CHAPITRE 11. — POLVEDRES, PRISMES ET PYRAMIDES

De même, eu vertu du lliéorème II, si un point du périmètre de F est dans V ombre ^ il en est de même de toute cette face. En vertu du théorème III, si un point du périmètre est éclairé et n'appartient pas à la ligne d^ ombre propre^ toute la face est éclairée.

La ligne d' ombre propre est constituée par l'ensemble des arêtes qui séparent les faces éclairées des faces dans l'ombre.

Le cône d'ombre est une pyramide ayant pour sommet L et >"appuyant sur la lii;ne d'ombre. En prenant sa trace sur un plan, on a l'ombre portée j)ar le polyèdre sur ce plan. En prenant son interseclion avec un autre poljèdre, on a l'ombre portée par le premier sur le second. Si l'ombre est au soleil, la pvraïuide est un prisme.

CHAPITUE m.

21. Point coiu'ant et plan tangent en ce point. — Ln cône est habituellement défini par son sommet S et par une courbe directrice C ou par une surface inscrite S. Lorsque la courbe C est plane, elle porte plus spécialement le nom de base.

Pour trouver un point quelconque, on prend une génératrice quelconque G, obtenue enjoignant S à un point quelconque N de C ou en menant par S une tangente quelconque à H. Puis, on prend, sur G, un point quelconque M. Pour avoir le plan tangent en ce point, on se rappelle qu'il est le même tout du long de G et l'on prend le plan tangent à i] en son point de contact avec G, ou bien le plan tangent en N, lequel est déterminé par la tangente en N à C et la droite G (').

22. Problèmes sur les plans tangents. — ProblIcme I. — Mener les plans tangents à un cône par un point donné P.

Tout plan tangent passant par le sommet, on est ramené à mener par SP les plans tangents à C ou à S. Bornons-nous à indiquer la construction dans le cas de la base plane.

On prend la trace Q de SP sur le plan de base; puis, on mène, par ce point, les tangentes à la base. Chacune de ces tangentes détermine, avec la génératrice aboutissant à son point de contact, un des plans tangents cherchés.

Lorsque le point P est à l'infini, le problème consiste à mener les /dans tangents parallèles à une droite donnée. La solution précédente n'est nullement modifiée.

(') Celle conslruclion est en défaut lorsque les deux droiles soriL confondues. Le plan langent est alors le plan osonlalctir en iN à C. {Cf., n" 1.)

Lorsque le point S est à rinfini, le cône devient un cylindre. La solution générale convient toujours. Signalons seulement que, si P est en même temps à l'infini, c'est-à-dire s'il s'agit de mener au

cylindre les plans tangents parallèles à une droite D, on mène, par un point quelconque de l'espace, une parallèle à cette droite et une parallèle aux génératrices du cylindre; on prend la trace de leur plan sur le plan de base et l'on mène des tangentes à la base parallèles à cette trace.

23. Applications. — L Contours apparents. — Pour avoir le contour apparent horizontal, il faut chercher les plans tangents verticaux (n° i). Leurs génératrices de contact constituent le contour apparent dans l'espace et les projections horizontales de ces génératrices constituent le contour apparent en projection.

D'après la solution précédente, on doit mener la verticale qui passe par le sommet S, prendre sa trace sur le plan de base et, par cette trace, mener les tangentes à la base. Les génératrices aboutissant aux points de contact sont les génératrices de contour apparent. Si le plan de base n'est pas vertical, les projections horizontales de ces génératrices coïncident évidemment avec les projections des tangentes ci-dessus, c'est-à-dire avec les tangentes à la projection horizontale de la base menées par la projection horizontale du sommet. Ceci est d'ailleurs une conséquence du théorème II du n° 2. Ledit théorème prouve aussi que la même conslruclion s'applique dans le cas où la directrice C n'est pas plane.

CONES ET CYI.INUUES.

Si la courbe C est clans un plan vertical, on doit lui mener des tangentes verticales, ce qui se fait au moyen de la projection verticale. Puis, on joint toujours les points de contact au sommet. Si le c-ône est défini par une surface inscrite i^, on mène, par la projection horizontale s du sommet, les tangentes au contouf apparent horizontal de S, conformément au théorème III, du n° 2.

