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Si l'axe est oblique sur les deux plans de projection, le parallèle du point A doit être déterminé par son plan, mené par A perpendiculairement à l'axe et par une sphère passant par A et ayant «on centre en un point quelconque de l'axe, par exemple, à la même cote que A, de façon que le rayon qui aboutit au point A se projette horizontalement en vraie grandeur. On peut ensuite couper la sphère et le plan par un plan auxiliaire quelconque, par exemple, par un plan horizontal; on détermine ainsi deux points du parallèle. Quant au plan tangent, on l'obtient comme précédemment: les constructions sont seulement plus compliquées.

Si Taxe est Vie front, il y a quelques simplifications. Le parallèle se projette verticalement suivant un segment de droite et l'on peut se donner la projection verticale m du point M.

Nous conseillons au lecteur de faire les épures correspondant à chacun de ces deux cas.

i8. PaoBLii.ME. — L'axe étant vertical, construire ni connaissant m et vice versa.

On cherche le parallèle qui passe par .M. Si l'on connaît m, on

peut tracer la projection horizontale du parallèle; on prend l'intersection de cette projection avec la projection horizontale g de G; on relève chacun des points obtenus sur g et l'on en déduit les projections verticales de tous les parallèles qui répondent à la question. Ces projections sont enfin rencontrées par la ligne de rappel de m aux points m! cherchés.

Si l'on se donne m', on suit la marche inverse, c est-à-dire que l'on part de la projection verticale du parallèle.

Problème. — L'axe étant de front, construire m connaissant m'. — On emploie la même méthode que précédemment. Seulement, une fois qu'on a obtenu le point A de G, on achève de déterminer le parallèle par une sphère ayant son centre sur l'axe et l'on coupe cette sphère par un |)lan horizontal auxiliaire passant par nt' .

Nous laissons encore au lecteur le soin de faire les épures correspondant à ces deux problèmes.

49. Méridienne principale. — On appelle ainsi la méridienne dont le plan est parallèle à lun des plans de projection. Elle n'existe évidemment que si l'axe est lui-même parallèle à l'un de ces plans. Son intérêt résulte de ce que, lorsqu'elle est construite, elle permet de se rendre compte de la forme de la surface, ce qui n'est pas toujours facile quand on connaît seulement une courbe génératrice quelconque. Nous verrons, en outre, qu'elle constitue une partie d'un des contours apparents (n° oO).

Sup[)osons, pour fixer les idées, que l'axe (A, A') soit de front. Pour construire un point quelconque de la méridienne principale, on prend un point quelconque (rt, a') de la génératrice et l'on construit l'intersection du |)arallèle engendré par ce j>oinl avec le j>lan de front A.

Si l'axe est vertical, la construction est immédiate {/Ig- i8). S'il est oblique, il faut utiliser la sphère de centre (o, o ) et de rayon oa. Celle sphère est coupée par le j)lan de front suivant un grand cercle projeté verticalement en vraie grandeur; celt(^ projeclion coupe la per[)»'ndiculaire à A' menée par a' en deux pninls de la méridienne principale ( /ig. 19).

La langenlc en m' est la trace verlicale du plan tangent en [m, m') à la surface, puisque ce plan langent est de bout, comuie étant per-

SURFACES DE REVOLUTION

pendiculaire au plan méridien de front (t. II, n° 362). Or, nous savons construire ce plan tangent (n° 47). Le plus simple est de

Fig. lî

joindre m' au point p' où Taxe perce le plan tangent en (a, a'), Ifig. i8et 19).

Comme points remarquables de la méridienne principale, signalons,

dans le cas où l'axe est vertical, les points les plus hauts et les plus bas, qui sont fournis par les points analogues de G, c'est-à-dire par les points de cette courbe où la tangente est horizontale. Signalons

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aussi les points où la tangente est parallèle à Taxe, qui sont donnés par les parallèles de rayon maximum ou minimum. Ces derniers sont i^ngendrés par les jjieds des normales communes à l'axe et à G, lesquels sont obtenus, en projection horizontale, en abaissant du point o les normales sur g.