Contours apparents. — Supposons d'abord Va.re vertical

Si le point M appartient au contour apparent horizontal, le plan tangent en cq point est vertical, donc parallèle à l'axe. Il s'ensuit visiblement qu'il est perpendiculaire au rayon PM du parallèle. Par suite, ce rajon est normal à la courbe génératrice G. Réciproqucmenl, si PM est normal à G en M, comme il est aussi normal au |)arallèlc, il est perpendiculaire à deux droites du plan tangent, donc perpendiculaire à ce plan (en supposant toutefois que ces deux droites sont distinctes, c'est-à-dire que l'on ne se trouve pas dans le cas d exception signalé au n"* 362 du Tome II); comme PM est une horizontale, le plan tangent est vertical et le point M appartient au contour apparent horizontal. En définitive, sauf le cas d'exception signalé entre parenllièses, le contour apparent horizontal est constitué par les parnllèles de rayon inaxitnuvi ou ni i ninuini.

Supposons maintenant que M fasse partie du contour apparent vertical. Le plan tangent en ce point est de bout; donc, la normale est de front. Le plan méridien qui passe par M contient cette normale; comme il contient aussi l'axe, qui est une deuxième frontale, il est de front et M appartient à la méridienne principale. Ceci est toutefois en défaut si la normale en M est parallèle à l'axe, puisque les deux frontales sont aloi-s parallèles. Dans ce cas, le plan langent en M est horizontal, donc aussi la tangente à G; le parallèle qui passe par M est un parallèle le plus haut ou le plus bas. Réciproquement, si M appartient à la méridienne principale, le plan tangent en ce point est perpendiculaire au plan méridien de front; il est donc de bout. De même, si la tangente en M à G est horizontale, mais non perj)endiculaire au plan méridien, le plan tangent en ce point est horizontal, donc de bout. Va\ délinitive, le rontoui- apjiarcnt vertical est constitué par la méridienne prinri pair et par les parallèles les plus hauts et les plus bas.

/{rniarr/ue. — Le cas d'exception ipii provient du ( a-- où la

SURFACES DE RÉVOLUTION. 55

courbe G est normale au plan méridien ne se présente jamais si cette courbe est une méridienne. On évite donc toute restriction aux deux règles précédentes, en prenant, [)ar exemple, la méridienne principale pour courbe ^génératrice.

ol. Supposons maintenant Vaxe oblique sur le plan horizontal, mais de front. Le contour apparent vertical est encore constitué, comme précédemment, par la méridienne principale et par les parallèles engendrés par les points de cette méridienne où la tangente est perpendiculaire à l'axe. Quant au contour apparent horizontal, c'est une courbe plus ou moins compliquée, que Ton est obligé de construire par points. A cet effet, on cherche les points situés sur un parallèle quelconque, en reniplaça/it la surface par la sphère inscrite le long de ce parallèle (on pourrait aussi la remplacer par le cône circonscrit, c/., n" 06; mais, la construction serait un peu plus compliquée). Le contour apparent horizontal de cette sphère

t*"iL'. 20.

rencontre le parallèle en deux points (m, m) et (n, n') appartenant au contour apparent horizontal de la surface; de plus, ce dernier est tangent au contour apparent de la sphère en chacun de ces points (no2).

Si l'axe est oblique à la fois sur les deux plans de projection, il faut appliquer la méthode ci-dessus aux deux contours apparents. Mais la construction est plus compliquée, à cause de la recherche du

centre de la sphère inscrite, que l'on détermine au moyen du plan normal à la courbe génératrice, et aussi à cause de la construction de l'intersection du parallèle avec le contour apparent de la sphère. Nous laissons au lecteur le soin de faire l'épure à litre d'exercice.

5:2. Remarque. — La méthode ci-dessus peut èlre appliquée à la construction des contours apparents de toute surjace périsphère (t. H, n" 281). Appliquons-la, par exemple, au tore, en considérant cette surface comme l'enveloppe de la spliére inscrite le long de chaque cercle méridien. I^e contour apparent horizontal du tore est l'enveloppe du contour apparent horizontal de cette sphère. Or, celui-ci est un cercle de rayon constant, dont le centre décrit une ellipse, projection du cercle lieu des centres des méridiens. Son enveloppe est une courbe parallèle à l'ellipse àéitrtnit, obtenue en portant sur chaque normale à cette ellip«e, de part et d'autre du pied, une longueur égale au rayon constant du cercle.

On a évidemment une construction analogue pour les contours apparents de toute surface enveloppe dune sphère de rayon constant.

o3. Problèmes sur les plans tangents. — Nous allons maintenant exposer la solution de quelques problèmes classiques relatifs aux plans tangents. Avant d'en aborder aucun, nous ferons la remarque générale suivante. En vertu de la propriété fondamentale des surfaces de révolution (t. II, n° 361). on peut toujours faire tourner les données dun angle quelconque autour de l'axe de la surface, faire la construction des j)hins tangents dans cette nouvelle position, j)uis revenir en place par la rotation inverse. On conçoit que l'on puisse quelquefois choisir l'amplitude de la lotation de manière à simplifier la construction demandée. Toutefois, cette méthode n'est pratiquement avantageuse que si les rotations peuvent s'efTectuer facilement, c'est-à-dire si l'axe de la surface est perpendiculaire à lun des plans de projection. C'est ce que nous supposerons généralement dans ce qui va suivre.

oi. Problème I. — Plans tangents parallèles à un plan donné. — Soit une surface de révolution à axe vertical, que nous nous donnons par sa méridienne principale. Nous voulons lui mener les plans tangents parallèles au plan PaQ'.

Commençons par faire une rotation pour amener ce plan à être debout et soit l'ia, Q', sa nouvelle position. Les points de contact des plans cherchés ajjpartienncnl maintenant au contour apparent vertical, doue à la méridienne principale ( nous htissons de côté le cas

SURFACES DE REVOLUTION

particulier évident où le plan donné serait horizontal). En chacun de ces points, la tan-^ente à cette méridienne doit être parallèle à a, Q',.

FiK. 2 1.

Nous menons donc ces tangentes. Soit m', S , l'une d'elles; le plan tangent correspondant est R, ji, S'j ; son point de contact est (wï|, ni\ ). Faisons maintenant la rotation inverse; nous obtenons le plan R^S' et le point de contact (/?z, m').

00. Problème II. — Plans tcnigents par une droite donnée. — La solution de ce problème n'est simple que dans les deux cas particuliers suivants :

Premier cas : La droite est perpendiculaire à l'axe de la surface. — Cet axe étant toujours supposé vertical, amenons, par une rotation, la droite (D, D') donnée à être de bout., ce qui est possible, puisque nous la supposons horizontale. Avec cette nouvelle position, les plans tangents cherchés doivent être de bout; leurs traces verticales sont les tangentes à la méridienne principale issues du point D',. Soit (m,, m',) le point de contact de l'une d'elles. La rotation inverse l'amène en (m, m'), qui est le point de contact de l'un des plans demandés {fig. 22).

Remarque. — Le problème du numéro précédent est un cas par-

58 r.llAPlTKE V.

liculier de celui-ci. La droite donnée est à l'infini et peut être considérée comme perpendiculaire à n'importe quelle droite de l'espace, en particulier à l'axe.

Deuxième cas : La droite est quelconque; mais la surface est une cjuadriciue. — On emploie la même méthode que pour la sphère (n" ii).

Soit, par exemple, un ellipsoïde de révolution à axe vertical. Pre-

Fig. 23.

nons, sur la droite donnée (D, D'), le point ( .ç, s') silui" dans le plan de front dr l'axe (M sid)sliUions à la snrlarc \o cônt> rirconsrril à

SIRFACES DE RÉVOLITION. 69

partir de ce point. La courbe de contact est une ellipse, projetée verticalement suivant a' b' . Comme c'est une base trop compliquée, prenons une base de Monge (n" -44), obtenue au moyen du cylindre vertical circonscrit. A partir de ce moment, les constructions sont exactement les mêmes que pour la sphère.

Cas du paraboloïde. — La base de Monge est en défaut loi'sque la quadrique est un paraboloïde, car le cvlindre vertical circonscrit

FiK. 24.

est infini. Mais, dans ce cas, on peut prendre comme base la courbe de contact, car on sait que sa projection horizontale est un cercle (t. II, n" 560) ('). La construction est alors simplifiée; les points de contact des plans tangents cherchés sont obtenus immédiatement en menant, du point (/>,/?'), les tangentes à l'ellipse de contact, ce qui se fait au moyen de la projection horizontale. On obtient ainsi les deux points (w, m') et (/?, /?').

56. Problème III. — Plans tangents par un point donné. — Il y a une infinité de plans répondant à la question; ce sont les plans tangents au cône circonscrit à partir du point donné. Le problème actuel consiste, à proprement parler, à construire la courbe de contact de ce cône, ce qui est très important pour les questions d'ombie.

(') Rappelons que le centre de ce cercle est 5.

Si la surface est quelconque, cette courbe ne peut être construite que par points. Deux méthodes peuvent être employées pour obtenir un point quelconque.

I. On assujettit le point de contact à se trouver sur un parallèle donné. — On remplace alors la surface par le cône circonscrit le long de ce parallèle. L'axe étant toujours supposé vertical, soient (5, s') et (H, H') le point et le parallèle donnés. Le cône circonscrit a pour sommet (/?, p'). Il faut lui mener les plans tangents issus

Fig. 25.

