CHAPITRE III. — CÔNES ET CYLINDBES

€t un axe polaire quelconque S|.r. Cet axe polaire renconlrer, en un point A,, auquel correspond, sur F, le point A. Soient maintenant M un point quelconque de F' et N le point où SM rencontre T. Evaluons la longueur SM en fonction de la longueur s de lare AN de F, soit SM::=y*(5). Dans le développement. M, N \iennent en M,, N, et l'angle polaire 6 de ces points est évidemment égal à j-- On en conclut -que l'équation polaire de F'j est

/•=/(ue).

37. Cas du cylindre. — La construction de F, au mojen dun polv- £one inscrit se fait comme tout à llieure, avec cette seule différence que le point Si est à l'infini. Toutes les droites SjA,, S|B,, ... sont parallèles. Le développement de différentes courbes à partir dune courbe de référence se fait comme dans le cas du cône, ainsi que la construction des tangentes et asymptotes.

Comme courbe de référence, on peut prendre une section droite. La transformée est une droite, sur laquelle on porte des longueurs cgales aux arcs de section droite, pour obtenir des séries de points homologues. Si l'on prend cette droite comme axe des x et un axe des y perpendiculaire, l'équation de la transformée d'une courbe quelconque est y =f(^a;), si /(s) désigne la longueur NM ésaluée en fonction de l'arc AN = s.

38. Rayon de courbure de la transformée. — Reprenons la courbe r et, sur celte courbe, un point quelconque iM. L'axe de courbure de F en M perce le plan langent au cône en un point G, appelé centre de courbure géodésique ; le vecteur IMG est appelé rayon de courbure géodésique et l'on démontre qu'iV se conserve pendant la déformation. Or, quanti le cône est développé, le rayon de courbure iiéodésiquc nest autre que le rayon de courbure ordinaire de la Iransforméc Fj au point M]. Dès lors, pour avoir le centre de courbure Cj, il suffit de construire le poinl G, puis de reporter le vecteur MG du plan SiMT suivant le vccleur honioloi::ue du plan SiMiT,.

Pour que Ml soit un poinl d'inflexion de F|, il faut et il suffit (|ue MG soit infini, c'est-à-dire que le plan osculateur soit normal au cône, lin particulier, les points d'in/le.rion de la transformée d'une section plane du cône sont les points homologues des points où le plan tangent au cône est perpendiculaire au plan sécant.

Toutes ces considérations sont valables pour le dovcl(q>pemenl d'une surface développable quelconque .

39. Contours apparents ; point courant, plan tangent. — Le contour apparent horizontal d'une sphère, qui est le lieu des points de contact des plans tangents verticaux, est é\ ideninient le grand cercle horizontal. Il se projette horizontalement en vraie grandeur, c'est-à-

Fis

dire suivant un cercle avant pour centre la projection horizontale du centre de la sj)hère et pour rajon le rayon de la sphère. Quant à la projection verticale, elle se réduit à un diamètre horizontal. Le contour apparent vertical est, de même, le grand cercle de front. Pour avoir un point quelconque de la sphère, il suffit de prendre un point quelconque sur un petit cercle quelconque horizontal ou de front. On peut, par exemple, résoudre le problème suivant :

PaOBLicMp:. — Connaissant la projection horizontale d'an point de la sphère^ trouver la projection verticale.

Coupons par le plan de front qui passe par m. Nous obtenons un cercle qui se projette verticalement en vraie grandeur et dont on a immédiatement le diamètre horizontal {ah, a'b'). La ligne de rappel du point m rencontre le cercle décrit sur a' h' comme diamètre en deux points jn et m", qui constituent les deux solutions du problème.

he plan tangent au point (m, m') est le plan perpendiculaire au ravon (om, o' m') ; on peut le déterminer par l'horizontale {h, h') et la frontale (/,/'), qui sont d'ailleurs les tangentes aux petits cercles horizontal et de front passant par (m, ni').

