NOTIONS DE PERSPECTIVE

lOi. Propriétés générales. — Soit un plan T appelé plan du tableau ou simplement tableau. Soit, en outre, un point O, appelé point de vue. On appelle perspective d'un point M de l'espace la trace ?n de la droite OM sur le plan T. La pers|)ective n'est donc autre chose qu'une projection conique, et l'on ])eut lui appliquer toutes les ])ropriétés bien connues de cette projection.

La perspective d'une droite D est une droite d, trace du plan (O, D) sur le plan du tableau. Le rapport anharmonique de quatre pojnts quelconques de D est égal au rapport anharmonique des points homologues de d (t. II, n" 131). Le rapport anharmonique de quatre droites de l'espace situées dans un même plan et concourant en un point P est égal au rapport anharmonique de leurs perspec-tives, lesquelles concourent au point p, j)erspeclive de P. En particulier, les divisions et faisceaux harmoniques se conservent dans la perspective, c'est-à-dire qu'ils se transforment en divisions et faisceaux harmoniques.

Une courbe algébrique a pour perspective une courbe algébrique, qui a généralement le même degré, ainsi qu'il résulte du théorème du n" 379 du tome IL Gela est toujours vrai lorsque la courbe proposée est une courbe plane, dont le plan ne passe pas par O. En particulier, la perspective d'une conique est une conique.

lOo. Point de fuite; ligne de fuite. — On appelle point de fuite/ d'une droite D la perspective du point à l'infini de cette droite. C'est donc la trace sur le tableau de la projetante Oy parallèle à D.

Deux droites parallèles ayant même point à l'infini, leurs perspectives ont même point de fuite.

Une droite pax^allèle au plan T a son point de fuite à l'infini.

I lo CHAPITRE IX.

Le lieu des points de fuite des droites appartenant ou parallèles à un plan P est une droite, trace sur T du plan paiallèle à P mené par O. On ra|)|)elle ligne de fuite du plan P. On peut dire que c'est la perspective de la droite de l'intini de ce plan (t. 11, n" 73).

Deux plans parallèles ont évidemment même ligne de fuite.

106. Résolution de quelques problèmes par la considération des points de fuite et du rapport anharmonique . — On peut eflectuer, dans une perspective, des constructions faisant intervenir des propriétés métriques, en interprétant projectivement celles-ci par la considération de certains rapports anharmoniques. Nous allons rapidement passer en revue quelques-uns de ces problèmes.

Problème I. — Etant donnés^ dans une perspective^ deux points a et b et le point de fuite f de la droite ab, construire le point m qui, dans r espace, divise le segment AB dans un rapport donné.

Soit^ =R. On peut écrire (t. II. n" 128) MB ' ^ ^

R = i\BMyz) = tabnif).

On est donc ramené à construire un point ni, connaissant son rapport anharmonique avec trois j)oinls donnés, problème qu'on sait résoudre (loc. cit.). Pratiquement, voici comment on pourra procéder : Par a, menons une droite quelconque «D. Portons-v une

longueur quelconque aW ; puis, [)ortons .M B' := -^ ■ Joignons B b

et prenons son intersocliuu P avec la |tarallèlr à </l) menée |»ar/. La droite PM' rencontre ab au point ni chcrclic