Ai,f^'<. - -^'-1 i-l-i- - -il -r

de (5, 5'). A cet effet, nous appliquons la méthode générale du n°22; nous prenons la trace («, «') de la droite (5/), s p'^ sur le plan de base et nous menons, par cette trace, les tangentes am^ an au cercle de base. Les points (/?/, ni) et (/«, n' ) sont les points de contact cherchés.

Cas où le sommet du cône auxiliaire sort des limites de Vépure. — Ceci arrive lorsque le parallèle choisi est très près d'un parallèle maximum ou minimum. Dans ce cas, on utilise la variante suivante, que l'on peut aussi employer, bien (Mitendu, dans le cas général.

On prend la base du conc auxiliaire dans le plan horizontal du point (.s, s'). On n'a pas alors à chercher la trace de la ligne (5/>, s'p')^ puisque celle trace est le point (s. s') lui-mèni(\ On mène les tan-

SURFACES DE RÉVOLUTION. 6l

gentes s^l et 5N au cercle C; les génératrices de contact se projettent horizontalement en yoM et/^N; elles rencontrent (H. H') aux points de contact clierchés (m, m') et (n, n').

Parallèles liryiites. — La construction précédente n'est possible que si le point s est extérieur au cercle C. Le cas limite est celui où 5 est sur G et les parallèles qui donnent naissance à ce cas sont appelés les parallèles limites. Pour les trouver, il suffit de remarquer que le cône circonscrit le long de chacun d'eux doit passer par (5, 5); la génératrice de ce cône qui passe par ce point est évidemment une des tangentes menées par (5, 5') à la méridienne dont le plan a pour trace horizontale os. Ces tangentes se construisent aisément en faisant une rotation qui amène (5, s' ) en (5,, 5',), dans le plan de front de l'axe. Les parallèles H', et H', qui passent parles points de contact des tangentes à la méridienne principale issues de 5', sont les parallèles limites. En ramenant ces points de contact par la rotation inverse, on a, en projection horizontale, les sommets de la courbe de contact situés sur l'axe de symétrie évident 05 et, en projection verticale, les points les plus hauts et les plus bas.

57. IL On assujettit le point de contact à se trouver sur un méri-

Fig. 26.

clien donné. — On remplace la surface par le cylindre circonscrit le

long de ce méridien.

Supposons toujours l'axe vertical et soit MN le méridien donné. Nous menons par (s, s') la parallèle aux génératrices du cylindre, cest-à-dire la perpendiculaire au plan méridien et nous prenons sa trace (a, a') sur ce plan. De cette trace, nous devons mener les tangentes à la base du cône, c'est-à-dire à la courbe méridienne. A cet effet, nous effectuons une rotation, de manière à amener le plan méridien à être de front. Le point (a, a) vient en («,, a\). De «',, nous menons les tangentes à la méridienne principale, soit a\ m[ el a\ n\. En revenant en place, nous obtenons en (m, ni ) et (/i, 7i') les points cherchés.

Méridiens limiles. — La construction n'est possible que si l'on peut mener les tangentes (i\ rn\ et a\ n\. Le cas limite est celui où a\ se trouve sur la méridienne principale. Pour cela, il faut et il suffit que («, a) se trouve sur le parallèle (P, P' ) qui a même cote que s . Comme le lieu du point a est le cercle de diamètre io, en prenant les points de rencontre p et q de ce cercle avec le cercle P, on a, en op et oq^ les traces des méridiens limites. (Observons que p el q sont les points de contact des tangentes menées par 5 au cercle P.)

58. Tangente à la courbe de contact. — Lhi point quelconque (m, m') étant obtenu par Tune ou l'autre des deux méthodes précédentes, on peut se proposer de construire la tangente en ce point àla courbe de contact. Cela n'est simple que si l'on a alïaire à une quadritpie, parce que la courbe est plane; il suffit alors de prendre rintersection de son phm avec le plan tangent en (/??, m') à la surface.

Si l'on a affaire à une surface (|uelconqiie, on pcul se ramener au cas préoédent, en remplaçant la surface par la quadrique engendrée par la conique ayant pour axe Taxe de la surface et osculatrice à la méridienne au point considéré. Ceci suppose, bien entendu, que l'on sait construire le centre de courbure de cette méridienne.

• <Jn peut aussi, et c'est généralement jibis simple, appliquer le tbéorèmc de Dupin (t. II, n" 34-4) et prendre la droite conjuguée harmonique de SM par rapport aux tangentes asymploliques du point iM. Ceci suppose aussi la connaissance du centre de courbure de la méridienne, qui est nécessaire pour la détermination dis tangentes asymplot iqncs (l. Il, n" o6."5 >.

39. l'oinls SI//- les contours aff/titrc/its — ( )u a les points sur le <ontnur apparent horizontal, en aj)pli(|Mimt la inclluxlr du parallèle

SURFACES DE REVOLUTION

aux parallèles de contour apparent horizontal. On a les points sur le contour apparent vertical, en appliquant la méthode du méridien au méridien de front. Il est aisé de vérifier que, dans les deux cas, cela revient à mener des tangentes au contour apparent par la projection de même nom du point S, conformément au théorème III du n** !2.

60. Cas du cylindre circonscrit. — Pour construire la courbe de contact du cvlindre circonscrit parallèlement à une direction donnée (D, D), on applique les méthodes précédentes, en prenant le point (5, s' ) à l'infini sur cette direction. Lès seules modifications à signaler sont les suivantes :

La variante de la méthode du parallèle exposée au n" 06 nest plus applicable. On la remplace alors par la suivante. On prend un point fixe quelconque ( i, i') sur Taxe et Ion considère le cône ayant j)our

Fii.'. 27.

sommet ce point et parallèle au cône circonscrit le long du parallèle. On lui mène les plans tangents parallèles à (D. D'), en menant par (/, /' ) la parallèle (ia, i' a') à cette droite, prenant la trace horizontale (V/, a') de cette parallèle et menant du point a les tangentes ap^ aq à la base du cône. Comme les génératrices de contact des plans tangents cherchés avec le cône circonscrit sont parallèles aux génératrices de contact des plans tangents menés ci-dessus, ces génératrices se projettent horizontalement suivant ip, iq. Elles rencontrent le cercle H aux points ra et «, qui se rappellent en m et n .

CHAPITBE V.

Pour appliquer la méthode du méridien, on doit mener, par un point A arbitrairement choisi dans l'espace, une parallèle à (D, D') et une parallèle aux génératrices du cylindre (n" 22). En choisissant convenablement ce point arbitraire, on peut amener des simplifications dans les constructions ultérieures. Voici comment on pro-

Fig. 28.

cède. On prend un point quelconque (p, p') sur Taxe; par ce point, on mène une parallèle à (D. D') et l'on prend sa trace horizontale. C'est cette trace que l'on choisit pour point A. Voici, dès lors, les constructions que l'on doit faire pour l'application de la méthode.

On projette (a, a') en (6, b') sur le méridien MN. Il n'y a plus ensuite qu'à mener des tangentes à la méridienne parallèlement à la droite ihp. b' p' )■, ce qui se fait par une rotation amenant cette droite à être de front, soit en (pO^, p' b\). On mène ensuite les tangentes à la méridienne principale parallèles à/)'^', et l'on efteclue la rotation inverse sur les j)oints de contact.

6 1 . Éléments de la covirbe de contact dans le cas d'une quadrique de révolution. — Si la surface est une quadrique, la courbe de contact du cône circonscrit de sommet ( .?, s') est une conique, dont le plan est le plan polaire de (5, s ) par rapport à la quadrique. 11 est important de savoir construire les éléments de cette conique. Outre les méthodes qui seront indicpiècs au n" 02 pour une section plane quelconque, voici la man hc (pie l'on peut suivre.

Soit, |)ar exempif, un rllipsoid»' à ax«> vertical. 11 s'agit d(> construire la courbe (h' contact ibi ( rtne circonscrit de sommet (5, s).

SURFACES DE RÉVOLUTION. 6

Commençons j)ar faire une rotation pour amener {s, 5) en (s,, s') dans le plan de front de l'axe. Le plan de l'ellipse de eontact est maintenant le plan de bout a\ b\. Les jioints a, et 6, sont deux sommets de la projection horizontale et a\. b\ sont les points le plus

lij

haut et le plus bas de la projection verticale. Dans la rotation inverse, ces propriétés se conservent toutes deux : a el b sont deux sommets de la projection horizontale et a\ b' sont les points le plus haut et le plus bas de la projection verticale ( ' ).

Le deuxième axe de la projection horizontale est la perpendiculaire au milieu de ab. Pour avoir ses sommets, observons qu'il est la projection horizontale de l'axe horizontal de la courbe de l'espace iab étant la projection de l'axe de plus grande jjenle i. dont la projection verticale est la parallèle à la ligne de terre menée par le milieu c' de a b' . Il suffit, dés lors, de couper par le jilan horizontal passant par c' et l'on a, en e. y, les sommets cherchés. Des lignes de rappel donnent ensuite les points e . f . extrémités du diamètre horizontal de la projection verticale.

Xous connaissons finalement les axes de la projection hovizoîilale et deux diamètres conjugués rie la projection verticale.

{') Ces points ont été déjà donnés par les parallèles limites (n° 5G), Haag — Cours, IV.

62. Section plane d'une surface de révolution. — Pour avoir un point quelconque, on coupe par le plan cV un parallèle. Si l'axe est, par exemple, vertical, on peut aussi couper par un plan méridien et faire une rotation pour amener ce |)lan à être de front.