40. Intersection avec une droite. — On coupe par un plan auxiliaire contenant la droite. Suivant la manière particulière de choisir ce plan, on a l'une ou l'autre des deux méthodes suivantes :

Première méthode. — Coupons, par exemple, par le plan projetant horizontalement la droite. Nous obtenons un petit cercle, dont le diamètre horizontal est projeté horizontalement en vraie grandeur suivant cd et dont la projection verticale se trouve sur la droite H'. Rabattons ce cercle et la droite (D, D') de son plan autour du diamètre précédent. Le cercle se rabat suivant un cercle décrit sur cd

Fiï. 7-

comme diamètre. La droite se rabat suivant ab, (/>/>i perpendiculaire à D et égal à o'Z;'). Les points ni, et n, sont les raballemcnls des points cherchés ; ils se relèvent en (m. m') cl (/?, «').

Deuxième méthode. — Coupt)ns par h; j)lan ({('terminé par la

droite donnée et par le centre de la sphère. Nous obtenons un grand cercle, que nous rabattons, par exemple, autour de son diamètre de front (o(<r, o' a). Ce rabattement coïncide évidemment avec le contour apparent vertical de la sphère; il est donc tout construit. Reste à

Fig. 8.

rabattre la droite (D, D'), ce qui se fait au moyen du point («, a') sur la charnière et du point (6, b') rabattu en 6(, par la règle bien connue du triangle rectangle. Les points ln^ et/?, sont les rabattements des points cherchés ; ils se relèvent en (/n, in ) et (/?, n).

41. Section plane. — Toute section plane d'une sphère est un cercle, dont les deux projections sont, comme on sait, des ellipses. Le moyen le plus rapide pour construire celles-ci consiste à chercher leurs axes.

Cherchons, par exemple, les axes de la projeclioji horizontale. Le plan sécant étant, pour fixer les idées, supposé dérnii par ses traces PaQ', nous avons un premier axe en abaissant du point o la perpendiculaire oa sur P ; car le plan vertical passant par cette droite est un plan de symétrie à la fois pour la sphère et pour le plan sécant, donc pour leur intersection, donc pour la projection horizontale de cette intersection. (On peut aussi remarquer que oa est la projection horizontale du diamètre de plus grande pente du cercle.) Pour avoir les sommets de cet axe, nous déterminons la droite du plan sécant projetée horizontalement en ort, soit («6, «7>'), et nous cherchons l'intersection de cette droite avec la sphère. En appliquant, par

4o CHAPITRE IV.

exemple, la première méthode du n° 40, ou obtient les deux points (c^, d) et (e, e ) ; d, e sont les sommets cherchés.

On a le deuxième axe en menant la perpendiculaire // au premier par le milieu i de de. Cet axe est d'ailleurs la projection horizontale du diamètre horizontal du cercle de l'espace, diamètre qui se projette verticalement suivant l'horizontale h' du point i'. On a les sommets corresjîondants en chercliant l'intersection de la droite (A, //') avec la sphère, ce qui se fait immédiatement en coupant par un plan lunizontal ; on obtient ainsi les points (/>", A') et (/, l' ).

Finalement, /»/ est le grand axe et de le petit axe île la projection horizontale.

licDKtiqiie. — Dans resjjace, les tani;entcs aux points (</, d] et (e, e' ) sont horizontales ; donc, en projection verticale, les lan«;entes aux points d' et a' sont par.dlèles à la iign*' d<' terre ; ces jv^inls sont

SPHÈRE. 4l

le plus bas et le plus haut de l'ellipse projection verticale. Le diamètre horizontal A'/' csl, par suite, conjug;ué de d' e' ; il en résulte que les tangentes on /, et /' sont parallèles à d' e .

En intervertissant les rôles des deux plans de projection, on construirait de même les. axes de la projection verticale et deux diamètres conjugués de la projection horizontale.

Points sur les contours apparents. — Ces points sont indispensables pour la ponctuation. Pour avoir les points sur le contour apparent horizontal, il suffit de couper par le plan horizontal du centre de la sphère. L'intersection de ce plan avec le plan sécant rencontre le contour apparent horizontal en m et /i , qui sont les points cherchés.

Ponctuation. — Le point {d. d'), par exemple, est évidemment caché en projection horizontale ; il en est donc de même de tout l'arc mdn ; l'arc men est, au contraire, vu. On ponctuerait, de même, la projection verticale.