Tout ce que nous venons de dire pour le contour apparent horizontal se répète pour le contour apparent vertical, en échangeant simplement les rôles du plan horizontal et du plan vertical.

Sur la figure 5, nous avons indiqué la construction des contours

Fig. 5.

apparents d'un cône, dont la base est dans le plan horizontal. Nous avons tracé en pointillé la [)rojection verticale du contour apparent horizontal et la projection horizontale du contour apparent vertical.

II. Ombres. — Si le point P envisagé plus haut est une source lumineuse, les génératrices de contact des plans tangents sont les génératrices d' ombre propre. Les traces des plans tangents sur un des plans de projection délimitent V ombre portée sur ce plan, qui est donc constituée par un angle ayant pour sommet la trace de la droite SP.

26 CHAPITRE Iir.

2i. PiiOHLKMK II. — Reconnaître si deux cônes ont un plan tangent commun et trouier ce plan. — Si deux cônes, de sommets S et Si, ont un plan tangent commun Q, ce plan doit passer par chacun des sommets. On est ainsi conduit à mener à l'un des cônes les plans tangents qui passent par le sommet de Vautre. En général, aucun de ces plans u'csl tangent, en même temps, au deuxième cône, de sorte que le problème ne comporte pas de solution. Quoi qu'il en soit, il est toujours facile de reconnaître si cette solution existe, puisque nous savons résoudre le problème I. En particulier, si les deux cônes ont leurs bases dans un même plan, il suflit de voir si l'on peut mener, par la trace de SS| sur ce plan, une tani;ente commune aux deux bases.

Signalons quelques cas parliculiers évidents où le prid)lènie est certainement possible.

1° Les deux cônes ont même sommet. — il suffit de prendre leurs bases dans un même plan et de mener les tangentes communes à ces deux bases. Chacune d'elles détermine, avec le sommet commun, un des plans demandés.

2" Les deux cônes ont même courbe directrice ou même surface inscrite. — Il suffit de mener, par la ligne des sommets, les plans tangents à cetle ligne ou à cette surface.

3" Les deux cônes sont homolhê tiques. — Ce cas rentre dans le procèdent, car les deux cônes ont même base dans le plan de l'infini (t. H, n° 407j. Si l'on prend leurs bases dans un même plan, on obtient deux courbes homolhétiques par rapport à la trace de la ligne des sommets. Toute tangente menée par cette trace à l'une des bases est aussi tangente à l'autre base et détermine, avec la ligne des sommets, un plan tangent commun.

Nous laissons au lecteur le soin d'examiner les cas particuliers où l'un des c"mes ou les deux deviennent des cvlindres. .

Problème III. — Mener à deux cônes des plans tangents parallèles. — Soient les deux cônes G et C], de sommets S et S] et soient P et Pj deux plans parallèles qui leur sont respeclivement tangents. Menons le cône C homolbétique de C et de sommet S|. Celui de ses plans tangents qui est homologue de P n'est autre que P|. On aura donc ce dernier plan en menant les plans tangents communs aux cônes Ci et C. (|ui ont même sommet. On est ramené au problème H. cas 1".

Si l'un des cônes., C par exemple, devient un cylindre., la coustruetiou précédente ne s'applique pas. Mais, on est alors ramené à mener au cône un plan tangent parallèle aux génératrices du cylindre.

Si les deux cônes sont des cylindres, on doit mener à chai un diu\ di"s plans tangents parallèles aux génératrices de l'autre.

F^ROBi-ihiE IV. — Mener une normale commune à deux cônes. — Il suflit de leur mener deux plans tangents parallèles, puis de mener la perpendieulaincoiimiiine aux deux généiatriccs de contact.

Cn.NES ET CVLINOREP. 27

2o. Intersection d'un cône avec une droite. — On coupe le cône par le plan clélerminé par la clroile D et le sommet S du cône [cf. n" lo et t. IJ, n" 379). Puis, on prend les points de rencontre de D avec les généialrices d'intersection.

Pour construire pratiquement ces dernières, dans le cas où l'on connaît une directrice C, on cherche les points de rencontre de cette ligne avec le plan auxiliaire et Ton joint ces points à S. En particulier, si C est une base, on prend ses points de rencontre avec la trace du plan auxiliaire sur son plan.