La tangente est donnée par l'intersection du [)lan sécant et du plan tangent ou bien par la méthode des normales.

Si l'axe est vertical, les deux méthodes précédentes permettent évidemment de construire les points sur les contours aj)parents.

Le plan méridien perpendiculaire au plan sécant est un plan de symétrie pour les deux surfaces, donc pour leur intersection. Sa trace horizontale est un axe de symétrie pour la projection horizontale. En lui ap[)liquant la méthode indiquée ci-dessus, on obtient des sommets en projection horizontale et, en projection verticale, les points les plus hauts et les plus bas. ( La tangente en chacun de ces points dans l'espace est perpendiculaire au plan méridien. )

Si la surface est une quadrique. le deuxième axe de la section est l'horizontale du |)lan sécant qui passe par le milieu des deux |)oints précédemment obtenus. C'est aussi le deuxième axe en projection horizontale. On obtient ses extrémités en cou[)anl par le plan horizontal qui le contient. En projection verticale, on a ainsi deux diamètres conjugués.

Les asymptotes |)euvent être construites en remphiçant la surface par ses cônes asymptotes (n"9), qui sont toujours de révolution et qui sont engendrés, par exemple, par les asyjnpt(>le> tie la méridienne.

63. Intersection d'une droite et d'une surface de révolution. — Si la surface est quelconque, le problème ne jieut être résolu que dans les deux cas particuliers suivants :

I. La droite est pei pendiculaire à raxe. — On cou|)c par le |jlan perpendiculaire à l'axe mené |)ar celte droite. Si Taxe est vertical, les constructions sont évidentes et très simples. S'il est obli<jue sur les deux plans de j)rojcclion, il faut utiliser une sphère c(mlenant le parallèle de section par le plan auxiliaire precédeni cl l'un est ramené à cherehei' l Mitei>eel mn de la droite propox-e a\ee cette sphère.

II. l^a droite rencontre ra.rr. ()ii coupe pai- le pLiii méridien

SURFACRS DE HÉ\0LITI0X. f)7

(jiii la conlieat. La construction n'est facile que si l'axe est perpendiculaire à l'un (les plans de jirojection, auquel cas on fait une rotation.

64v Cas d'une quadrique. — Soit, par exemple, un ellipsoïde de révolution à axe vertical, dont nous voulons l'intersection avec la droite (D,D'). Coupons |)ir le plan projetant verticalement celte droite. La section de lellipsoïle est une ellipse E, dont il faut prendre l'intersection avec la droite. A cet effet, employons l'artifice suivant. Pienons comme surface auxiliaire le cône ayant pour liase l'ellipse et pour sommet le sommet {s. s') de l'ellipsoïde.

Fig. 3o.

Ce cône possède la propriété avantageuse d'avoir ses sections horizontales circulaires. En effet, il coupe l'ellipsoïde suivant une première conique, donc suivant une seconde. D'autre part, le sommet (^.5') est un point double de l'intersection; comme il n'appartient pas à la première conique, c'est nécessairement un point double de la seconde. Donc, celle-ci se décompose en deux droites, qui ne peuvent être que la section de l'ellipsoïde par le plan langent en (5. s'). Or, les sections horizontales de l'ellipsoïde sont des cercles; les deux droites ci-dessus sont donc des droites isotropes. Le cône étant coupé suivant un cercle de rayon nui par le plan horizontal de son sommet, toutes ses sections horizontales sont circulaires. {Cf. t. II, Chap. X.XXIJ ; Exercice proposé n° 6.)

Construisons une quelconque de ces sections, en coupant, par exemple, par le plan c' d'. Le plan de fiont de l'axe étant un plan de symétrie, il suffit de

fi8 CHAPITRE V.

construire les Iraces des génératrices situées dans ce plan pour avoir, en cd, un diamètre du cercle cherché.

Nous n'avons plus maintenant qu'à prendre l'intersection de notre cône avec la ilroitc (D.D'), ce qui se fait par la méthode habituelle i n° 23). Nous construisons la trace horizontale ^/t du plan (sD, s'D'); nous prenons ses points de rencontre î,/ avec le cercle; nous joignons si. sj et nous avons, en (m, m') et (n,n'), les points cherchés.

Cette méthode n'est applicable qu'à la condition que la quadrique soit rencontrée en des points réels par son axe. Le seul cas où il n'en est pas ainsi est celui de l'hyperboloïde à une nappe. Mais, nous indiquerons une méthode spéciale pour cette surface au n" 81.

Faisons encore observer que. dans le cas du paraboloïde, si l'on prend s' à l'infini, la méthode revient à utiliser la projection horizontale circulaire de l'ellipse E.

60. Intersection d'une surface de révolution avec un cône ou un cylindre. — Bornons-nous au cas où Taxe est, par exemple, vertical, la base du cône étant, en outre, donnée dans le plan horizontal.

La méthode générale pour construire un point quelconque consiste à couper par un cône auxiliaire ayant même sommet que le proposé et admettant pour base iiii parallèle quelconque de la surface. On prend rinlersection des deux cônes, en se servant de leurs bases dans le plan horizontal et l'on prend les points de rencontre des <;énératrices obtenues avec le parallèle.

Il revient au même de dire que l'on coupe par des plans horizontaux, en faisant une projection conique des sections auxiliaires obtenues. Si la base du cône proposé est circulaire, on peut d'ailleurs éviter, si l'on veut, cette projection conique et faire la projection orthogonale habituelle. Mais, cela n'est pas avantageux, car il latit. chaque fois, construire deux cercles au lieu d'un.

La tangente au point courant se construit par rinlerseolion des plans tangents.

Les cônes auxiliaires limites sont ceux qui sont tangents au proposé. Leur détermination est généralement impossible.

Les points sur les contours apparents du cône ne peuvent èlre construits (jue si les génératrices de contour apparent satisfont aux conditions particulières indiquées au n° 03 ou bien si la surface de révolution est une quadrique. Les points sur le contour a[)parenl liorizonlal de la surface de révolution sonl, au contraire, toujours donnés par la nK'lhode générale exposée ci-dessus, en jH-enant b-s

SUKFACES DE RKVOLITIO.V. 69

parallèles qui cunslitueni ce contour apparent. Quant aux points sur le contour apparent vertical, on ne peut pas, en général, les construire directement, car la section du cône par le plan méridien de front est une courbe quelconque, dont on ne saurait construire les points de rencontre avec la méridienne principale.

Cas PARTicLi ieus. — I. Le sommet du cône est sur l'axe. — Outre la méthode générale précédente, on peut couper par les plans méridiens, en faisant une rotation. On peut ainsi construire les points sur les contours apparents du cône et sur le contour apparent vertical de la surface.

II. Cylindre à général} ices perpendiculaires à l'axe. — La méthode générale exposée plus haut est évidemment en défaut. Mais, il est alors très simple de couper par les plans des parallèles, puisque ceux-ci coupent le cylindre suivant des génératrices.

06. Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent. — La méthode générale pour construire un point quelconque consiste à couper par une sphère ([uelconciue ayant pour centre le point de rencontre des deux axes. On obtient un certain nombre de parallèles sur chaque surface et l'on prend les intersections de ces parallèles deux à deux. Pour construire les points de rencontre de deux parallèles, on prend l'intersection de leurs plans et l'on construit les deux points de i^encontre de cette droite avec la sphère auxiliaire. Les points ainsi obtenus sont évidemment symétriques par rapport au plan des deux axes, lequel est donc un plan de syméti'ie de la courbe, comme cela est, du reste, évident a priori^ puisqu'il est plan de symétrie [)Our chaque surface.

Les constructions ne sont simples que si le plan des axes est parallèle à l'un des plans de projection. Supposons-le, par exemple, de front. Soient (A, A') et (B,B') les deux axes et donnons-nous chaque surface par sa méridienne principale. Coupons par une sphère de centre {o.,o'). Nous obtenons des parallèles dont les plans sont de bout. Soient, par exemple, a'b' elc'd' les projections verticales de deux d'entre eux. Leurs plans se coupent suivant une droite de bout, de trace m'. Nous prenons l'intersection de cette droite avec la sphère, en coupant par un plan horizontal; nous obtenons ainsi deux points de la courbe d'intersection (/;?,///) et (a/ï,, //?').

ciiAPiinr. V.

em-

Pour couslniire la tangente en {m, ni), le pins simple est d .... plover la niélhode des normales, car on a immédlalemenl les normales inin.ni'n') el {mp,m'/>') aux deux surfaces. 11 ne rcsf cpi'à mener une perpendiculaire à leur plan. La droite (/«/p, «'//) est une frontale de ce plan; donc, la tangente en in à la projection verticale est perpendiculaire à n' // . Coupons maintenant le plan des normales

Fi". :îi

par le plan horizontal ([ul passe par ni' : nous obtenons le point {q,q') sur la droite {/)/), /l'p') et la droite [/iu/^nt' (/') est une horizontale du plan normal; la tangente en m à la projection horizontale est donc perpendiculaire à nir/.

Sphères /imites. — I^our qu'une sphère auxiliaire donne des points, il faut qu'elle coupe chaque surface. Les s/)/ières limites sonl celles fpil sont Inx rites dans l'une ou l'autre (h-s deux surfaces. SI, i)ar exemple, nous abaissons la normale o' g sur la méridienne de la surface (A), la sphère de rayon o'i,''est limite pour cette suilace. Les parallèles suivant lesquels elle ((nipe (H) sonl tangents à la eoinhe d'inlerseetioii. d'après le iheoième «les surlaces limites (u" 7 l. En

SURFACES DE REVOLITIOX.

projection verticale, ou obtient, de la sorte, les points où la tangente est perpendiculaire à B'.

