PROJECTIO^'S COTÉES ; SURFACES TOPOGRAPHIQUES

9i. Projections cotées. — Le système des projections cotées consiste, comme on sait, à n'utiliser qu'un seul plan de projection, qui est un plan horizontal, et à définir chaque point de l'espace par sa projection et par sa cote.

On peut, avec ce système, résoudre les mêmes problèmes qu'en Géométrie descriptive. Les méthodes générales sont identiques ; l'exécution seule diftere. Les constructions de la Géométrie cotée se font ordinairement avec le secours de plans verticaux auxiliaires, choisis de manière à donner les constructions les plus simples et pouvant très bien varier plusieurs fois au cours d'un même problème. Il est clair que, dans ce cas, on retombe sur les méthodes de la Géométrie descriptive, avec cette seule particularité qu'on fait un emploi systématique des changements de plans et qu'on ne se préoccupe pas de construire les projections de tous les résultats sur un même plan vertical imposé à l'avance, ce qui est évidemment une simplification.

Il arrive aussi qu on remplace certaines constructions par des calculs, dans lesquels on fait intervenir les cotes des différents points de la figure, en même temps que leurs distances horizontales.

En combinant ces deux manières de procéder, on peut, en particulier, résoudre tous les problèmes classiques sur la droite et le plan, avec une simplicité souvent plus grande qu'en Géométrie descriptive. Nous supposons que ces constructions élémentaires sont connues du lecteur.

On peut aussi aborder l'étude des surfaces courbes et reprendre

toutes les questions étudiées dans les Chapitres précédents. Mais, si

l'on peut y gagner au point de vue de la simplicité des constructions,

il faut reconnaître que l'on aboutit à un résultat moins satisfaisant,

Haag. — Cours, I^ . 7

gS CHAPITRE VIII.

car, si l'on a affaire à une figure un peu compliquée, on se la représente beaucoup ])lus difficilement avec une seule projection qu'avec deux. C'est pourquoi la Géométrie descriptive continue à être employée, de préférence à la Géométrie cotée, sauf pour le cas, signalé plus haut, des constructions élémentaires sur la droite et le plan, ligne et surface pour lesquelles la difficulté de représentation n'existe pas. (Dans le dessin industriel, il arrive même fréquemment que deux projections sont jugées insuffisantes et qu'on leur en adjoint une troisième : plan, élévation, profil.)

95. Surfaces topograpMques. — La véritable raison d'être du système des projections cotées est la représentation des surfaces topograp h iques.

Supposons que l'on veuille faire la carte d'une certaine région ou bien utiliser cette carte pour résoudre certains problèmes topographiques. On ne peut évidemment représenter avec exactitude la surface du sol, en tenant compte de tous ses détails (maisons, arbres, rochers, cailloux, grains de sable, etc.) ('). On lui substitue alors une surface conventionnelle movenne, qui en épouse les détails avec une précision plus ou moins grande, suivant l'échelle adoptée pour faire la carte (et aussi suivant la ])récision avec laquelle ont été faits la planimétrie et le nivellement de la région). Une telle surface porte le nom de surface topographique.

Elle n'est évidemment susceptible d'aucune définition géométrique. Pratiquement, elle est déterminée par la connaissance de quehjues points, entre lesquels on interpole. Chacun de ces points est lui-même connu par sa projection horizontale (planimétrie ) et par sa cote au-dessus d'un certain plan horizontal de référence ("') (nivellement V Le système des projections cotées semble dès lors tout indiqué pour la représenter.

Il serait au surplus extrêmement peu pratique de construire et

(') Il csl iiuMiie iinpossilile de concevoir une telle surface, pour la(|uelle la notion courante de surfiicc géométrique disparaît totalement. Sa forme se modifie, suivant l'éclielle à la<(iielle on se place pour lobservcr, par exemple, suivant (|u'on la regarde du haut d'une montagne, ou bien en s'y promenanl. ou bien au microscope. V.n aucun point, elle n'admet de plan tangent.

(■') Nous supposons la région considérée assez petite pour t|u'i)n puisse négliger la courbure de la Terie. Pour ce qui concerne les dillVrents modes de construction des cartes, cf. t. II, Chap. WVIII, lixercices résolu n" '2 et proposés n°' 5, 6, 7.