42. Intersection de deux sphères. — L'intersection de deux sphères est un cercle ; il suffît donc de déterminer le plan de ce cercle pour être ramené au problème précédent. A cet effet, on en détermine un point et l'on mène par ce point un plan perpendiculaire à la ligne des centres. Comme point particulier, il est tout indiqué de choisir un point utile de l'intersection, par exemple un des points sur les contours apparents des deux sphères, points qui doivent tous être déterminés, en vue de la ponctuation. A cet effet, on coupera parles plans des contours apparents.

A3. Cône circonscrit à une sphère à partir d'un point donné. — La courbe de contact est un cercle, dont le plan est le plan polaire du point donné S par rapport à la sphère. Il suffit de connaître un point de ce plan pour le déterminer, puisqu'il est perpendiculaire au diamètre OS. On aura des points utiles, en cherchant les points de la tourbe de contact situés sur les contours apparents. D'après le théorème III du n" 2, les points sur le contour apparent horizontal, par exemple, sont les points (a, a') et (6, b').

Le plan vertical passant par OS étant un j)lan de symétrie de toute

4^ CHAPITRE tV.

la figure, so est un axe de la projection horizontale. On peut avoir les sommets correspondants en menant du point S les tangentes au grand cercle situé dans le plan vertical précédent, ce qui se fait commodément par une rotation autour du diamètre vertical de la sphère ; on ohtient ainsi les points c et cl. La détermination des autres sommets se fait ensuite comme il a été expliqué au n** 4-1.

Fis. 10.

Lorsque le point S est à l'infini, on a allai re à un cylindre circonscrit. La courbe de contact est alors un grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la direction des génératrices du cylindre. Les constructions indiquées dans le cas du cône subsistent sans modification.

Les deux problèmes que nous venons de résoudre trouvent une application importante dans la construction de la courbe d'ombre propre d'une sphère.

Ai. Plans tangents par une droite donnée. — Soit à mener les plans tangents à une sphère O par une droite donnée D. La uiéthode générale consiste à circonscrire à la sphère un cône avant |)our sommet un point S de D et à mener ensuite à ce cône les j)lans tangents qui passent par D. Suivant la manière de choisir le point S, on obtient diverses méthodes particulières, que nous allons décrire.

Première méthode. — Prenons S en (5, s) dans le plan de front du centre de la sphère. Le cercle de contact du cône -'circonscrit se

trouve dans le plan de bout a b' . Prenons-le comme base du cône et appliquons, pour mener les plans tangents à ce cône par la droite D, la méthode générale du n" 22. Nous prenons la trace de D sur le plan de base, soit (c, c). Nous devons maintenant mener par ce point les tangentes à la base. A cet effet, nous rabattons le ])lan de celle-ci autour de la fx^ontale (.ço, a b'). Le cercle de base se rabat suivant le cercle de diamètre a b' et le point (c, c') se rabat en Ct. De c,, nous menons les tangentes au cercle rabattu ; soit m^ le point de contact de l'une d'elles. Ce point se relève en (m, m'), qui est le point de contact de Tun des jilans tangents cherchés.

Deuxième méthode. — C'est une simple variante de la précédente, dont elle ne diffère que par le choix de la base du cône. Ce choix repose sur l'artifice suivant. Considérons le cylindre vertical circonscrit à la sphère. Ce cylindre et le cône, étant deux quadriques circonscrites à une même troisième, se coupent suivant deux coniques (t. II, n"492). A cause de la symétrie par rapport au plan de front 05, les plans de ces deux coniques sont de bout ; l'un d'eux est, par exemple, le plan de bout c' d! . Prenons la conique correspondante

comme base du cône. Cette base, que l'on appelle quelquefois une base de Alo/ige, ofTre l'avantage de se projetez' horizontalement suivant le cercle de contour apparent horizontal de la sphère. Nous prenons la trace de D sur le plan c' d\ soit (e, e') ; de ce point, nous menons les tangentes à la base, ce qui se fait au moyen de la projection horizontale. Nous trouvons, par exemple, le point de contact

Fig. 12.

(/,/'). La droite (sf, s'/') est la génératrice de contact d'un des plans tangents cherchés avec le cône circonscrit ; elle rencontre le cercle de contact au point (^, g'), qui est le point de contact du plan tangent avec la sphère.