Si le cône est défini par une surface inscrite, on considère li courbe d'intersection de <ette dernière avec le plan auxiliaire et Ton mène à cette courbe les tangentes issues de S.

Applicatioîv. — Connaissant une projection d' un point d'un cône, trouver l'autre. — Si Ton connaît, par exemple, la projection horizontale /??, on est ramené à trouver l' intersection du cône avec la verticale du point m.

20. Section plane d'un cône. — Soit à construire Tinlersection dun cône C, de sommet S, avec un plan donné P.

On obtient le point courant M, en prenant une génératrice quelconque G du cône et construisant son intersection avec P. Pour avoir la tangente MT en ce point, on prend l'intersection du plan tangent au cône le long de G avec le plan P (n" 6).

Les points su/- les contours apparents sont obtenus en prenant successivement pour G toutes les génératrices de contour apparent.

Les directions asymptotiques sont les génératrices d'intersection du cône avec le plan parallèle à P mené par S (n° 9). Ayant l'une d'elles G, on a l'asymptote correspondante par la construction habituelle de la tangente, c'est-à-dire en prenant l'intersection du plan tangent le long de G avec le plan P.

Dans le cas où le cône est un cylindre, on a les asymptotes en prenant les intersections de P avec les plans asymptotes. Si l'un de ceux-ci est rejeté à linfini. la section a une liranche parabolique, dont on obtient la direction en construisant linlersection de P avec le plan des directions asymptoticjues du cylindre.

27. Voici maintenant quelques problèmes qu'on peut se poser relativement à la section plane.

28 niMMTRIi III.

Problème I. — Trouver les points de rencontre de la section ai^ec une droite T) quelconque du plan sécant. — On est ramené au problème du n" 2o.

Si l'on veut les points de rencontre de la projection horizontale., par exemple, avec une droite d donnée, il suffit de prendre, pour D, la droite du plan sécant qui se projette horizontalement en d.

Prouli.me 11. — Mener les tangentes à la section par un point donné M du plan P. — Ces tangentes déterminent, avec le sommet S, les plans tangents au cône menés par M. Or, nous savons construire ces plans (n"!2l2). En prenant leurs intersections avec P, nous aurons les tangentes demandées.

En prenant M à l'infini, on sait construire les tangentes parallèles à une direction donnée du plan sécant.

On sait résoudre le même problème en projection ^ en prenant, pour M, le point de P projeté au point donné.

A.ppLicATio>s. — I. Trouve/- les points les plus hauts et les plus bas des deux projections. — Par exemple, pour trouver les points à tangente horizontale de la projection horizontale, on construit les tangentes à la section parallèles aux frontales du plan sécant.

11. Trouver les points les plus à droite et les plus à gauche. — Cela revient à mener à la section les tangentes parallèles aux droites de profil du plan sécant.

28. Section plane d'un cône du second degré. — Si le cône C est du second degré, la section est une conique F, ainsi que ses deux projections y et v'. Il est utile de savoir déterminer leurs éléments.

Gemœ. — On le déduit de la recherche des directions asym|)totiques (n° 126). Si le plan Q parallèle à P mené par S coupe le cône suivant deux génératrices distinctes, F est une hvpeibole, ainsi, par suite, que ses deux projections. Si Q est tangent au cône, F est une parabole. Enfin, si Q ne coupe pas le cône. F est une (-nipse.

Se<.tio\ iivi'Eiuioi.iQin:. — C'est le cas le plus avantageux au poiul fie vue de la simplicité (h's constructions.

On commence par construire les asymptotes, comme il a été indifpK- an \\"^1(S. 11 siilTit ensuilo de conslruirtw/// />r;//f / <juelcou<jue.i

pour avoir tous les éléments nécessaires pour la construction de riivperbole {[. II, n° oil).

Si l'on veut .les axes, on prend les bissectrices des asvmptotes, soit dans le plan P, soit en projection. On a ensuite les sonuuets par application du problème I, du n" 27.

