — Toute transformation rationnelle effectuée sur une équation du troisième degré peut être ramenée à une transformation entière du second degré au plus ou à une transformation homographi que.
Soit l'équation du troisième degré
et la transformation rationnelle
(pC.r)
où g et '^ désignent deux polvnomes (]iieicon(|nes, le second étant pre-
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. «6l
mier avec /(.r), afin que / reste fini pour toutes les racines de (i). En vertu de cette hypothèse, on peut trouver deux polyuomes U et V donnant lieu è\ l'identité (n"^ 209)
(3) U/(.r) + VJ;(,r)^..
Si l'on y remplace x par une racine de (i), on olilienl
En portant dans (2), on obtient la transformation entière équivalente y -=y o{x). Mais, si N ra{x) est de degré > 2, on peut le diviser par f{x), ce qui donne l'identité
(5) Vc?(ar)=/(.r)Q-R(.r),
R(j?) étant au plus du second degré. En y remplaçant x par une racine àt f{x), on voit que \ o[x) et R(.r) prennent la même valeur; de sorte que la transformation (2) équivaut finalement à la transformation entière du second degré (')
Je dis maintenant que cette dernière équivaut à une transformation homographique. En efTet, divisons/(^) par K(./); nous avons
Q(jr) et p{x) désignant deux polynômes du premier degré. Si X vérifie (i), on a
de sorte que (6) équivaut à la transformation liomograpliique
pi ./■)
k. Calculer 7 -r-. ; r—r^ 7-, " pour les racines a, h, c de
jLd(a' — a- — i) ( b*— 0~— i) '
l équation
( ' ) Le lecteur démontrera de la même façon que toute transformation rationnelle effectuée sur une équation du rt''""* degré équivaut à une transformation entière de degré n — 1 au plus.
IIaag. — Exercices. I. 11
iOl CHAPITHE XX.
Nous allons faire la transformalion
puis, nous calculerons la somme des produits deu\ à deux des racines de l'équalion transformée.
Nous pourrions, d'après le théorème de Fexercice précédent, nous ramener à une transformation liomoi^raphique. 11 est plus rapide de procéder directement. Contentons-nous seulement, comme simplification préliminaire, de remplacer le dénominateur de (2) par son reste de division par ( i), à savoir — {23:- -{- Sjc -H 2 ). Nous avons alors à éliminer ce
entre (i ) et 7- = — —
a.r^jK — •■''( 3 jK -K i) -I- 2JJ' = (>.
La combinaison 2j'.(i) — (3) nous donne, en divisant par jo. qui ne peut être nul,
/ij.r^y
Cette équation i)eul rem])lacer (i), à condition que j'^o. Annulons le résultant de (3) et ( 4 ) :
4 J-(7 — >)"--+- ••iJ''7J>'-^')U37-4- i)(j — i) + 8j-2) = ().
En divisant par 21 , qui est un facteur étranger, nous obtenons Téqualion tran^formée. Il nous suffit dailleurs d'en calculer les coefficients
de y^ et de ^^ : on trouve -q et — -. La somme cherchée est donc —•
5. Former l'éfjiiaiion aux carrés des différences des racines de
(1) x^-{- p.r -h (j = it.
Premiiiie niétliode. — Soient <7, h, c les trois racines. Nous devons faire la transformation du second ordre y =:: {a — h)'-. Mais, elle est s\'mélrique et peut être ramenée à une transformation du premier ordre (n° 24.5). Kli'ectivement, on peut écrire
y — (a-^by
\ab = c--i- A —
L'équalion transformée sera donc obtenue en éliminant .?• entre (i)
4 <7 et j = x'h -, ou, en chassant le dénominateur et remj)laçant a-*'
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. l63
par — (/>.r + 7),
Portant cette valeur clans (i), nous obtenons Téqualion demandée
Deuxième méthode. — Appliquons la méthode générale décrite au
n° :îi7. Posons
d'où
l']crivons que a el b vérifient (i) :
(6) ■ (u — vy^^pi u — {') -r- q = o;
d'où l'on déduit, par addition et soustraction,
(7) «■'-)- 3 MC- +/><<-+- ^ = o,
(S) 3i<- + i'--i-/> = o (en divisant par c).
Posant i'-^'Ç et éliminant u, nous aurons l'équalion cherchée. En tenant compte de (8), (7) s'écrit
On en tire i( et, en portant dans (8), on retrouve l'équation (.4).
Remarque. — En prenant le produit des racines de (4), on retrouve la formule établie à l'exercice résolu n° h du Chapitre \\ III.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Former les équations aux. carrés et aux cubes des racines des équations complètes du troisième et du quatrième degré.