PROJECTIONS cotées; SURFACES T0I>0GUA1'HIQLKS. 99

d'utiliser des cartes comportant deux projections, d'autant plus que la projection horizontale est de beaucoup la plus importante. En outre, la projection verticale, pour être lisible, devrait être construite à une échelle beaucoup plus grande cpie la projection horizontale, à cause de la petitesse des dénivellations comparativement aux distances horizontales.

Pour toutes ces raisons, le système des projections cotées s'impose dans la représentation des surfaces topoi;raphicuies.

96. Lignes de niveau, de plus grande pente, d'égale pente. — Une surface topographique ne pouvant être définie géométriquement, il faudrait théoriquement, pour la déterminer, se donner la projection horizontale et la cote de chacun de ses points. Pratiquement, cela est impossible et d'ailleurs inutile et l'on se contente de représenter la surface par ses ligjies de niveau. On appelle ainsi les sections de la surface par une série de plans horizontaux équidistants, dont les cotes au-dessus du niveau de la mer sont les multiples consécutifs d'un nombre entier de métrés, appelé équidistance et d'autant plus petit que l'échelle de la carte est plus grande. A côté de chaque ligne de ni\eau, on marque sa cote. (Pour rendre la carte plus lisible, on se contente souvent de marquer les cotes rondes, par exemple les multiples de loo"', si l'équidistance est de 20"".)

On appelle ligne de plus grande pente une ligne tracée sur la surface et qui, en chacun de ses points, a la pente maximum. En chaque point, la tangente est la ligne de plus grande pente du plan tangent, c'est-à-dire la perpendiculaire aux horizontales de ce plan ; elle est donc perpendiculaire à la tangente à la ligne de niveau. Il suit de là que les lignes de plus grande pente sont les trajectoires orthogonales des lignes de niveau. Cette propriété se conserve d'ailleurs en projection horizontale, parce que les tangentes aux lignes de niveau sont horizontales. On peut en tirer la Construction pratique de la ligne de plus grande pente issue d'un point donné A de la surface.

Suj)posons qu'on veuille la paitie descendante de cette ligne (ce serait la trajectoire d'une goutte d'eau qui |)artirait de A). On abaisse de A la normale sur la ligne de niveau dont la cote est immédiatement inférieure à celle de A. Puis, du pied de cette normale, on abaisse une normale sur la ligne de niveau suivante et ainsi de suite. On joint tous les pieds par un trait continu et régulier et l'on a la projection

fOO CIIAPITRK Mil.

horizonlale de la ligne demandée, avec une approximation d'autant plus grande que l'équidistance est plus petite.

On appelle ligne cVcgale penle une ligne dont la pente est constante, c'est-à-dire dont toutes les tangentes sont également inclinées sur le plan horizontal.

On peut mener, par un point donné A, une ligne ajant une pente donnée /?, à condition que cette pente soit au jilus égale à la pente de la surface (c'est-à-dire du plan tangent) en ce point. Supposons, par exemple, qu'on veuille construire la partie descendante de cette ligne. On commence par évaluer la différence de cote z entre A et la ligne de niveau L immédiatement inférieure (en interpolant entre cette ligne et la ligne immédiatement supérieure, sur la ligne de plus grande pente, pour avoir l'exactitude maximum). On calcule ensuite, €n tenant compte de l'échelle, la distance - • Du point A comme centre, avec un rajon égal à cette dislance, on décrit une circonférence, qui rencontre L en deux points A' et B'. (Ces points sont réels, parce que p est inférieure à la pente de la surface.) On choisit l'un d'eux. A' par exemple, et l'on répèle sur lui la construction que l'on vient de faire sur A (la distance z est alors égale à l'équidistance) ; on obtient ain^i deux points A" et B'. On choisit cçlui qui se trouve, par rapport à la normale en A' à L, du coté opposé à A (car la ligne cherchée doit évidemment traverser les lignes de plus grande |)ente). On continue de la sorte, tant que la construction est possible et l'on joint les points obtenus par un trait continu et régulier.