Troisième méthode. — Elle consiste à considérer simultanément les deux cônes circonscrits dont les sommets sont l'un (s, s') dans le plan diamétral de front, l'autre (^, t') dans le plan diamétral horizontal. Les points de contact des plans cherchés se projettent verticalement sur a' b' et liorizontalement sur cd. Dans l'espace, ils se trouvent donc sur la droite {cd, a' b') et il suffit, pour les construire, de prendre l'intersection de la sphère avec cette droite (n" iO).

Remarquons que cette droite n'est autre (pie la droite conjuguée de la pr(ij)()sée |)ar rapport à la sphère (t. II, n" i30). Gela résulte de

la construction précédente; on le voit aussi en obser\ant qu'elle se

Fis. i3.

trouve à l'intersection des plans polaires des points (.ç, s') et [t, t').

Fig. 14.

Quatrième méthode. — Prenons le sommet du cùne à l'infini ; autrement dit, considérons le cylindre circonscrit, dont les généra-

trices sont parallèles à D. Prenons comme base de ce cylindre le cercle de contact. Le plan de ce cercle est le plan diamétral perpendiculaire à (D, D') ; il est déterminé |)ar l'horizontale (A, h') et la frontale (/, /'). ZVous construisons son intersection (c, c') avec (D, D ). Il faut ensuite mener de ce point les tangentes à la base. Pour cela, nous faisons un rabattement autour du diamètre horizontal (A, li). Le cercle se rabat suivant le contour apparent horizontal de la sphère et le point (c, c') se rabat en Ct, par la règle du triangle rectangle. Dec,, nous menons les tangentes telles que c,//?,. Le point /«i se relève en (/n, m'), qui est un des |)oints de contact cherchés,

4o. Intersection d'une sphère et d'une surface quelconque. — On peut construire par points l'intersection d'une sphère avec toute surface S susceptible d'être engendrée par une droite ou un cercle. Si la surface est réglée, on cherchera l'intersection de ses génératrices successives avec la sphère ( n° 40). Par exemple, s'il s'agit d'un cône, on pourra couper par un plan vai'iable passant par son sommet et qu'on pourra en outre assujettir à une autre condition destinée à simplifier les constructions, telle que d'être vertical ou de bout ou bien de passer par le centre de la sphère.

Si la surface est cerclée, on coupera par les jjlans de ses cercles.

46. Emploi de la sphère comme surface auxiliaire pour les cônes et cylindres de révolution. — La sphère est souvent utilisée, au titre de sphère inscrite, pour résoudre les problèmes relatifs aux cônes et cylindres de révolution.

Construction d\ine sphère inscrite. — Dans le cas d'un cylindre de révolution défini par son axe et son rayon, la construction est immédiate ; il suffit de |)rendre une sphère ayant son centre en un point quelconque de l'axe et pour rayon le rayon du cn lindre.

Supposons maintenant un cône défini par son a\c, son sommet et son angle au sommet :^0. Prenons le centre de la sphère inscrite en un point quelconque (o, o' ) de l'axe. Le rayon peut être construit au moyen d'un triangle rectangle, dont l'hypoténuse est SO et un angle aigu l'angle 0 donné. Le rayon cherché est le côté opposé à cet angle. Pour construire ce triangle, il faut commencer par construire la vraie grandeur du x-^incnt (.ço, .v'o), en faisant, conime on sait, un

rabattement ou une rotation. On effectue ensuite la construction élémentaire du triangle dans un coin ou sur une autre feuille de papier et il n'y a plus qu'à reporter le rayon obtenu sur l'épure.

Contours apparents. — Quand on a tracé les contours ajjparenls de la sphère inscrite, on a immédiatement ceux du cône en leur menant des tangentes par les projections du sommet (n" 2). Si l'on a besoin de la projection verticale de la génératrice de contour apparent

Fis. i5.

horizontal sa^ par exemple, ilsutlil de se rappeler que le point (a, a') se trou\e sur le contour apparent horizontal de la sphère et, par conséquent, se projette verticalement en a' sur l'horizontale du point o' .

Dans le cas d'un cvlindre, la construction est évidemment la même; on mène les tangentes parallèlement à Taxe du cylindre. Ce sont, dans chaque projection, les deux droites parallèles à la ])rojection de l'axe et situées à une distance de celle-ci égale au rayon du cylindre. Cela est, du reste, évident a priori et l'on peut très bien, dans ce cas, se passer de la sphère inscrite.