07. Points sur les contours apparents. — Ou ne peut pas, en i;énéral, construire les points sui; les contours apparents horizontaux. 11 n'j a exception (jue si l'un des axes est vertical, auquel cas on prend les sphèies auxiliaires passant par les parallèles niaxima et niinima de la surface correspondante. Signalons aussi le cas où les deux $iirface> sont des (juadriques. Le contour apparent de chacune

d'elles se projette verticalement suivant une droite, trace du plan diamétral conjugué des cordes verticales; il suflit de construire les points d'intersection de cette droite avec la conique suivant lac[uelle se projette verticalement la courbe d'intersection.

Les points sur les contours apparents verticaux sont les points de rencontre des méridiennes principales. (Il peut aussi y avoir des points sur des parallèles à plan tangent peipendiculaire à l'axe; on les oblieut au mo^en des sphères auxiliaires passant par ces parallèles.) Soit p' l'un de ces points. Cherchons sa tangente. Dans l'espace, cette tangente est de bout, puisque les plans tangents aux deux surfaces sont de bout. En projection horizontale, il n'y a pas de difficulté; la tangente en p est perpendiculaire à la ligne de terre elle point p est un sommet de la projection horizontale. En projection verticale, nous savons qu'il faut prendre la trace du plan osculateur ( n'' 1 ). le point />' devant, en outre, être un point de rebioussement. En réalité, on n'a pas, à proprement parler, un point de rebrousse-

72 ciiviMinK V.

ment; mais, tous les points de la projection verticale peuvent être considérés comme tels, ainsi qu'on le verra au n" 68. La tangente en /^' n'en est pas moins donnée par la trace verticale du plan o>culaleur de la courbe de l'espace. On ol)tient aisément ce dernier au moyen du théorème de Meusnier (t. II, n° 335). Le centre de courhure normale pour chaque surface est le point de rencontre de la normale avec l'axe (t. II, n" 363). 11 en résulte que le plan osculateur cherché est perpendiculaire à la frontale a' b\ donc aussi la tangente en p' . On retrouve tout simplement la règle pour construire la tangente en un point quelconque de la projection verticale, ce qu'on aurait d'ailleurs pu prévoir, par raison de continuité.

On peut aisément déduire des raisonnements qui précèdent la construction du centre de courbure en yj à la projection horizontale. En effet, l'axe de courbure de la courbe de l'espace est la droite {ab^a b'). 11 rencontre la normale en (p,/^') au cylindre projetant horizontalement la courbe au point (c,c'), qui est donc le centre de courbure normale de ce cvlindre, c'est-à-dire le centre de courbure de sa section droite. Il s'ensuit que le centre de courbure cherché n'est autre que le point c.

68. Branches virtuelles de la projection verticale. — La courbe de l'espace admettant le plan de front des axes pour plan de symétrie, la projection verticale peut admettre des branches virtuelles (n" 10). Si, dans l'application de la méthode générale, le point m' se trouve en dehors du contour apparent vertical de la sphère auxiliaire, il aj^partient à une telle branche, car les deux points de la courbe (h^nl il est la projection verticale sont imaginaires conjugués. Le cas limite est celui où ces deux j)oints sont confondus. Ceci arrive lorsque le point m' est un des points de rencontre des méridiennes principales, de sorte que ces points sont les points limites des branches virtuelles.

Dans le cas où les deux surfaces sont des quadriques, on peut aisément, par l'application de la méthode générale du n" 10, construire les asynq)totes de ces branches. Pcuir avoir les plans de sections homolhétiques, on inscrit une sj)hèr(' (lan> une <les surfaces cl l'on circons(;rit à cette sphère une cpiadricpie homolhéli([ue à 1 autre surface. On a alors deux quadiitpies circonscrites à une menu; troisiènu; et se coupanl, par conséquent, suivant deux coniques. Les plans de

SLKFACES DE llÉVOLLTION. y3

ces deux coniques sont les directions de plans cliexxhées ; leurs traces verticales sont les directions asjmptotiques de la projection verticale (laquelle est, comme on sait, une conique, puisque, d'une manière générale, le degré de la projection verticale est la moitié du degré de la courbe de l'espace). Pratiquement, on trace un cercle bitangent à l'une des coniques niéiùdiennes principales, la corde de contact étant perpendiculaire à Taxe de la surface. Par exemple, on prend le cercle décrit sur l'axe de l'équateur comme diamètre. Puis, on construit une conique homothétique à l'autre méiidienne et bitangente à ce cercle, la corde de contact étant perpendiculaire à l'axe de la seconde surface. Les sécantes communes, qui se coupent au point de rencontre des deux cordes de contact ('), sont les directions asymptotiques cherchées. (Rappelons qu'elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux cordes de contact ; t. II. n" ■49'2. )

Lorsqu'une des surfaces est un hvperboloïde, on peut prendre son cône des directions asymptotiques comme quadrique homothétique. Il suffit alors, dans la construction précédente, de prendre comme seconde conique deux tangentes au cercle parallèles aux asymptotes de la méridienne de l'hyperboloïde et se coupant sur le diamètre parallèle à l'axe.

Si l'une des surfaces est un paraboloïde, on peut prendre comme surface homothétique un cylindre de révolution parallèle à l'axe et, par suite, comme seconde conique, les deux tangentes au cercle parallèles à cet axe.

Une fois connues les directions asvmptotiques, on a les asymptotes comme il a été expliqué au n° 10.

69. Extension de la méthode des sphères auxiliaires. — La méthode indiquée au n** 66 pour construire un point quelconque peut être appliquée toutes les fois qu'on peut trouver une infinité de sphères coupant chacune des surfaces dont on veut construire l'intersection suivant un cercle variable. (Les surfaces ne sont plus nécessairement de révolution. )

Par exemple, supposons que 1 on ail afïaire à un tore et à une

(') On peut en conclure que les dirc< lions asymptotiques sont confondues, c'està-dire que la projection verticale est une parabole, lorsque les axes des deux surfaces sont parallèles et dans ce cas seulement.

74 CHAPITRE V. — SIRKACES DE RÉVOMTrOX.

surface de révolulion quelconque ayant son axe n'impoite où dans le plan de Téquateur du tore. Prenons un cercle méridien quelconque du tore et considérons la sphère qui passe par ce cercle et qui a son centre sur l'axe de la seconde surface. Cette sphère coupe la seconde surface suivant des parallèles, qui rencontrent le cercle méridien du tore en des points de l'intersection.

De même, si l'on a affaire à deux tores avant en commun un cercle méridien, on pourra couper par une sphère variable passant par ce cercle. Elle coupera chaque tore suivant un deuxièm.e cercle méridien et les deux cercles ainsi obtenus se rencontreront en deux points variables de l'intersection.

chaphiœ yi.

SURFACE GAUCHE DE RÉVOLUTION

70. Généralités. — On appt-lle st/r/ace gauche de révolution la surface engendrée par une droite tournant autour d'un axe qui ne la rencontre pas.

C est à la fois une surface de révolution et une surface réglée; elle |)articipe, par conséquent, à la fois aux propriétés |)articulières de ces deux catégories de surfaces.

Nous avons vu (t. II, n** 5o6) que c'est aussi un hyperboluïde à une nappe et nous le vérilierons, du reste, élémentairement, en cherchant la méridienne principale (n° 74).

Il en résulte que la surface possède toutes les propriétés des quadriques réglées (t. II, n° 447).

Supposons, pour simplifier. Taxe vertical, soit ( o, o' z'). Soit (G, G ) la droite génératrice. On a toutes les génératrices du même système, en la faisant tourner autour de l'axe d'un angle variable. C Cï-t là un problème de Géométrie descriptive élémentaire. On facilite les constructions par la considération du cercle de gorge ^ c'està-dire du parallèle minimum. Ce cercle est décrit par le pied de la perpendiculaire commune à l'axe et à (G, G). Comme l'axe est vertical, cette perpendiculaire se projette horizontalement suivant la perpendiculaire abaissée de o sur G, soit oa. Le point a se relève ensuite en a\ sur G . Dans la rotation, {a, a) décrit un cercle projeté horizontalement en \ raie grandeur, suivant le cercle de centre o et de rayon oa et verticalement suivant le segment horizontal c' d' .

La trace horizontale {^h, h' ) de ('G, G ) décrit un cercle de centre o et de rayon o^, qui con^titue la trace horizontale H de la surface.

Au moyen de ces deux cercles, il est facile de construire rapidement une génératrice quelconque (G,, G',) du premier sy^lème. D'abord, G(, de même que G, est tangente à la projection horizon-

76 CHAPITRE Vl.

taie du cercle de gorge (ce qui ne veut pas dire, bien entendu, que la génératrice soit tangente au cercle de gorge dans l'espace). Le point de contact «, se relève en «',, sur c d' . La trace horizontale ^, est un des deux points de rencontre de G, avec H. On le choisit, en remarquant que, dans la rotation, le sens positif défini, sur le cercle de

gorge, par la demi-tangente ab (t. U, n" 11), doit toujours rester le même. Cela fixe dés loi's, le sens de a, bx et, par suite, le choix de />,. Avant Z>,, on le relève en b\ sur la ligne de terre (*). En joignant a\ b\, on a G', .