Il j a deux solutions, correspondant aux deux manières de choisir A' après la ])remière construction. Les tangentes en A à ces deux lignes sont les deux droites de pente p menées par A dans le plan tangent.

Lorsque la construction devient impossible, c'est-à-dire lor.squc la circonférence ne rencontie plus la ligne de niveau à laquelle on veut aboutir, cela signifie qu'on est arrivé à la limite d'une région de la surface où la pente est supérieure à/?, région dans laquelle on ne peut pénétrer. On doit alors rebrousser chemin, tangentiellement à une ligne d(; plus grande penle et lemonler vers les altitudes cpi'on \ient de traverser.

07. Sommets, fonds, cols. — Ce sont tous les |>oints de la stirface où le plan langent esl horizontal.

l'UOJECTIONS COTÉKS; SIIUACF.S TOPOGUAI'll IQi: !•:?. lOf

Un tel point est un sommet^ si la surfacf y est concave vers le bas. {cf. t. II, n" oiO). Les lignes de niveau de cotes infiniment voisines sont sensiblement des ellipses homolliéliques à lindicalrice d'Euler (t. Il, n" 3i2). Elles ne sont, bien entendu, réelles que pour les cotes inférieures à celles du sommet, qui est une cote maximum. Pratiquement, les lignes de niveau au voisinage d'un sommet sont des lignes

Fis. /i3.

fermées, (fi,^'. \S, a) qui ne ressemblent que grossièrement à des ellipses (sauf pour la ])remière. si la cote du sommet est très légèrement supérieure à une cote ronde), en raison de la grandeur de l'équidistance, qui est loin d'être infiniinent petite. Ajoutons qu'elles sont très espacées horizontalement, car elles sont tracées dans une région de faible pente. (Il peut j avoir, bien entendu, des exceptions, par exemple si le sommet considéré est un pic très aigu, comme il arrive dans les régions montagneuses.) Sur les cartes, on marque chaque sommet par un point figurant sa projection horizontale et à côté duquel on inscrit la cote. Ce point doit tenir lieu de ligne de niveau pour toutes les constructions devant être effectuées à l'intérieur de la li^ne de niveau de cote immédiatement inférieure.

Un point est un fond, si la surface j est concave vers le haut, c'està-dire si c'est un point de cote minimum. Tout ce qui vient d'être dit pour les sommets peut se répéter intégralement pour les fonds, avec celte seule différence que les cotes voisines sont supérieures, au lieu d'être plus petites.

Un col est un point à plan tangent horizontal, où la surface est à courbures opposées (t. II, n" 3i0). Sa cote n'est ni maximum ni

CHAIMTUE VIIJ.

minimum. Dans son voisinage, les lignes de niveau sont ?ensil)lemenl (les hyperboles homothétique» à lindicatrice d'Euler, ayant pour axe transverse l'une ou l'autre des tangentes principales, suivant qu elles ont une cote sujiérieure ou inférieure à celle du col (/'iT- i^- ^^)- S' le col est à cote ronde, la ligne de niveau correspondante l'admet comme point double. Dans les angles i et 3, par exemple, le terrain monte ; il descend, au contraire, dans les angles 2 et 4-

98. Lignes de plus grande pente issues d'un sommet, d'un fond ou d'un col. — Si l'on cherche à construire la ligne de plus grande pente issue dun point A à plan tangent horizontal, on est tout de suite embarrassé, car on ne sait pas quelle est la tangente au point de départ, puisque toutes les tangentes en ce point ont même pente, à savoir une pente nulle. Effectivement, si Ton traite la question par le calcul, en supposant connue l'équation de la surface topographique, on constate que le point A est un point singulier pour l'équation difféi'entielle des lignes de plus grande pente. On ne peut affirmer (pi'il existe une seule intégrale passant par ce point, comme lorsqu'il s'agit d'un point quelconque (t. I, n° 186). Il est, au contraire, facile de montrer, sur un exemple, qu'une telle affirmation serait erronée.

Supposons que la surface soit un paraboldïtle de sommet A ayaul pour équation

(i) z = ax^-^ by'^.