Intersection avec une droite. — On emploie toujours la méthode générale du n" 25 ; c'est-à-dire qu'on coupe par le plan déterminé par la droite et le sommet du cône. INIais, au lieu de prendre la trace de ce j)lan sur un plan de ba>e, on prend son intersection avec la

splu re inscrite et l'on mène à celte intersection les langenles issues du sommet. Les points de rencontre de ces tangentes avec la droite proposée sont les p.oints cherchés. Bien entendu, sur 1 épure, 1 exécution de ces constructions se fait au moyen d^in rabattement.

Sur la figure i6, on a rabaltu autour du diamètre horizontal iih, i' h' ) du cerele de section, le centre (^ i') ayant été obtenu comme project.on du

oinl (a, o') su, le plan (..D,.vD'). Le cercle se raba. suivant le cercle iamèlre jk, lequel dian.èire a été construit en cupan. par le plan \u

de ri-

zontal i' Il . Le point (5, s') et la droite (D, D') sont rabattus en 5i et 61 ZD,. On a mené la tangente Si /i, qui rencontre Di en mi, relevé ensuite en (»i, wi'), qui est l'un des points clierchés.

Comme cas particulier, signalons le problème suivant :

Connaissant la projection horizontale m cVun point du cône^ trouver sa projection verticale.

Cela revient, en eiTet, à trouver l'intersection du cône avec la verticale du point m.

Plans tangents par un point donné. — Cela revient à mener les plans tangents à la sphère inscrite par la droite joignant le point donné au sommet du cône (n° 44). Les génératrices de contact s'obtiennent en joignant le sommet du cône aux points de contact avec la sphère.

Remarque. — Bien entendu, tous ces problèmes peuvent être aussi résolus par les méthodes exposées au Chapitre III, en prenant une base circulaire. Il y a lieu alors de faire des constructions dans le plan de cette base, et pour cela, il faut rabattre ce plan. Les deux manières de procéder sont à peu près équivalentes au point de vue de la complication des constructions.

Haac:. — Cours. IV

SURFACES DE RÉVOLUTION

47. Point covirant et plan tangent. — Une sui'tace de rév^olution est habituellement dclerniinée par son axe et une ligne génératrice G. Pour avoir un point quelconque d'une telle surface, on prend un point A sur la ligne G et on le fait tourner dun angle quelconque autour de l'axe; autrement dit, on prend un point quelconque M sur le parallèle engendré par A.

Le plan tangent en ce point contient d'abord la tangente au parallèle. 11 contient, en outre, la tangente à la ligne génératrice qui passe par M, tangente qui peut se construire en effectuant une rotation de la tangente en A à G. Ces deux droites déterminent en général, le jd;in tangent cherché. (Pour le cas d'exception, cf.^ t. II, n"363.)

Pratiquement, au lieu d'effectuer la rotation de la tangente ci-dessus, il est plus commode de construire le point de rencontre de l'axe avec le plan tangent en A; ce point détermine, avec la tangente au parallèle en M, le plan tangent cherché.

On peut aussi cnnsiruire la normale. A cet effet, il suffit de joindre M au point de rencontre de Taxe avec la normale en A, lequel point peut être ol)tenu comme intersection de l'axe avec le plan normal à ( 1.

Ces dillérentes constructions ne sont simples que si l'axe est perpendiculaire à l'un des plans de projection. Soit, par exemple, l'axe vertical (o, o' z'). Le |)arallèle du point A se projette horizontalement suivaul le cercle de ceutre o cl de ravon oa et verlicalcmcnt sm\anl la parallèle à xy uienée par a' . 11 est aisé d'y prendre un point cpiclconcpie ( m, m'). Le plan langent en ce point est dctciniim- par la lani;rnli' I ////,////') au paiallclccl pailc point ( y>, // ) ou le plan tangent en [a. a') rencontre ( o, o' z). La uitiinale esi [nui, ni'n'),

SURFACES DE REVOLUTION

le point (/i, n) ayant été construit comme intersection de (o, o'z-'), avec le plan perpendiculaire en (a, a' ) à la tangente {au, au').

Fia