SIR LE RAPPORT ANHARMONKJUE DK QUATRE NOMBRES

On pourrait le vérifier par un calcul direct. H est plus rapide et plus élégant de se rappeler que la substitution hoinographique équivaut à une succession de transformations élémentaires (n° 244^) et de vérifier que chacune de celles-ci ne modifie pas le rapport anharmonique.

EfFeclivement, si l'on change x en x -\- A, le rapport (i) reste visiblement le même. De même, si Ton change x en kx. Enfin, si l'on change x

en —, on a

Nous n'indiquons pas d'exercices se rapportant à cette Note, parce que Ses véritables applications du rapport anharmonique sont surtout géométriques et seront étudiées en détail dans le Tome II.

NOTE m.

SUR L-ÉOUATION DK HICCATI,

328. On appelle équation de Riccali toute équation différentielle de la forme

(I) ^£=a-^by^cy\

oîi a, b. c sont des fonctions données de x.

On ne sait pas l'intégrer en général. Mais, on peut la ramener à une équation linéaire dès qu'on en connaît une intégrale particulière .

Soit en effet y, une telle intégrale. Si Ton fait le changement de variable

^■>') y^yi — ^,

réquation en z est visiblement de même forme ('); mais elle doit être vérifiée pour^:=o, puisque (i) Test pour y =/i. Donc, elle ne renferme pas de terme indépendant de z] c'est alors une équation de Ber-

noulli (n° 192), qui se ramène à une équation linéaire en posant z^ -•

On peut vérifier toutes ces prévisions en effectuant directement le changement de variable

On trouve, en tenant compte de ce <|ue )', vérifie (i), (4) -n \- uib -^■xcyx)-+- c — o.

Cette équation s'intègre par 2, i ou o (piadrature, suivant (|u"on en connaît G, i ou 2 inlégiales particulières (n" IfM). Donc :

(') Plus généralemi-nl. nous );ii^snn>^ hii liriciir le soin do vôrilier que toute subsfitution homograp/iir^w Irans/oioie une cjuatioi) de niccati en une équation de Uiccati.

SLU l'Équation de uiccati. 899

L'équation de Riccati s'intègre par 2, i ou o quadrature, suivant quon en connaît i, 1 ou Z intégrales particulières.