L'équation (4) a une intégrale générale de la forme

en portant dans (3), on v^oit que l'intégrale générale de Inéquation de Biccati est de la forme

X— CXi

où C désigne une constante arbitraire et X, X,, X,, X3 des fonctions déterminées de x. Autrement dit, l'intégrale générale de l'équation de Riccati est une fonction homographique de la constante d'intégration.

Lne conséquence immédiate de cette propriété est que le rapport anharmonique de quatre intégrales particulières est constant^ c'està-dire indépendant de oc. Il est, en effet, égal au rapport anharmonique des quatre valeurs correspondantes de la constante d'intégration

325. L'équation de Riccati est liée intimement à l'équation linéaire du second ordre. — Soit, en elFet, l'équation

(6) p^y"^By-Cj = o.

Faisons le changement de variahie

Nous avons

Portons dans (6) et divisons par^

ce qui est une équation de Riccati.

Si l'on sait intégrer (8), on aura l'intégrale générale de (fi) par la formule

déduite de (7).

NOTI': m. — SUR L Kyl ATION DK lUCCATI.

Réciproquement, étant donnée une équation de Riccati, on peut la ramener à une équation lin('aire du second ordre. A cet elTet, il faut d'abord la ramener à la forme (8). qui est caractérisée par ce fait que le coefficient de z^ est égal à celui de z'. On y arrive aisément par le cliani;ement de variable j' = Xg, qui transforme l'équation (i) en la suivante :

Xz' ~ cl-z--~ z{ 01

-HA ; — r/ = o.

Eu })rcnant À = ; on obtient une équation du type (8), laquelle se

ramène à l'équation (G) par rapplication de la formule (7). On jiourrait aisément déduire de là les propriétés démontrées plus liaut, en s'appuyant sur celles du n" 190.

326. Pour terminer, nous citerons encore une autre équation, qui se rencontre assez couramment, et qui se ramène à rëquation de Hiccali. Nous voulons parler de l'équation

-J- = \ cos(£ -+- B sine -r- C,

dj-

où A, B, C sont des fonctions données de r. Posons

il vient

tang.' =j

ce qui est bien une équation de Riccati.

FIN DU l'OMK I.