Décomposer en facteurs réels du second degré le polynôme
Nous commencerons par faire, au sujet de cette décomposition, les observations suivantes : Soient j:,, ^o, j:^, ^4 les racines de l'équation
Si Ton ne se préoccupe pas de la réalité, il y a trois manières d'efifectuer la décomposition : il suffit, en effet, d'associer le facteur linéaire ■c — ^1 successivement avec x — ^j^ ■^ — -^3! ^' — ^u, en associant entre eu\ les deux facteurs restants. On peut donc prévoir que le problème va dépendre de la résolution d'une équation du troisième degré (').
Si Ion suppose maintenant que a. b, c soient réels, il peut arriver que les quatre racines soient réelles, ou bien que deux soient réelles, par exemple œi et .r.,, les deux autres étant imai^inaires conjuguées ( n° 2'i-9) ; ou enfin que les(|uatre racines soient imaginaires, .r, et x^ étant respectivement conjuguées de jc, ^^ x.^.
Dans le premier cas, les trois décompositions prévues sont réelles. Dans les deux autres cas, il faut associer ,r — .r, avec x — x^ pour obtenir un facteur réel (-); donc une seule décomposition est réelle.
Voyons maintenant comment on peut résoudre le problème sans calculer au préalable les racines de f{x). Employons la méthode des
(') D'où il résulleia une iiuiivelle luclhoilr de résolution alyclu i<)iic de Téqual ion du (|ualrième degré; car si l'on calcule une racine de l'équalioii du troisième degré à laquelle il est fait allusion, on en déduira la décomposition de ré(|uation (i) en deux équations du second degré. Rappelons, d'autre part, (jue l'équation générale du quatrième degré se ramène aisément à la forme (i), { n" î'i^, 1).
('-) Hapj)elons que le produit de deux ima;;iriaires conjuguées est réel ( n° 33).
KQIATIONS A COEFFICIENTS RKEI.S. 167
coefficients indéterminés et posons, en remarquant de suite que la somme des racines est nulle,
(2) x'* ^ ax--\- bx ^ c = Cr--|- a X -H 3,)(.r2 — a.r -+- 3').
Identifions
puis, en posant a^ = x;,
Nos prévisions se vérifient. Ayant une lacine de (4), on prend (xz=i-\~ s/z; puis, on calcule 3 et 3' par (3), et l'on a une décomposition. En prenant a= — y/s, on retomberait sur la même, les deuv facteurs ne faisant visiblement que s'échanger.
Le nombre des solutions réelles est égal au nombre des racines positives de (4). Or, ^(o) et ff{-h'x>) ayant respectivement les signes — et +, il y a dans l'intervalle (o, +co) un nombre impair de racines (n" 250), c'est-à-dire une ou trois ('). Il y a donc bien une ou trois décompositions réelles.
2. Théorème des lacunes. — Le nombre des racines imaginaires d'une équation algébrique est au moins égal au nombre total n des racines imaginaires des équations binômes obtenues en annulant successivement tous les groupes de deuv termes consécutifs.
Pour que les équations binômes dont il est question donnent des racines imaginaires, il faut qu'il manque des termes dans l'équation proposée, ou, comme on dit, que son premier membre f{-r) présente des lacunes.
Soient V et V les nombres de variations de f{.i-) et /( — r). Le nombre des racines imaginaires est au moins égal à m — ( V -+- V), en appelant «i le degré de l'équation {n" 253). Or, nous allons prouver ([ue cette différence est précisément égale à n.
A cet effet, imaginons que l'on complète f{-i') par des termes quelconques. Soient Vj et V, les nombres de variations présentées par le polynôme fi{x) obtenu et par/, ( — .r). On sait (n° 253) que V, -+- V, ■=. m.
(') On pourraiL aussi invo(|ut!r le llirorème de Dfscarles. Il doiiiii'rait inrmo le nombre exact îles solutions réelles, dans le cas où g{z) a toutes ses racines réelles
l68 CFIAPITRE \\I.