L'équation différentielle des Iiç;nes de plus grande pente est

dy , dx

dont l'inléfrrale générale est

Supposons d'altord que A soit un sommet et que l'axe des z soit dirige vers le bas ; les coefticienis a et 6 sont alors positifs.

Si A est un ombilic, c'est-à-dire si a = 6, l'équation (-2) se réduit à

Y = Cx ;

les lignes do |diis grandi' pente sont les sections par les plan* passant |iar ()i. Il en passe une infinité par le point A, une seule étant tanuenio à chaque liori/onlJile issue de ce point.

PROJECTIONS cotées; SURFACES TOPOGRAPIIIOUES. lo3

Ce cas particulier élanl écarté, supposons, pour fixer les idées, a<:^b. Résolvons (i) par rapport ày:

Toutes les courljes intégrales passent encore à l'origine; mais, elles y admettent une même tangente, qui est Ox, c'est-à-dire le grand axe de l'indicatrice, à l'exception, toutefois, de celle qui correspond à une valeur infinie de la constante G, qui se réduit à l'axe des j'.

Si A était un fond, on arriverait à des conclusions analogues.

Supposons maintenant que A soit un col. Les coefficients a cl b sont de signes contraires; supposons, pour fixer les idées, a>o et 6 < o. Posons, b = — b'. L'équation (2) s'écrit

Les courbes intégrales ne passent pas à l'origine; elles admettent les axes de coordonnées pour asymptotes et ressemblent à des hyperboles équilatères. Toutefois, celle qui correspond à G =: O se décompose eu 0,r et Oy et passe, par conséquent, deux fois à l'origine.

Si nous supposons maintenant que la surface est une surface ([uelconque, assujettie à la seule condition d'être représenlable analytiquement et de n'admettre aucune singularité au point A (i), on peut la remplacer, au voisinage de ce point, par un paraboloïde osculateur (c'est-à-dire admettant même indicatrice) ayant une équation de la forme (i). Ses lignes de plus grande pente sont, dans la région du point A, très voisines de celles du paraboloïde et l'on peut leur appliquer les résultats de la discussion précédente.

Au voisinage d'un sommet ou d'un fond, toutes les lignes de plus grande pente viennent passer par ce sommet ou par ce fond. Elles y arrivent tangentiellement au grand axe de l'indicatrice, sauf une seule,

Flg. 44.

qui est tangente au petit axe ( fig- 43, a). Dans le cas particulier où l'indicatrice est un cercle, elles arrivent tangentiellement à toutes les directions (fi^- 44)-

(•) On peut toujours faire une telle li\potlièse, puisqu'on peut choisir arliilrairement la surface, sous la seule condition qu'elle épouse la forme du terrain avec une approximation convenable

I04 CHAPITRE VllI.

Au voisinage d'un col, les lignes de plus grande pente ressemblent à des hyperboles équilatères asymptotes aux axes de l'indicatrice ; deux seulement d'entre elles passent par le col et elles y passent tangentiellement à ces axes {/ig. 43, b).

99. Lignes de faîte; lignes de thalweg. — Considérons un col C et les deux lignes de plus grande pente qui en sont issues, d'après la discussion faite au numéro précédent. Nous savons qu'elles sont respectivement tangentes aux deux axes de l'indicatrice.

L'une d'elles F se trouve dans la région où les altitudes sont supérieures à celle de C. Elle va donc en montant de part et d'autre de ce point. On l'appelle ligne de faite (Jlg. 4^, b).

L'autre T se trouve, au contraire, dans la région où les altitudes sont inférieures à celle de C. Elle va en descendant de part et d'autre de ce point. On l'appelle ligne de thalweg.

On peut encore les caractériser en imaginant un observateur qui les suit en montant. Il \ oit les lignes de niveau du côté de leur convexité s'il chemine sur une ligne de faîte, et du côté de leur concavité s'il chemine sur une ligne de thalweg. Au voisinage de la ligne de faîte, le terrain a la forme d'une croupe ; au voisinage de la ligne de thalvveg, il a la forme d'un irnin, d'une vallée.