Section parabolique. — La génératrice G de contact du plan Q avec le cône donne la direction de Paxe^ aussi bien dans le plan P que dans chaque projection. En menant la perpendiculaire, on a la direction de la tangente au sommet^ laquelle tangente est ensuite obtenue par application du problème II. du n'' 27. En menant, par son point de contact, la parallèle à G, on obtient l'axe. Il suffit ensuite de construire un point quelconque de la parabole (n^^ 143V

Sectio-n elliptique. — G est le cas le plus difficile. Les directions asymptotiques sont imaginaires et 1 on ne peut en déduire, comme précédemment, les directions des axes. ^ oici deux méthodes permettant de déterminer ceux-ci.

Première méthode. — On construit deux diamètres conj ugués. en menant les tangentes parallèles à une direction quelconque, ))uis les tangentes parallèles à la droite joignant les points de contact des deux précédentes. (On peut, par exemple, utiliser les tangentes parallèles ou perpendiculaires à la ligne de terre ; cf. Applications I et II du n° 27.) Avant deux diamètres conjugués, on sait en déduire les axes (n" 14-2).

Deuxième méthode. — Sii|)posons le cône défini par une base B, dans un plan R quelconque. Soit D l'intersection de R et de Q. Celte droite renconlre B en deux points imaginaires I et J. Les droites SI, SJ sont conjuguées harmoniques par rapport à tout système de deux droites menées par S parallèlement à deux diamètres conjugués de la section. Cela posé, supposons, par exemple, qu'on veuille construire les axes de la projection hoiizontale. Ces axes sont les projections de deux diaméties conjugués; donc, si on leur mène des |)aralléles sa, sa' par la projection horizontale du sommet, on obtient Jeux droites conjuguées harmoniques par rapport aux droites si, sJ , projections de SI, SJ. Ces droites sa, sa' sont les rayons rectangulaires de l'involution dont les rayons doubles sont si, sj (t. II, n" Ii3). On a d'ailleurs deux couples de rayons homologues en prenant, sur D, deux points quelconques M, iV et les points de rencontre M',N' de D avec leurs polaires par rapport à B. Les projections de S.M, SM' et de SN, S.\' sont les couples en question. On est maintenant ramené au problème suivant : construire les rayons lectangu-

ÎO (.HU'ITKE m.

laites d'une iiivoltition déleriinut'e par deux couj/les de rayons Jioinologues, (luiii la solution résulte visiblement du lliéorème V (t. II, n° oO?!, en traçant un cercle quelconque passant par s.

Signalons un cas particulier où la conslruclion est assez simple. C'est celui où la base est un cercle dans le plan horizontal. Les droites rectangulaires 5a, sa doivent rencontrer D en deux points a, a' conjugués par rapport au cercle B. Dés lors, le cercle F de diamètre «a' doit étie orthogonal au cercle B.

D'autre part, l'angle asa' étant droit, ce cercle doit passer par s. Son centre se tjtjuve donc sur l'axe radical du cercle B et du cercle-point .?. En prenant l'intersection E de cet axe radical avec D, puis portant les longueurs Ea, Er/' égales à \Ls et joignant enfin sa, sa', on a les directions des axes.

Une /ois connues les directions des axes, on mène les tangentes perpendiculaires (problème II, n° 27), et l'on a les tangentes aux sommets, les sommets et les axes.

Toutes ces conslrtutions, sauf la dernière, s'appliquent sans modification lorsque le cône est un cylindre.

29. Intersection de deux cônes. — On coupe par des plans auxiliaires passant par la ligne des sommets SS,. (C'est la même méthode que pour l'intersection de deux pyramides : n° 16. D'ailleurs, une pyramide peut être considérée comme un cône à base polygonale.) Ln tel plan P coupe chaque cône suivanl un certain nombre de génératrices. Le point de rencontre M dune génératrice G du premier cône avec une génératrice G| du second esl un poi/it quelconque de la courbe G d'intersection. Pour construire la tangente en ce point, on applique la méthode des plans tangents (n"6), c'est-à-dire qu'on prend l'intersection des plans tangents le long de G et de G, .