7L Les génératrices du second système peuvent être définies comme symétriques des génératrices du premier système par rapport aux plans méridiens. Prenons, par exemple^ la symétrique de (G, G') par rapport au plan méridien oa. Le point («, a) ne change pas ; quant au point (6, 6'), il est remplacé par U'^ e), de sorte que (G, G"^ est une génératrice du second système.

On voit qu'on peut distinguer les deux systèmes, sur la projection horizontale, pai- le sens de la demi-tangente au cercle de gorge

(') On pciil cvidciniiienl faire jouer à un parallèle i|uel(on(|uo aulre cpie le ccrele de gorge le rùle du parallèle II.

SURFACE GAUCHE DE RÉVOLUTION. 77

orientée du point de contact vers la trace horizontale. Cette demitangente définit deux sens de rotation opposés sur le cercle de gorge, suivant que la génératrice considérée appartient au premier ou au second système.

72. Il est facile de vérifier, sur les constructions ci-dessus, les propriétés fondamentales des deux systèmes de génératrices (l. II,

Thkorème I. — Deux génératrices de même système ne sont pas dans un même plan.

Car si les génératrices (G, G') et (G|, G',), par exemple, étaient dans un même plan, les droites «a, et ^6,, qui joignent des points de même cote, seraient parallèles. Or, cela est impossible, car elles font entre elles un an "le é^al à aoai .

THÉORÈ^rF. II. — Deux génératrices de systèmes dij/érents so/it dans un même plan.

Les génératrices (G, G") et (G,. G',) sont dans un même plan, car les droites «<7| ele6,, qui joignent des ])oints de même cote, sont parallèles. (Les segments ai ^i et ae sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite om ; donc, rt«, et eby sont perpendiculaires à cette droite et, par suite, parallèles.)

Les deux génératrices, étant dans un même plan, se rencontrent au point {m, m'). Le plan tangent en ce point à la surface est le plan des deux génératrices. Sa trace sur le plan du cercle de gorge est la droite (a«,. a'a\), dont la projection horizontale est la polaire de /// par rapport à la projection horizontale du cercle de gorge.

THnoiiÈME III. — Tout plan passant par une génératrice est tangent à la sur/ace.

Donnons-nous un plan quelconque passant par (G, G") au moyen de sa trace sur le plan du cercle de gorge, soit «ai . Cette trace rencontre le cercle de gorge au point («,, a\). Menons la génératrice (G(, G',) qui passe par ce point et qui est de système différent de (G, G); elle rencontre (G, G') en (m, ///) et le plan donné est tangent à la surface en ce point.

73. Plans et cône asymptotes. — Le plan langent au point à l'infini sur (G, (}') ou plan asjinptote est déterminé par la génératrice proposée et par la génératrice parallèle (Gj, G',). (On mène G, tangente au cercle de gorge et parallèle à G; puis, on choisit la trace horizontale è|, de manière que les deux génératrices soient de systèmes différents ; ou bien, on mène, par a'j, G', parallèle à G.)

Fig. 3',.

La trace de ce plan sui- le plan du cercle de gorge est le diamètre aa\. Donc, le plan asymptote passe par le centre {0,0 ) de la surface.

i^a trace horizontale du même [)lan est hb^ parallèle à </«,. Quand la génératrice proposée décrit la surface, le plan asymptote envelop|)e un cône de sommet (o, o) et dont la base, dans le plan horizontal, est le cercle de centre o et de rayon or. enveloppé par AA,. Ce cône <;st le cône asymptote de la suiface. Sa général rice de contint avec le ])lan as\ niptote est la droite (oc, o' r') é(pii(li>lautc do (k'ux génèi-atrices parallèles ((i. G') et ((îi, (', j-

7i. Méridienne principale. - Nous savons (pie icllc nu-ridienue e.sl une hyperbole de centre n' et d'axe non transverse </c- . Ses asymptotes sont les génératrices de front \ et IV du cône asymptote, l'iiilin. ses sommets .sont les r\l ii'inilés a et // du (liaincl ic ilc iVoul du cercle de i;ori;c.

SURFACE GAUCHE DE REVOLUTION

Il est aisé de vérifier tout cela par des considérations élémentaires. Construisons un point quelconque [m, m') de la méridienne principale, en prenant l;i trace d'une génératrice quelconque (G, G') sur le plan méridien de front F. Considérons, d'autre part, les génératiices de front (A. A')et{B, B') qui sont

du système différent de (G, G). Elle rencontrent cette tierniére en (c, c') et {d. </'). Le point »? étant au milieu de cd, ni' est au milieu de c d' . Il nous suffit, dés lors, de piouver que le produit o'c' .o'd' est constant, car ce produit est le quadruple du produit des coordonnées de m', rapporté aux axes A' et B'. ()r, si 3t désigne l'angle des génératrices avec Taxe de la surface, on a

fd sina

rc.fd si 11 -7.

D'autre part, les longueurs ce et dj sonl respectivement égales à cj) et à dp ;

donc, le produit ec.fd est égal, au signe près, à pc.pd: il est donc égal à op

Finalement, o'c'. o'd' — ( . ) ; il est constant et le lieu de /n' est bien une \ sina /

hyperbole admettant A' et B' pour asymptotes.

Le point ni étant au milieu de c' cl' , celle dernière droite est,

8o CHAPITRE VI.

comme on sait (t. II, n° oil), la tangente en ju' . De sorte que la méridienne principale est Ven^^eloppe des projections verticales des génératrices. Ceci est, d'ailleurs, un cas particulier d'une proposition plus générale (t. Il, n" 369), si l'on observe que ladite méridienne est le contour apparent vertical de la surface.

De même, le contour apparent horizontal, qui est le cercle de gorge (n°oO). est, nous l'avons vu (n" 70), l'enveloppe des projections horizontales des génératrices.

7o. Problèmes sur les plans tangents. — Tous les problèmes sur les plans tangents peuvent être résolus par les méthodes générales exposées aux n"' 33 à 61. Mais, on peut aussi les résoudre par des méthodes particulières, basées sur l'emploi des génératrices.

Problilme I. — Construire la courbe de contact du cône circonscrit à partir d\in point donné (s, s').

Pour avoir un point quelconque de cette courbe, on l'assujettit à se trouver sur une génératrice donnée quelconque (G, G').

Bornons-nous à faire les constructions en projection horizontale, les projections verticales s'en déduisant par le moyen des lignes de rappel. Nous nous donnons la surface par son cercle de gorge C et sa trace H sur le plan horizontal du point donné s (' ).

Fiir. 3(>.

Le point cherché se trouve à rinlersection de G avec la génératrice

(') (leci cxcliil le cas où ce point sr iroiivc duns le plan du cercle de porge. Mais, dans ce cas, le plan de la courbe de conlacl est cvidenimenl vertical el la projection liori'/ontale de la courbe se fail sur la polaire de s par ra[)porl à la projection du cercle de gt)rge.

SIUKACIC OAICIIE DE REVOI.LTIO.N

de système difTérent située dans le plan (S. G). Pour construire cette seconde «génératrice, cherchons le point où elle rencontre le cercle de gorge. A cet effet, nous prenons la trace du plan (S, G) sur le plan de ce cercle. Cette trace passe d'abord par la trace a de G. Ensuite., elle est parallèle à 56, trace de (S, G) sur le plan de H. Elle coupe C en c et la tangente en ce point à C est la projection de la génératrice cherchée (c'est aussi la droite al). Elle rencontre G en ///. qui est le point demandé.

Cherchons la tangenle en ce point. Elle se trouve à l'intersection du plan tangent avec le plan polaire de S. Coupons ces deux plans par le plan de gorge. La trace du plan tangent est ac. La trace du plan polaire est la polaire p de s par rapport à C. En effet, cette trace se trouve dans les plans polaires de S et du point àTinfini dans la direction verticale ; c'est donc la droite conjuguée de la verticale du point S (^t. il, n" 436). Par suite, elle se trouve dans le plan polaire du point où cette verticale perce le plan de gorge ; or, ce plan polaire contient évidemment la droite p.

Les droites ac et p se rencontrent maintenant au point / (qui se rappellerait sur la projection verticale du cercle de gorge) et la droite mt est la tangente cherchée.

76. Poinls reniarrjuables. — Nous avons d'abord les sommets situés sur sa. On pourrait les construire par la méthode du méridien ( n" o7). Mais, il est plus simple d'appliquer la méthode précédente, en prenant pour droite bd la perpendiculaire à os. Les tangentes à C issues du point h. par exemple, rencontrent sa aux sommets cherchés m et n.

Le milieu / de mn est le centre de la projection horizontale de la conique de contact ; la perpendiculaire pcj menée par ce point à os est le deuxième axe. Pour avoir les sommets correspondants, il suffit de couper par le plan horizontal équidistant des points M et N de l'espace. La section de la surface gauche est un parallèle, qui rencontre bn en un jjoint :l: situé au milieu des points où cette génératrice rencontre les jiarallèle^ des points M et N. Le premier de ces deux points est/, obtenu en traçant le parallèle de //i ; le second est «. i\ous prenons maintenant le milieu ù àe fn et nous traçons le parallèle qui passe par ce point. 11 coupe la droite y>^ aux deux >ommels/> et q cherchés.

Si l'on raj)pelle les quatre points m, n,p.,ri en projection vcrlillAAU. — Cours. IV. - 6

cale, on ohlionl deux diamètres conjugués de cette projection

Les points sur le conloiu- apparent horizontal sont les points de contact des tangentes à C menées par .v ( n'^ 2 i.