D'autre part, soient X,,xp et \/,^x'f'~'' deux termes consécutifs quelconques de /{-t). Us présentent une lacune de (j — i termes. Si q est impair, ils fournissent une unité dans V + \ '; si «y est pair, ils fournissent G ou 2 unités, suivant que Kp et A,,.,, sont de même signe ou de signes contraires. Dans les trois cas, ils fournissent autant d'unités que l'équation binôme
a de racines réelles.
Si l'on considère maintenant dans y, (/) le groupe qui est limité par les deux termes ci-dessus, il donne «y unités dans Vj 4- Vj, c'est-à-dire un nombre égal au nombre total des racines de (i). Il en résulte, par conséquent, dans la différence (Vj -t- Vj ) — ( V + V), un nombre d'unités égal au nombre des racines imaginaires de (i).
Si l'on raisonne de même pour tous les groupes de deux termes consécutifs dey(j"), on voit que la différence
est égale à la somme n des nombres de racines imaginaires de toutes les équations telles que (i). c. Q. F. D.
Remarque. — Pour les équations à coefficients numériques, ce théorème ne présente aucune utilité, car il équivaut au calcul de la somme V 4- V, lequel est alors immédiat. Pour les équations à coefficients littéraux, il peut servir (juelquefois. En particulier, il arrive qu'en multipliant un polynôme complet par un facteur convenable, ne possédant que des racines réelles, on introduise des lacunes signalant l'existence de racines imaginaires au produit, donc aussi au polynôme primitif.
C'est ainsi qu'on peut établir certains théorèmes, tels que ceux de de Gua el d^ Hermite. {Cf. Exercices proposés, n°^ 7 et 8.)
3. Trouver la limite supérieure des racines positives de l'équation (\) ix^ -h X'> — ^x'< -^ x^ -^ ix''- — j .r -I- I = 0 .
Nous allons appliquer successivement les trois méthodes décrites aux n°^ 257 et 238, à titre de comparaison.
I" Règle de /Veivlon. — Les dérivées successives sont :
( 2 ) iSx^>-+- '> x'' — iC)X^^ ix'^-^ ^x — ) ,
Ci) 9.(.'\'}x'' ■+- loj;' — i.'xx^-i- '5x -f- '^.), (4^ 0(Gor'-H loa:- — i6jr-l-i),
C») fJi( s'iX- -i- jx — 4).
ÉOIATIONS A COEFFICIENTS RÉELS. 1 69
La quatrième admet une racine positive, qui est << i , car œ ^ i donne, dans (5), un résultat positif. Le même nombre, substitué dans (4), (3) et (2), donne encore des résultats positifs. Mais, dans (i), on obtient — i. Substituons 2; nous obtenons un résultat positif. Donc 2 est limite supérieure des racines positives.
2° Règle des groupements. — Considérons le polynotne (1) comme la somme des deux suivants :
(6) 'ix^ — !\x'*^ix-^
( 7 ) x'^-\- x^ — 5 ar,
Le premier x-{'èx* — \x--\-'2.) est toujours positif, car le trinôme en xentre parenthèses a ses racines imaginaires. Le second peut s'écrire œ{x'^-\-x'- — 5). La racine positive du trinôme en x- est
Donc, y/2 est une limite supérieure des racines de ce trinôme. Comme (8) est positif, on voit qu'on peut prendre \i comme limite supérieure.
3° Règle de Lagrange. — Elle donne, comme limite, i -+- 1/:t- On
voit que la limite la plus rapprochée est donnée par la règle des groupements.
4. Hechercher les racines commensurahles de l'équation (i) 8:r'' — 34.î^'' — i 1 .r^-i- l 'yix^ — 76x'- — M^x -+- 18 = o.
Diviseurs du dernier terme .•1,2, 3, 6, 9, 18.
Diviseurs du premier terme .•1,2, 4» 8.