Lorsque les deux cônes sonl donnés par des bases B et B,. on construit une fois pour toutes les li-aces rj et 5-| de SS| sur les plans Q et Q, de ces bases, l-.es traces des plans auxiliaires passent par ce> points fixes et se coupent constamment sur l'intersection D de Q et de Q,. Nous n'insistons pas davantage sur ces détails de constructions, qui ont été déjà dévek)ppés à propos de l'intersection de deux pyramidt's ( n" 10 ).

Signalons seidcmeiit que, pour la constructit>n de la tangente, il est (pichpichtis comniodc de considérer les plans tangents comme deux cônes de sommets S ci S, cl de leur iq)pli(pier la indliodc ci-dessus, c'esl-à-dirc de les couper par un plan auxiliaire passant par SS, .

CdNKS ET CVLINORES.

30. Plans limites. — Les plans limites sont les plans auxiliaires tani^eiits à l'un ou l'autre des deux cônes. On les obtient en menant par n les tangentes à B et par t, les tangentes à B, el ne conservant des premières, par exemple, que celles auxquelles correspondent des plans auxiliaires cou|)ant B,.

Signalons le cas particulier oii un plan est limite à la fois pour les deux cônes. C'est un plan tangent commun; donc, les deux cônes sont tangents en un point M situé à la rencontre des deux génératrices de contact. Nous savons que ce point est un point double de l'intersection (n" 6) et nous savons déterminer les tangentes en ce point.

A propos de ces tangentes, nous allons démontrer le théorème suivant, tpii s'applique toutes les fois qu'on a afi'aire à deux surfaces développables :

Théorème. — Les tangentes au point douljle sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux génératrices de contact.

En clfel, les indicatrices forment un parallélogramme, dont les côlés sont parallèles aux génératrices de contact (t. II, n" b7i) el dont les diagonales sont les tangentes considérées. Le théorème est. dès lors, évident.

31. Jonction des points. — La règle est exactement la même que pour deux pyramides (n" 18). Dans le cas de deux bases convexes, il peut Y avoir pénétration ou arrachement (n" 19). suivant que les plans limites sont tangents au même cône ou à des cônes différents. Le cas intermédiaire est celui du plan limite commun, c'est-à-dire du point double.

32. Points remarquables. — i" Points limites. — Ils sont donnés parles plans limites. En chacun d'eux, la tangente est la génératrice d'intersection du plan auxiliaire avec le cône pour lequel il n'est pas limite (n" 7).

1" Points sur les contours apparents. — On les obtient en faisant passer les plans auxiliaires successivement par toutes les génératrices de contour apparent des deux cônes, tout en les maintenant, bien entendu, entre les plans limites.

3° Points les plus hauts et les plus bas, les plus à droite et les plus à gauche. — Vax un Ici point, le? traces des deux plans tangents sur un plan horizontal ou sur un plan de front, ou sur un plan de profil doivent être

parallèles (n" 8). Il est, en géncial, difficile de tenir compte dune telle condition. Le seul cas où cela soit simple est celui où le plan sur lequel les traces doivent être parallèles coupe les deux cônes suivant des bases homothétiques, par exemple, suivant des cercles. Il suffit alors de faire passer le plan auxiliaire par le centre d'Iiomoihétie de ces deux hases.

4° Points doubles apparents. — Si les cônes sont du second degré, la ligne des points doubles en projection horizontale, par exemple, est la projection horizontale de l'intersection des deux plans déterminés par les génératrices de contour apparent horizontal des deux cônes, puisque ces |)lans sont les plans diamétraux conjugués des cordes verticales (n° 8).

33. Branches infinies. — On applique les considéiations générales exposées au n° 1).

S'il s'agit de deux cônes, on a les directions asymptotiques en ])renant les génératrices d'intersection de l'un d'eux avec le cône parallèle au second ayant même sommet que le premier. Ayant une telle direction, on a l'asymptote correspondante en prenant l'intersection des plans tangents aux deux cônes proposés le 'ong des génératrices parallèles.

Si Vun des cônes est un cylind/'e, on peut le remplacer par ses plans asymptotes et l'on est ramené au cas de la section plane d'un cône (n" 26V Si un plan asymptote est à l'infini, c'est-à-dire si la base du cylindre j)ossède une branche parabolique, l'intersection avec le cône possède aussi de telles branches, dont les directions asymptotiques sont données par l'intersection du cône a\ec le plan de directions asyuiplotiques du cylindre.