Fig. 37.

hespoi/its sur le contour apparent vertical peuvent être ohlcnn^ par la méthode jj;énérale du méridien (n" o7V 11 est plus simple de les coiislruiic au movcn des général i-ices. en prenant bd pcr|>endiculairc à la ligne de terre ( ').

77. iMioBLKMF. II. — Mener h's plans t<tn^ents parallèles à un plan donné. — Le prohléuie re\ ieul é\ nhiument à conslruiie les génératrices parallèles à ce plan et à 1rs associer deux ii deux, en les prenant de systèmes différents. On obtient d'ailleurs les diroc-

(') l)'iine manière ;;énérale, un a les points mit un méridien donne on prenant bd perpendiculaire a i:e méridien.

SIRFACE GAUIlli DE REVOLUTION.

lions de ces génératrices en coupant le cône asymptote par un jtlan |>arallèle au plan donné mené par le sommet de ce cône.

La surface étant toujours déterminée par C et H, déterminons le plan donné par 1(^ centre o de la surface et par la droite P du plan de H. Construisons la trace T du cône asymptote et prenons ses deux points de rencontre a el b avec P. Les génératrices cherchées sont parallèles à oa et à ob. On a leurs projections A, A,, B, B, .

ri 2. 38.

en menant les tangentes à C parallèles à ces deux droites. En associant A et B d'une part. A, et B, dautre part, on obtient, en /n et p. les points de contact des plans demandés.

Faisons remarquer que ces points ^ont sur la perpendiculaire à 1*. menée par o, car ds sont dans le j)lan méridien perpendiculaire au plan donné.

78. pROBLÈAiE III. — Méfie/- les plans lans^ents passant par une 'Iroile donnée.

On peut dabord apjjliquer la méthode du n" oo. Si Ion veut, au c jnlraire, utiliser les génératrices, on peut s'appuver sur ce fait que les génératrices situées dans les plans demandée rencontrent la droite D donnè»^ aux deux points d interjection de cette droite avec la surface. Inversement, supposons ces deux points construits. Menons les deux génératrices qui passent par chacun d'eux. En associant ces quatre génératrices deux à deux, en les prenant dans

84 fHAPITKE Vt.

(les systèmes dilTérents, on a les plans demandés. On voit donc que le piobléme proposé revient à l'intersection d'une droite avec une surface gauche de révolution, problème qui sera résolu au n° 80.

79. Section plane. ^— Pour construire un point quelconque, on prend l'intersection d'une génératrice quelconque avec le plan sécant. On a la tangente en ce point, en menant la seconde génératrice qui en est issue et construisant l'intersection du plan de ces deux génératrices avec le plan sécant.

Dans la pralicjue, on cherche tout de suite les éléments de la section, comme il a été expliqué au n° 62. Observons seulement que pour avoir les sommets de l'axe situé dans le plan méridien de symétrie, on peut appliquer la méthode du cas III du n" 80; pour avoir les deux autres sommets (dans le cas de la section elliptique), on ap[)liquera la méthode du cas II. Si la section est |jaral)olique, on pourra construire le sommet, en appliquant la méthode du cas 1\ , puisque l'on connaît déjà un point d'intersection, à savoir le point à l'infini.

La construction des points sur le contour apj)arent horizontal est évidente. Pour avoir les points sur le contour apparent vertical, on |)eut procéder comme pour une surlace de révolution quelconque, en utilisant la méridienne. On peut aussi construire, par la méthode tlu n° 80 (cas III), les points de rencontre de l'hjperboloïde avec la droite d'Intersection du plan sécant et du plan de front de l'axe.

80. Intersection avec une droite. — Nous allons d'abord examiner plusieurs cas particuliers où la C()n>truction est simple.

I. La (Iroile est parallèle à Vaxe. — Si nous supposons toujours l'axe vertical, cela revient à chercher la projection verticale d'un j)oint de la surface, connaissant sa projection horizonlah* m. On j)Ourrait utiliser le parallèle qui passe par ce point, comme dans le cas d'une surface de révolution quelconque {x\" i8). On peut aust-i construire une des génératrices qui passent par le point cherché. Sa projection horizontale est une tangente ma menée de /// à la projection du cercle de gorge. Elle rencontre le cercle H en deux points h et r. (pii se rappellenl en h' et c' sur la ligne de terre. Les droites a' b' <'t a' c conNlituciil les projections verticales des deux geneialriees

SLIIFACE GAUCHE DE RÉVOLUTION. 8i

projetées horizontalement en ma. La ligne de rappel de m les rencontre en vi' et ///", qui sont les projections verticales des points cherchés.

Remarquons que celte méthode revient à couper la surface par un plan tangent au cercle de gorge mené par la droite donnée.

Fig. 39.

Cette interprétation peut servir à résoudre le problème, lorsque l'axe a une position quelconque par rapport aux plans de projection.

11. La droite est perpendiculaire à Vaxe. — On coupe par le plan perpendiculaire à l'axe, comme pour une surface de lévolution quelconque (n" 63). Bien entendu, pour déterminer le parallèle de section, on se sert du point de rencontre du plan auxiliaire avec une génératrice de la surface.

m. La droite rencontre ra.re. — On coupe par le cône de réiolution engendré par la droite en tournant autour de l'axe de la surface. L'intersection se compose de deux parallèles, dont on prend les points de rencontre avec la droite. Pour avoir ces parallèles, on construit l'intersection d'une génératrice quelconque de

CHAI'ITRE VI.

la surface avec le côiie^. Les parallèles qui passent par ces points sont les parallèles rlierchés.

Faisons l'épure dans'le cas où l'axe esl vertical. Prenons la généralrice de front (G, G'), par exemple. Le plan (^G, .s'G ) a pour

Fi-. Ac.

trace horizontale la droite ac. Cette trace rencontre la trace horizontale du cône auxiliaire aux deux [)oints ip,p') et (ry, q'). En joignant s'p' ei-s'q\ on a, en /' et i\ les projections verticales des points d'inleisection de (G, G' ) avec le cône. En nicniiul. pai" ces |)oints, des horizontales, on a les projections verticales (h^s |)arallèics cherchés. Elles rencontrent D en ni\ /i', qui se rappellent en //<, ii sur D. Les points (/;?, in' ) et ( /?, n' ) sont h\s points demandés.

1\. Ln droite esf (/(le/co/iquc ; nuiis on ro/uiii/i dijà un des points <r intersection. — Ou construit lune des génératrices qui passent par ce [)oint, soit (». Puis, on coupe par le |dan ( D, G ); on obtient um<^ deuxième génératrice, qui rencontre I) au second point d intersection cherché.

h'aisons encore 1 épure, en supposant Taxe vertical. Soit (^, />' ) le point connu, situé sur la génératrice (G, (i ). Nous prenons la trace {tih. ah') (hi phin ((ID, G D' ) sur \c phui (h- gorge. La di'oite oh reiieonlif \v, ccrcli' ih' <;()ri;e en c. Nous i)i(iuu»> la tangente en ce

SURFACE GAUCHK DE RÉVOLLiTION. 87

point à ce cercle; elle rencohtre D en w, que nous rappelons en in\ sur D'. Le point (m, m' ) est le point cherché.

Fig. 4,.

81. Cas général. — Nous imliqucrotis la niélli'nle tlile « de Rouchû ». Coupons par la surface auxiliaire obtenue en faisant tourner la droite D autour d'un axe choisi de telle manière que les deux surfaces aient même plan de goi^e. Leur intersection admet ce plan comme plan de symétrie et s"v projette, par conséquent, suivant une conique. Cette conique passe par les points de rencontre des deux cercles de gorge, donc, en particulier, par les points cycliques. Cest donc un cercle. Klle rencontre la projection de D aux piojerlions des deux points demandés.

Faisons Tépure, en supposant toujours Taxe vertical. La droite (D, D') perce le plan de gorge en (a, a ). La trace horizontale de Taxe de la surface auxiliaire doit se trouver sur la perpendiculaire menée par « à D; prenons-la, par exemple, en p. en nous arrangeant pour que le nouk'eau cercle de gorge E rencontre le premier en deux points réels b et c, qui sont déjà deux points du cercle F, suivant lequel se projette l'intersection des deux surfaces. Construisons ensuite deux autres points de ce cercle, en coupant les deux surfaces par un plan horizontal. Nous obtenons le cercle H dans la

CHVPITRE VI.

surface donnée et le cercle I, de centre p et de rayon pd. dans la surface auxiliaire. Ces deux cercles se rencontrent en e et /. Nous liaçons le

Fis. /|2.

cercle F qui passe par 6, c, e^f\ il renoonire D en ni, n, qui se rappellent en /n', n' sur D'. Les points {ni, ni') et {n, n) sont les points cherchés.

8'2. Intersection avec une surface quelconque. — l*oiir construire 1 intersection d'une surface gauche de révolulion A avec une autre surface H. on peut considérer \ soit coiniiie une surface de révolution, en apj)licjuant les uiélliodes du Chapitre |)récédent, soil ct)uime une surface réglée, en prenant lintersectlon îles génératrices successives avec B. Par exemple, si B est un cône, on peut a|)pliiju<'r la méthode du n" 6o ; mais, on peut aussi couper par des phms auxiliaires passant par le somuiet du cône et par les génératrices de A. De même, si les deux surfaces sont des livperboloïdes avant tine génératrice couiininn\ on eoiipeia pai" un plim \aiiidtle pa^siiiil |>ar celte «rénéi-alriee.