Les lignes de faîte et de thalweg jouent des rôles très difTérents, au point de vue de ^écoulement des eaux et c'est ce qui fait surtout l'importance de leur distinction. D'une manière générale, on |)eut admettre que les gouttes d'eau suivent les lignes de plus grande pente. Comme la ligne de faîte et la ligne de thalweg sont de telles lignes, elles peuvent théoriquement être suivies toutes deux par une goutte. Pratiquement. \\ n'enot |)asalnsi. Observons, en ('(Vet . la ligure i3, />. Si 1 on parcourt les lignes de j)lus grande jiente dans le sens descendant, on voit qu'elles s'écartent toutes de la ligne de faîte et se rapprochenl, au contraire, de la ligne de t lialweg. Il en résulte que si une goutte d'eau, suivant j)rimilivement une ligne de faîte, s'en trouve accidentellement écartée d'une très petite quantité, elle s'(Mi «'eai-lede plus en plus et va rejoindre la ligne de thalweg. Si elle suivait, au contraire, primili\ement une ligne de thalweg, elle v re\ienl immédiatement après en avoir (•lé écartée. On |)eul donc dire (pi'////r ligne de faite est une trajectoire instable, tandis (ju'unc^ ligne (h' thahvi'g est une trajectoire stable. Les eaux luieut de part et d autre de la

PROJECTIONS cotées; SURFACES TOPOGRAPIIIQUES. loS

première el vieniienl se rassembler vers la seconde, justifiant ainsi la dénomination adoptée par les Allemands pour désigner cette dernière (la iraduction littérale de thalweg est « chemin de la vallée ») et celle de ligne de partage des eaux, qui sert aussi à désigner la ligne de faîte.

On peut se demander où conduit une ligne de faîte si on la suit ^ indéfiniment en partant d'un col. Elle monte continuellement, jiiscju'au moment où elle atteint un point de jiente nulle, c'est-à-dire un sommet, un fond ou un col. La seconde hypothèse est absurde, puisqu'on ne peut atteindre un tond en montant. La troisième est théoriquement possible. Pratiquement, elle ne l'est pas. Si une ligne de faîte issue du col C rejoignait un col C, d'altitude supérieure, elle serait ligne de faîte pour C et ligne de thalweg pour C. Or, on ne conçoit pas qu'une ligne de thalweg se transforme, au cours de sa descente, en ligne de faîte ; qu'une vallée se transforme en croupe. Un géomètre pourrait créer artificiellement une surface topographique possédant cette singularité ; mais, la Nature ne se prête pas à de telles fantaisies. Il ne faut pas oublier, en elTet, que les vallées sont ])récisément creusées par récoulement des eaux, de sorte cjue les chemins suivis par celles-ci sont nécessairement des trajectoires stables ( ' ).

Il nous reste finalement, comme seule hypothèse possible, que la ligne de faîte doit aboutir à un sommet. Comme il en est ainsi pour les deux directions opposées suivant lesquelles on peut quitter le col, on voit rpie toute ligne de faite est une ligne de plus grande pente joignant deux sommets^ en passant par un col.

En raisonnant de la même manière, on voitcju'une ligne de thalweg ne peut aboutir qu'à un fond. Dans la pratique, ce fond est généralement la mer, qui est le dernier refuge des eaux courantes, exception faite pour celles qui se déversent dans un lac.

100. Intersection de deux surfaces topographiques. — On coupe par des plans iiorizontaux. ( k-la revient à prendre les points d'inter-

(') Aux raisons précédentes, on peut ajouter une raison de probabilité. Si une ligne de faite arrive au voisinage d'un col, elle s'y comporte comme une ligne de plus grande pente (|uelcon(juc et la probabilité est infinie pour qu'elle passe à cùlc de ce point, puisqu'il n'3' a (jue deux lignes ([ui traversent le col.

io6

section des lignes de niveau de même cote et à joindre ces points dans Tordre des cotes croissantes ou décroissantes.

Le même procédé est employé quand lune des surfaces est une surface géométrique, par exemple un plan non horizontal. On prend les points de rencontre des lignes de niveau de la surface topographique avec les horizontales de cotes rondes du plan.