Signalons encore le cas particulier où une génératrice du cône est parallèle aux génératrices du evlindre. Le point a l'inlini sur celte génératrice est un point double de l'interseclion, parce qu'il doit être regard(' couime le sommet du cylindre (n" 8). Les tangentes en ce point, c esl-à-dire les deux asymptotes, s'oblienneiU en (•ouj)ant le cylindre par le plan langent au cône (n" 8).

Si l'on a affaire à deux cylindres^ on peut les rcm|)lacer tous deux par leurs plans asymptotes. Le cas particulier signalé ci-dessus se présente alors lorsque les génératrices de l'un des cylindres sont jiaralléles à un plan asymptote de l'autre. Ce j>lnn roupt^ le |ireniier «vlindre siiivaul les deux asymptotes.

;>i. Branches virtuelles. - Supposois que le> deux cône* soient du second

CONES ET CYLINDRES. 33

degré et aient un plan de symétrie commun P, passant nécessairement parla ligne des sommets et, par exemple, de front. La courbe d'intersection, qui en une biquadratique, se |)rojelte verticalement suivant une conique, dont il peut être intéressant de déterminer les asymptotes des branches virtuelles. A cet effet, on emploie la mélhode générale indiquée au n" 10. Pour avoir les directions asymptotiques, on peut mener, par le sommet S, un cône parallèle an cône Ci et chercher les projections verticales des génératrices d'intersecti<m. Coupons, par exemple, les deux cônes par un plan de bout Q ; soient •; et v les deux coniques de section. Si ces deux coniques se coupent en quatre points réels, il n'y a pas de difficultés, car les directions asymptotiques de l'espace sont tmiles réelles et il n'y a pas de branches infinies virtuelles.

Si elles se coupent seulement en deux points réels A et B, il y a une branche infinie virtuelle, dont la direction asymptotique est la droite joignant S à la trace sur P de la sécante commune des deux coniques y et y' associée à AB. On peut avoir cette trace en prenant le point conjugué de la trace de AB dans l'involution de Desargues déterminée sur la trace de Q par le faisceau (-,'1 7') (t. II, n-^ 503 1.

Si Y et y' n'ont aucun point réel, les deux directions asymptotiques sont virtuelles. On les a, comme la précédente, en joignant S aux traces des deux sécantes communes de bout. Quant à ces traces, on peut les construire en appliquant le théorème de Desargues à deux droites quelconques du plan Q; on projette les deux involutions sur P et l'on cherche les points communs aux deux involutions projetées.

Bien entendu, si l'on peut trouver a priori un plan Q donnant deux sections homothétiques, le prtdjième est simplifié, car la trace de ce plan sur P est une des directions cherchées. L'autre s'en déduit aisément. Par exemple, si Y et Y sont deux cercles, la deuxième direction asymptotique est la droite joignant S à la trace de leur axe radical sur le plan P.

Si l'on connaît des plans tangents parallèles (n" 24), on peut encore procéder comme il suit. Soient G et Gj les génératrices de contact de ces plans. Sur G, par exemple, prenons un point quelconque M. Puis, transportons le cône Si parallèlement à lui-même, de manière que Gi vienne passer par M, le sommet Sj restant dans le plan P. Dans cette nouvelle position, les deux cônes sont évidemment bitangents ; ils se coupent suivant deux coniques, dont les plans ont pour traces verticales les directions cherchées (n" 10).

3o. Cas de décomposition (' ). — i" Une droite et une cubique gaucJie. — Ceci arrive lorsque les deux cônes ont une génératrice commune. On le reconnaît à ce que les points t et 7, sont respectivement sur les bases B et B, . Chaque plan auxiliaire P ne donne alors qu'un

(') -Nous supposons les deux cônes du second degré {cf. t. II, n" 491).

Haag. — Cours. l\. 3

34 CHAPITRE m.

seul point M de la courbe d'intersection et c'est ce point qui décrit la cubique.

Lorsque P est tangent à l'un des cônes le long de la génératrice commune. M vient au sommet de l'autre cône, la tangente en ce point étant la deuxième génératrice d'intersection de ce cône et de P {cf. t. n, n°491, III).