SLRFACE GAICHE DK RÉVOLUTION. 89

82 bis. Cas où l'axe est oblique. — Lorsque l'axe de la surface est oblique sur les deux plans de projection, les diverses constructions étudiées dans ce Chapitre sont généralement beaucoup plus compliquées que dans le cas où l'axe est vertical ou de bout.

Le cercle de gorge doit alors être déterminé par son plan et par une sphère. Les constructions où intervient ce cercle se font par un rabattement ou par un changement de plan. Si, par exemple, l'axe est de front, il j a avantage à prendre le plan de gorge comme plan iiorizontal auxiliaire.

Le contour apparent horizontal est la section de la surface par le plan diamétral conjugué des cordes verticales. Pour déterminer ce plan, on peut remplacer l'hyperboloïde par son cône asymptote et l'on est ramené à chercher le plan des génératrices de contour ap|)arenl horizontal de ce cône. Ces génératrices sont, du reste, les asymptotes du contour apparent de l'hyperboloïde. Si elles ^ont réelles, c'està-dire si la verticale qui passe j)ar le centre de la surface est extérieure au cône asymptote, le contour apparent est une hyperbole. Il est, au contraire, une ellipse, si la verticale ci-dessus est intérieure au cône asymptote. Enfin, si le cône asymptote admet une génératrice verticale, le contour apparent se réduit à deux points, qui sont les traces horizontales des deux génératrices verticales de la surface. (Les plans tangents verticaux sont, en effet, les plans qui passent par l'une ou l'autre de ces deux génératrices; leurs traces horizontales enveloppent donc les deux jioinls ci-dessus.)

QUADRIQUES OUELCONOUES.

83. Hyperboloïde à une nappe. — • Le cas le plus Inléressant au pt)int de vue de la (iéoniétrie descriptive esl celui des quadriques i<'i;lécs, grâce à renijdoi qu'on peut faire des génératrices rectilignes pour la résolution des divers problèmes. Nous allons commencer par étudier Y hyperboloïde à une nappe.

l ne telle surface est entièrement déterminée par la connaissance de irais génératrices de même système G,, Go, G3. Pour construire une génératrice quelconque G' du second système, on coupe par un j)lan quelconque I' passant, par exemple, par G(. Ce plan coupe G^ et G-j en deux points, qu'il suffit de joindre pour avoir la génératrice cherchée. On peut construire, de cette manière, trois génératrices du second système, soit G',, G',, G',. Puis, en leur appliquant la méthode précédente, on peut construire autant de génératrices que l'on veut du premier système.

Pour avoir un jjoiut (piclconque de la surface, ou prend un poiul quelconcpie sur une génératrice quelconque. On détermine le plan langent en ce poiul par ladite généralrice cl par la tleuxième génératrice passant par le point. (Pour construire celte <leu\ième génératrice, on construit la droite qui passe par le point et (pii s'appuie sur deux génératrices de l'autre système, ce qui esl un prohlème élémentaire bien connu.)

(Corrélativement, si l'on veut avoir le point <le conlael d iiu plan mené jiar une génératrice, on prend l'inlersecliiui k\c celle-ci avec la généralrice du second système contenue dans le plan (laquelle esl obtenue en joignant les points de rencontic (bi plan avec deux génératrices «pieleoncpies (bi premier système).

«Si. Cône asymptote. - ( )ii eon^tiuil les gi'-neraliiees parallèb"-

yt'ADRIQlES Ql'tLCO.NQlliS. gi

aii>. i^énéralrices données G,, Go, G-,. Par exemple, la ij;énéralnee parallèle à G, s'oblicnt en menant par G;, nn plan parallèle à G| ; ce plan rencontre G,, en un point qui appartient à la <;énératricc chereliée. Le plan do deux génératrices parallèles est. comme on sait, un plan asymptote, qui touche le cône asymptote suivant la droite équidistante des deux génératrices considérées. Quand on aura fait la construction indiquée au début de ce paragraphe, on possédera donc trois plans asymptotes et leurs génératrices de contact avec le cône asymptote, ce qui est plus que suflisant pour déterminer ce dernier. (Sa base dans un plan quelconque est déterminée par trois points et les tangentes en ces points.)

On peut observer que les six génératrices deux à deux parallèles dont il est question ci-dessus sont six arêtes d'un parallélépipède, dont les trois plans asymptotes précédents sont des plans diagonaux et dont le centre est aussi le centre de l'hyperboloïde.

80. Contovirs apparents. — Le contour apparent horizontal, par exemple, est l'enveloppe des projections horizontales des génératrices. Pour avoir le point de contact de la projection g de G, on construit la génératrice du second système contenue dans le plan vertical passant par G; cette génératrice rencontre G en un point, dont la projection horizontale est le point de contact cherché.

La courbe de contour apparent dans l'espace est la section de la surface par le plan diamétral conjugué des cordes verticales. Elle admet pour asymptotes les génératrices de contour apparent horizontal du cône asvmptote. Suivant que ces génératrices sont réelles ou imaginaii'es. le contour apparent de l'hyperboloïde est une hyperbole ou une ellipse. Dans le cas intermédiaire où le cône asvmptote a une génératrice verticale, l'hyperboloïde a deux génératrices verticales, dont les traces horizontales constituent le contour apparent (dégénérescence langentielle; cf. t. II, n" ii2). Toute courbe tracée sur la surface a une projection horizontale qui passe, en général, par ces deux points (elle passe par chacun d'eux un nombre de fois égal au nombre des points de rencontre de la courbe de l'espace avec la génératrice verticale qui se projette au point considéré), en y changeant de ponctuation. Il est assez difficile, dans ce cas particulier, de se représenter la surface en projection horizontale. Par contre, ce cas ■est avantageux au point de vue des constructions relatives aux gêné-

9'i CHAI'ITUE VII.

ratiices, parce (|iie, dans chaque système, les projections horizontales de ces droites passent par un point fixe, qui est la trace horizontale de la i;énérati-ice verticale appartenant à l'autre système.

86. Problèmes relatifs aux plans tangents. — Ils se résolvent, en principe, comme dans le cas de la surface gauche de révolution. L'exécution de l'épure seule diffère, car on n'a plus ni cercle de gorge, ni parallèles pour faciliter la construction des génératrices, lesquelles doivent être construites suivant les principes exposés au n" 83.

La courbe de contact du cône circonscrit à partir d'un point doTiné S se détermine par points, en cherchant le point de contact du plan passant par S et par une génératrice quelconque. On peut aussi se ramener à une section plane, en déterminant le plan polaire de S, ce qui peut se faire en construisant trois points de la courbe de contact par la méthode ci-dessus.

Pour construire les plans tangents parallèles à un plan donné, on cherche les génératrices parallèles à ce plan, en déterminant d'abord leurs directions par rinterseclion du cône asymptote avec un plan mené par son sommet parallèlement au plan donné (cf. n° ")•

Pour mener les plans tangents par une droite donnée, on construit les génératrices issues des points de rencontre de cette droite avec la surface (n" 78).

87. Sections planes. — La construction d'un point courant est la même qu'au n" 70. Quant aux éléments de la section, ils ne sont faciles à déterminer que dans le cas de la section hyperbolique; on construit, alors, les asymptotes, qui sont les mêmes que pour la section du cône asymptote pai- le même plan.

Si la section est <'lli|)lif|ue, on peut ciierolicr ses axes (dans l'espace on en projection ) en ri'njarqnanl qu'ils sont encore les n)èmes que pour la section du cône asymptote. La délerniinalion des sommets se ramène ensnilo à l'intersection (l'une droite avec l'Iiyperholoïdc (n° 88). On peut aussi se servir des sommets de la section du cône asymptote, en se rappelant que les deux sections sont homothéliques cl concentriques. Dans tous les cas., les constructions sont compliquées. On peut encore construire deux diamètres conjufiués, en remarquant qu'il est possible d'avoir les point* de contact des tangentes à la section parallilrs à une direction donnée, en pienani les points de

QLADRÎQUES QUELCONQr ES. y3

rencontre de la surface avec l'intersection du pian sécant et du pian diamétral conjugué de la direction considérée. Mais, cela non plus n'est pas simple.

Lorsque la section est parabolique, on peut se servir de la section du cône asymptote, en remarquant que les deux courbes peuvent se déduire l'une de l'autre par une translation parallèle à leur direction asymptotique commune. On peut aus^i se borner à construire deux points et la tangente en l'un d'eux. On connaît alors chaque projection par un iliamèlre. la tangente à l'extrémité de ce (liamt-tre et un point, ce qui suffit pour la construire pratiquement (n" li3).

88. Intersection avec une droite. — On est ramené à construire une droite s'appuy.mt sur quatre droites : Gj, G2. G3 et la droite D donnée. On peut résoudre ce problème de la manière suivante. Prenons un point P quelconque sur G3, par exemple. Les plans ( P, G] ) et ( P, Go 1 rencontrent D en deux points M et M', qui décrivent des divisions homographiques. Les points doubles de ces divisions sont les points d'intersection cherchés.

Dans le cas particulier où ion connaît déjà un des points d'intersection, la construction est beaucoup plus simple. On peut, en edet. suivre la méthode indiquée pour le cas l\ du n" 8l3.

89. Paraboloïde hyperbolique. — On peut encore le déterminer par trois génératrices de même système; mais alors, ces trois droites doivent être parallèles à un même plan. On peut en déduire toutes les génératrices des deux systèmes comme il a été expliqué au n° 83.