Si le plan sécant est horizontal et n'a pas une cote ronde, la section est une ligne de niveau, que Ton construit par points, en interpolant entre les deux lignes de niveau à cotes rondes immédiatement voisines. La construction de lignes de niveau auxiliaires peut d'ailleurs être utile dans une région où les lignes à cotes rondes sont très espacées, c'est-à-dire où la pente du terrain est très faible. Cela deviendrait même nécessaire si Ton avait, par exemple, à construire la section d'une telle surface par un plan de très faible pente.

101. Profil. — Ln profil èsl une section par un plan vertical. Il n'j a pas lieu de construire sa projection horizontale, puisque celleci est une droite D, trace du plan sécant. On construit alors sa projection verticale sur un plan parallèle au plan sécant. A cet effet, on coupe encore par les plans horizontaux de cotes rondes. La ligne de niveau de cote z rencontre la droite D en un certain nombre de points. Soit n l'un d'eux. On élève la perpendiculaire /^Ps à D et Ton porte /îN = ^. On joint ensuite les points tels que N dans Tordre des cotes croissantes ou décroissantes {/ig'. ^o).

Fie. 45.

Au lieu de portei- les cotes à partir de D, on peut évidemment les porter à jiarlir dune droite quclconqui* D' parallék- à D.

l/échelle adoptée pour ces cotes doit être géncrab-mcul beaucoup

PROJECTIONS cotées; SlfiFACES TOPOGRAPIIIQUES. I07

plus grande que Téchelle de la carte, si l'on veut éviter que le profil construit ne se confonde sensiblement avec D (ou D).

La construction des profils est très utile quand on veut se rendre compte de la forme du terrain.

lOâ. Intersection avec une droite. — On coupe par un plan auxiliaire passant parla droite. En général, on choisit ce plan vertical; on construit le profil correspondant, ainsi que la projection verticale de la droite, en utilisant, bien enlendu, la même échelle pour les cotes. On prend les points d'intersection des deux, lignes obtenues et on les rappelle sur la projection horizontale de la droite. Si l'on veut avoir leurs cotes, il suffit de les mesurer directement sur le dessin, en tenant compte de l'échelle.

Dans le cas particulier où la droite est horizontale, on peut aussi couper parle plan horizontal qui la contient. Cela est immédiat, si ce plan a une cote ronde. Sinon, il faut construire une ligne de niveau auxiliaire, comme il a été expliqué au n" 100. On peut aussi prendre les points de rencontre de la projection horizontale de la droite avec les deux lignes de niveau de cotes immédiatement supérieure et inférieure à celle de la droite. Puis on interpole entre ces points proportionnellement aux différences de cotes. Cela revient à couper par un plan vertical, en remplaçant le profil par des segments de droites, entre les cotes rondes qui comprennent celle de la droite donnée.

103. Cône circonscrit à partir d'un point P donné. — On coupe par les plans verticaux passant par ce point. On construit les profils correspondants et l'on mène à chacun d'eux les tangentes issues de la projection verticale de P {^fig. 43)- ^i^ ra|)pelle les points de contact en projection horizontale et on les joint par un trait continu, en suivant attentivement la rotation du plan vertical auxiliaire.

Ce problème se présente lorsqu'on veut reconnaître et marquer sur la carte les régions vues à partir d'un observatoire donné. La ligne qui sépare ces régions des régions cachées se compose, en effet, de la courbe C lieu des points de contact des ravons visuels tangents et de la courbe C lieu des points de rencontre de ces ravons visuels avec la surface. On s'en rend très bien compte et l'on distingue aisément les régions cachées, en examinant chaque j)rotil. Par exemple, sur la figure 45, on voit que l'arc MBM' est caché, tandis que les

lo8 CHAPITRE VIII. — PROJECTIONS COTÉES; SURFACES TOPOGRAPHIQL ES.

arcs AM et M'C sont vus. La région engendrée par l'arc MBM' dans la rotation du plan vertical sera donc une région cachée. On la couvrira, par exemple, de hachures.

Le même problème permettrait de résoudre les questions d'ombre. Il suffirait, en effet, de prendre le point P à l'infini dans la direction des rayons solaires. Mais cela offre peu d'intérêt praticpie.