Racines possibles : ±\, d= 2, ±3, ±6, ±9, ±18, ± -, ± 'y — r '
-h L -\-l -t-'J -i-i --^ in" — 4 ' ~ 4 ' ~ 4 ' ~ <^ ' 8 ' 8 ■
Par la règle de Lagrange, nous déterminons les limites suivantes des racines :
, . . , . , . . . -fi
Limite supérieure des racines positives : i h — — <; 1 1 ;
Limite inférieure des racines positives : > -;
Limite infcrieure des racines négatives :
^1/ — ; =— u+ v'ig
Limite supérieure des racines négatives : =z < — -•
Nous devons donc enlever du Tableau précédent — G. — 9, ± 1 8, ± - •
Règle d'exclusion: f{i) = ï8./{—i)=i — i^o; ce qui nous enlève
et
lieste a essayer : — 2, -h o, , -\ — , -\ — , , -i — ,
.7* Lassai de — 2. — Divisons par 1 -h - (n° -260, IV). Nous avons la suite
des coefficients
18, — 4'"^, — J '. ^-'7^- — l'Jf», i*^ ô-
Donc, — 2 est racine; le quotient correspondant est, au (acteur 2 près,
( 2 ) fi(x)^î^x^ — 5o a:^ -t- 89 r^ — 26 .r- — '24 a; -4- 9.
Il nous reste à essaver les mêmes nombres sur ce quotient ( ' ).
Essai de — 2. — Divisons par i -f- - • Le |)remier coefficient 9 n'est
pas divisible par 2. Donc, l'essai ne réussit ])as.
Essai de +3. — J)ivisons par i — '—
9, — 21, — ']3, -1-78, — 2.4, o. ( ' ) La réfile d'exclusion ne donne rien;
./i(') = 77— 7 = '^ cl /i<—i)--'— ^= — 140
sont divisibles rcgpecli veinent par les ( a - |i ) et ( a ^- fi ).
EQUATIONS A COEFFICIENTS RÉELS. 17 1
3 est racine; nous avons le quotient (divisé par — 3)
(3) fii^) ^ B.r'* — iQx^-T- 1 1 :r'--r- ~x — 3.
f.y{{)zzz — 3 n'est pas divisible par 3 — 1 = 2; donc, 3 n'est plus racine. Les autres nombres à essaver ne sont pas éliminés par la règle d'exclusion.
Essai de — Divisons par x -\ —
est racine: nous avons le quotient (divisé par :>. )
(4) /a ( a? ) 5= 4 -2^* — i'}X--hi'ix — 3.
f^{i):= — I n'est pas divisible par — i — 2 = — 3; donc, — - n'est plus
racine ('). De même, - est exclu. Restent à essayer- et -•
Essai de - • — Divisons par i — -v
— 3, II,
I I X X n est pas entier; donc, - ne convient pas.
Essai de - • — Divisons par a: — - 4 i
- est racine: nous avons le quotient
(5) fj X) = x-—'ix -h i,
II • ■> ±= i/^ dont les racines sont
Finalement, les racines de l'équation (i ) sont — :^. 3, , - -,
EXERCICES PROPOSÉS
1. Si une équation algébrique à coefficients entiers ailinet une racine de la forme a-\-b\/l^, où a, ^, N désignent des nombres rationnels.
(') Oa peut aussi observer que, d'après le théorème de Descartes, l'équation (i) a au plus deux racines néjj'atives.
l~l CHAPITRE X\I.
dont le troisième n'est pas carré parfait, elle admet aussi la racine a — h \ y> au même ordre de multiplicité.
(Démonstration analogue à celle du n° 2W, \ A jouant le rôle de /. )
^. Reconnaître si l'équation a-^ — 5,/ ■ — 2 =r o admet une racine de la forme ci-dessus.
(Il doit y avoir une racine commensurable. )
3. Décomposer en facteurs réels du second degré les polvnomes
[On peut passer par l'intermédiaire des facteurs linéaires. Pour les deux premiers, on peut aussi employer la méthode des coefficients indéterminés, ou bien mettre le polynôme sous la forme d'une diftérence de deux carrés : d'une façon générale, on peut écrire
x* -t- ax--\- ù- = (x--{- by- — (ib — o )x-.~\
