Décomposer de même

(X-^X — l)--i-x'*, {X--r- iy~\- (X — l)",

x^ ^ x' -\- x''' -^ x^ -i- x"* -h x^ -i- a:- -{- X -h 1 . < Chercher les racines imaginaires

5. Démontrer que si f{jc) a toutes ses racines réelles, il en est de même de /(./) + /./'(.r), quel que soit / {M. P., 1909).

[D'après le théorème de RoUe (n° 61), /'{-Jc) a toutes ses racines réelles; les substituer dansy"+ À/ •]

G. Prouver que, (|uel que soit m, l'équation

x* -\- "ix^ -\- inx^ — X — 5 =0

a une racine positive et une seule.

7. Démontrer (|ue si trois coefficients consécutifs d'un polynôme sont en progression géométrique, il a au moins deux racines imaginaires {de Gua).

(Si <7 est la raison, multiplier par x — q et se reporter à l'exercice résolu n° '2. )

ÉQUATIONS A COEKKICIENTS RÉELS. 173

8. Même propriété si quatre coefficients sont en progression arithmétique {Hermite).

[Multiplier par (.r — i)-.]

9. Limites supérieure et inférieure des racines positives et négatives des équations

^ X' -r- '^ X^ -\- ^ X* X'^ 8x^ -^ X — 2 = O, X^ — ix'* -^"ix^ O:- -!- J = ().