On peut aussi se donner deux génératrices d'un système et le plan directeur de l'autre système. (C'est le cas où la troisième génératrice est rejetée à l'infini.) Dans ce cas (auquel on peut évidemment toujours se ramener), on a une génératrice quelconque du second système en coupant les deux génératrices données par un plan quelconque parallèle au plan directeur et joignant les deux points de rencontre. La construction est particulièrement simple lorsque le plan directeur est parallèle à un plan de projection.

Les dilFérent.s problèmes examinés pi'écédemment se traitent de la même manière que dans le cas de l'hyperboloïde. Toutefois, il n'y a pas de cônes asymptotes, les plans asymptotes étant les plans parallèles aux plans directeurs. En outre, les contours apparents sont toujours des paraboles, puisque tout plan diamétral coupe la surface suivant une telle courbe. Dans le cas particulier où un plan directeur est perpendiculaire à un plan de projection, le contour apparent sur ce plan se réduit à un point. Si, par exemple, le premier plan directeur est vertical, parmi les génératrices du premier système se trouve

<)! CHAPITRE VI r.

une généralrice verticalf, dont la trace consliluc le contour apparent liorizontal {cf. n°8o). Toutes les ii<'néralrices du second système ont des projections horizontales qui passent par ce p.iint et cela simplifie évidemment leur construction.

On peut aisément construire Le sommet et Vaxe du paraholoïde. La direction de cet axe est l'intersection des |)lans directeurs. Le plan tangent au sommet est le plan tangent |)erpendiculaire à cette direction. Comme on sait (n'hO) mener le plan tangent parallèle à un plan quelconque, on saura, en particulier, mener celui-là; son point de contact sera le sommet cherché. En menant |)ar ce |)oint la parallèle à lintersection des plans directeur-», on aura Taxe.

90. Intersection d'une quadrique réglée avec une surface quelconque. — On peut construire cette intersection si Idn sait construire l'intersection de la surface avec une droite quelconque. On cherche alors ses points de l'encontre avec les génératrices successives de la quadrique. Par exemple, si la surface est un cône, on coupe par un |dan passant parle sommet du cône et par une génératrice quelconque de la quadrique (c/'. n" 812). Si l'on a affaire à deux quadriques avant une génératrice commune, on coupe par un plan variahle contenant cette génératrice; on obtient, dans chaque surface, une génératrice de l'autre système; ces deux génératrices se rencontrent en un |)(>iiil de la courbe d'inteiseclion. Cette courbe est, en généial, une cubique gauche (abstraction faite de la génératrice commune). Les divers cas de dégénérescence ont été étudiés dans le Tome II (n"491). Ses points de rencontre avec la génératrice commune sont les deux points de raccordement; on les construit comme points doubles de deux divisions homographiques (c/. Chap. ^'I, Exercice proposé n" 2). Dans le cas particulier où les surfaces se raccordent tout du lona de la génératrice, on sait (t. If, n" 101) que le reste de l'intersection se compose de deux génératrices de l'autre système, l'our les construire, on peut chercher les deux points de rencontre d'une génératrice quelconc{ue de l'une des surfaces avec l'autre, puis, mener, par chacun de ces [)oints, la génératrice du second système de l'une quelconque des deux surfaces.

91. Ellipsoïde. — Moi non<;-iinus à t-ludiii If ras où l'un des oxca est verlical, la siirfaci' t'Iant (Iclrniiiiiéi- par les iliii\ -ommct* do ni axe ft par

Oiauriqies quei.conqlks. 95

la projoction liorizonlale de l'ollipsc de section par le plan principal liori- /.nntal.

Le contour apparent horizontal n'est autre que cette ellipse. Quant au contour apparent vertical, c'est une ellipse obtenue en coupant la surface par le pian déterminé par l'axe vertical et les points de contact des tangentes de bout à l'ellipse principale horizontale. Les traces verticales de ces tangentes sont deux sommets du contour apparent cherché; les deux autres sommets sont ceux de l'axe vertical de lellipsoïde.

Intersection avec une surface susceptible d'être engendrée par des droites ou des cercles situés dans des plans horizontaux. — On coupe par ces plans. On obtient, chaque fois, dans lellipsoïde, une ellipse dont il faut prendre l'intersection avec la droite ou le cercle de l'autre surface. Pour éviter de construire chaque fois cette ellipse, on remarque qu'elle est honiothétiquede l'ellipse principale horizontale, dans un rapport qui est donné par l'intersection du plan sécant avec une des deux autres ellipses principales. On effectue alors, sur la projection horizontale de la droite on du cercle, une liomothétie inverse de la précédente; on prend les points d'intersection avec l'ellipse principale horizontale; puis, on effectue, sur ces points, l'homothétie directe qui ramène celte ellipse principale sur l'ellipse de section par le plan auxiliaire: on obtient ainsi des points de la cnurbe qu'il s'agit de construire ( (/. n° 65).

Ce procédé peut s'appliquer, en particulier, pour construire une section plane quelconque de l'ellipsoïde. On obtient chaque fois deux points, dont le milieu décrit le diamètre cimjugué des cordes horizontales de l'ellipse de section. Ou a les extrémités de ce diamètre en construisant son intersection avec l'ellipsoïde, comme il est expliqué plus loin. En coupant par le plan horizontal qui passe par le milieu de ce diamètre, on a, d'autre part, les extrémités du diamètre horizontal. On obtient finalement deux diamètres conjugués, ce qui permet de construire pratiquement les deux projections de la section.

On peut ramenei- à ce problème la construction de la courbe de contact d'un cône circonscrit, puisque cela revient à couper l'ellipsoïde par le plan polaire du sommet du cône. Pour avoir ce plan polaire, il suffit d'en construire trois points, qui seront, par exemple, les points de la courbe de contact situés sur les contours apparents, points qui se déterminent par l'application du théorème IFI du n" 2. On peut d'ailleurs aussi construire directement les points situés dans un plan horizintal quelconque. On remplace l'ellipsoïde par le cône circonscrit le long de la section par ce plan et l'on prend pour base de ce cône l'ellipse horizontale suivant laquelle il coupe le cvlindre vertical circonscrit à l'ellipsoïde (cf. n" 00).

Intersection (nec une droite quelconque. — On coupe par le plan projetant horizontalement la droite. La section de l'ellipsoïde par ce plan est une ellipse, dont on a très facilement les sommets. On construit son intersection avec la droite, en la rabattant sur le plan principal horizontal et se servant du cercle houïographique (t. II. n" 539).

96 CHAI'ITRE VII. — QUVDRIQUKS QlELCONOl ES.

92. Paraboloïde elliptique. — Bornons-nous encoie au cas où /'axe est vertical. La manière la plus simple de définir le paraboloïde consiste à se donner son sommet et une ellipse E de section par un plan horizontal.

Le contour apparent hoiizonial n'existe pas. Le contour apparent vertical est une parabole, ayant même sommet et même axe que le paraboloïde et dont ou peut construire deux points en menant les tangenles de hont à I ellipse I'].

Tous les problèmes étudiés |)ré<;édemment pour un ellipsoïde se traitent d'une manière analogue pour un paraboloïde elliptique. L'intersection avec une droite seule ne se construit pas de la même manière, parce que la section par le plan projetant horizontalement la droite est une parabole et non plus une ellipse. On pourrait évidemment construire les points de rencontre de la droite avec celte parabole, en faisant un rabattement et employant la méthode élémentaire bien connue, qui utilise le foyer et la directrice. Il nous paraît plus simple de procéder de la manière suivante.

Soient a et b les demi-grand axe et petit axe de l'ellipse E. Faisons la transformation homographique qui consiste à amplifier toutes les distances au

plan projetant horizontalement le grand axe dans le rapport - • L'ellipse E

devient un cercle et le parab(doïde devient un paraboloïde de révolution. On construit lintersection de ce dernier avec la droite transformée de la droite proposée (n" G4). Puis, on fait, sur les points obtenus, la transformation inverse de la précédente.

93. Hyperboloïde à deux nappes. — On peut le définir par ses deux hyperb(des principales ou bien par ses deux sommets et une section elliptique de plan perpendiculaire à l'axe joignant ces sommets.

Si cet axe est vertical, il n'y a pas de contour a|>parenl horizontal et le contour apparent vertical est une hyperbole admettant pour sommets les sommets de la surface et pour asymptotes les génératrices de contour apparent vertical du cône asymptote, lesquelles peuvent être construites aisément, si l'on se rappelle que toute base horizontale de ce cône est une ellipse homoihélique à l'ellipse donnée de Thyperltoloïde.

Si le plan horizontal est parallèle au |)lan d'une des hyperboles principales, celte hyperbole constitue le contour apparent horizontal. Le contour apparent vertical est une hyperbole, si le diamètre de boul de l'hyperbole précédente est un diamètre imaginaire. On en a encore les asymptotes par les génératrices de contour apparent vertical du cône asymptote. On a ses deux sommets en prenant les traces verticales des tangentes de bout de riivperbole principale horizontale.

Les différents problèmes étudiés à propos de l'ellipsoïde se résolvent d'une manière analogue dans le cas de l'hypcrboloïde à deux nappes. Mais, au lien de n'avoir à considérer que des sections elliptiques, on peut avoir alVaire à dt s sections hy|)erboliques et même paral)oli(]ucs, dans le pioblèmc de l'intersection avec une droite.