Il peut arriver que la cubique se décompose à son tour en la génératrice commune SSi et une conique. Les deux cônes sont alors tangents le long de SS|, ce qui se découvre nécessairement dans la recherche des plans limites.

2" Deux coniques. — Ce cas se présente quand les deux cônes sont bitangents^ ce qu'on reconnaît toujours en construisant les plans limites. Les deux points de contact ap])artiennent à la fois aux deux conicjues ; en coupant par un plan auxiliaire quelconque , on a deux autres j)oints de chacune d'elles et, par conséquent, leurs plans respectifs. On est alors ramené au problème de la section plane (n° 28).

36. Développement d'un cône. — Développer un cône, c'est l'étendre sur un plan P, en imaginant que sa surface latérale est matérialisée an moyen d'un tissu llexible et inextensil)le. La propriété caractéristique de cette opération est qu'elle consei'^'e la lo/igueur de toute ligne tracée primitivement sur le cône et c'est cette propriété qu'on utilise, en même temps que la conservation des angles (t. IL n"399), pour construire la transformée d^une ligne dojinée.

Comme on ne sait pas, en général, déterminer graphiquement la longueur d'un arc de courbe, on est obligé de se contenter d'une solution approchée.

Soit à construire la transformée de la ligne F. Nous lui inscrivons une ligne polygonale de très petits côtés ABCD .... Puis, dans le plan I*, nous construisons un triangle S,A,B| égal au triangle SAB. Ensuite, nous juxtaposons à ce triangle le triangle S,B|C( égal au triangle SBC et ainsi de suite. On arrive ainsi à développer la surface pyramidale SABCD .... En joii;nanl par une courbe continue les points A| B, Cl 13, ... , on obtient une bgne (pii s'approche d'anlant [)lus i\e la véritable transformée que les côtés AB, BC, CD,... sont plus j)etits.

CÔXES ET CYLINDRES. 35

Pour avoir la tangente A,T, en A, à F,, on construit une droite faisant avec S, A, un angle égal à langle que fait SA avec la tangente AT en A à V . On peut aussi (et cela revient au même) prendre un point T quelconque sur AT et construire un triangle S, A,T, égal au triangle S AT.

Quand on possède déjà la transformée d'une première courbe T. il est plus facile de construire la transformée d'une deuxième courbe r'. On mène des génératrices suffisamment rapprochées SAA',

SBB Puis, sur les droites homologues S| A(, S, B,, . . . , on porte

A, A, = AA'. B, B'j = BB' On joint enfin les points A', . B',. ...

par une courbe continue.

Pour construire la tangente en A,, on peut utiliser le point de rencontre T des tangentes en A et A'. Les triangles AA'Tet A, AT, sont égaux, parce que les côtés AA' et A,Aj sont égaux, ainsi que les angles adjacents. Il s'ensuit que, pour avoir la tangente cherchée, il suffit de prendre, sur A,T,, le point T, homologue de T et de le joindre à A', . La longueur AT est quelquefois appelée la sous-tangente de r par rapport à F.

Si la courbe F' présente une asymptote, la sous-tangente correspondante devient une sous-asvniptote et permet, au moyen de la méthode ci-dessus, de construire l'asymptote de F'j.

Comme courbe de référence F, il y a intérêt à choisir une courbe dont la transformée est aussi simple que possible. Par exemple, on peut prendre l'intersection du cône avec une sphère de centre S. La transformée est évidemment un cercle^ de centre S, et de l'ayon égal au ravon de la sphère. Mais, bien entendu, pour marquer une série de points homologues, il faut encore inscrire une ligne pohgonale. dont on reporte les côtés, de F sur F,, au moyen d'un compas.

Si le cône est de révolution, la courbe sphérique précédente est un cercle, de rayon R sin o, si R est le rayon de la sphère et o le demiangle au sommet du cône. Les angles au centre homologues sont dans le rapport inverse des rayons, puisque les. arcs qu'ils interceptent doivent être égaux. On a donc : ^i = ^ sin cp. Cette formule permet de construire rigoureusement, au moyen d'un calcul ^imple et d'un rapporteur, des séries de points homologues.

Équation polaire de la transformée F,. — Prenons S, pour pôle