NOTIONS DE PERSPECTIVK. III

Comme cas particulier, on saura piendre le inilien d'un segment. Il suffit, en effet, de supposer R. ^ — i. c est-à-dire de prendre B' symétrique de a par rapport à ÎM'. Le point m est alors conjugué harmonique de y* par rapport à ab .

Problèjie II. — On donne les points de fuite f, f , g, g' de deux couples de directions rectangulaires appartenant à un même plan. On donne, en outre, les perspectives d et m d'une droite et d^un point de ce plan. Construire la perspective de la perpendiculaire à D menée dans le plan par M.

La droite d rencontre la ligne de fuile/y du plan au point de fuite h de D. La perpendiculaire cherchée doit la rencontrer au point de fuite h' commun à toutes les droites perpendiculaires à D. Or, les points à l'infini d'un angle droit qui pivote, dans son plan, autour de son sommet, décrivent des divisions en involution it. II, n° 16-4). Il en résulte que les trois couples de points

i.fif')i (S'y ^' S (^1 ^^' ) doivent appartenir à une même involution. On est encore ramené à un problème connu (t. II, Ghap. IX, Exercice proposé n"23). Rappelons la solution : on décrit les cercles de diamètres ff et gg'; ils se rencontrent en P; la perpendiculaire à PA menée par P rencontre ^' au point h'. Il n'y a plus qu'à joindre mh' pour avoir la droite demandée.

Il est à remarquer que le point P, une fois construit, servira pour mener les perpendiculaires à toutes les droites du plan considéré.

PROBLh;.ME III. — Les données étant les mêmes que précédemment, construire une droite D' faisant avec D un angle donné \.

Les points de fuite h et h' de D et de D' doivent former avec les perspectives t et y des points cycliques un rapport enharmonique connu, qui serait donné par la formule de Laguerre (t. II. n'^ 164). Or, ce rapport est égal au rapport anharmonique du faisceau P(hh'ij). Mais les droites Pi, Py, rayons

doubles de riiivolulioa détermirK-e par les deux couples de droites reclangu- Jaires(P/, P/') et (P^, P^'). "e sont autres que les droites isotropes du point P. Dès lors, si l'on applique de nouveau la formule de Laguerre, on voit que l'angle de Ph avec P h' doit être égal à l'angle V donné.

En définitive, la construction est la même que pour le problème précédent ;

mais, on construit l'angle A P /t' égal à l'angle donné, au lieu de construire un angle droit.

GoROLLAiRK. — Duns toiit plan, il existe deux points tels que les angles ayant ces points pour sommets conservent leur grandeur dans la perspective.

Ces points sont, en eiïet, les deux points qui admettent pour perspectives P et le point*symétrique par rapport à//'.

Problème IV. — On donne les mêmes points de fuite que ilans le problème If et les perspectives a, 6, c de trois points du plan. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire la perspective de son

point de rencontre I\I avec une droite passant par A et donnée par sa

perspective.

L'angle AMB doit être égal à l'angle ACB. Si /(, A'. /.-. A' sont les points de fuite de MA, MB, CA, CB, les angles hPh' et kP .{' doivent dont être égaux et de même sens. Or, de tous ces points de fuite, le second est seul inconnu; on peut donc le construire. Enjoignant ensuite h' b et prenant le point de rencontre de cette droite avec la droiti' donnée ah. on a le point m chi-rclié.

107. Notions sur la mise en perspective des figures de l'espace. — Une figure de l'espace étant donnée, ainsi que le tableau et le point de vue, il s'agit de construire les |)erspectives des différents points de la figure. Les artistes qui utilisent la |)erspeclive ont élaboré tout nne technique permettant la résolution de ce problème. Nous allons en exposer les traits principaux.

Le tableau est toujours supposé vertical.

On définit les différents points de l'espace par leur position relativement au lablcaii et à un j»lan horizontal do référence, (pion appelle le géoinétral.

On a|)pelle ligne de terre LT rinlersection du géomctral et «lu tableau.

On appelle direction principale la direction perpendicidairc au tableau et point de fuite principal le poinl de fuite F de tcttc direction, cesl-à-dirc, en soniinc, la prop'cliou orthogonale du j)oiMl de vue sur \v laltlcaii. (le pitint th' vue est. dés lors, détermine >i 1 on se

NOTIONS DE PERSPECTIVE. M i

donne, outre F. la distance de O à T, qui porte le nom de dis/ancc principale.

La cote de O au-dessus du géométral est appelée lutaleur. C'est évidemment la distance du point de fuite ])rincipal à la ligne de terre.

On a|)pelle ligne d' horizon HH' la ligne de fuite des plans horizontaux. G est la parallèle à LT menée par F. Toute droite horizontale a* son point de fuite sur celte ligne.

Pour définir la position d'un point M de Tespace, on choisit un triédre de référence, dont l'origine est un point quelconque L de la ligne de terre; en outre, l'axe des x est dirigé suivant cette ligne; l'axe des 1' est [perpendiculaire au tableau, du côté opposé au point de vue; l'axe des ^ est vertical et dirigé vers le haut. Les trois coordonnées du point M par rapport à ce triédre sont habituellement appelées largeur, éloignement ( on profondeur ) et hauteur.

Pour mettre une figure en perspective, on commence par faire la |)erspective de î^a projection sur le géométral. Puis, on effectue ce (pion appelle la mise en hauteur.

1U8. Mise en perspective du géométral. — Soit un point M du géométral, dont nous nous proposons de construire la perspective. On emploie les deux méthodes suivantes :

i" Méthode du double point de fuite. — Supposons qu'on connaisse les points de fuite a et h de deux directions A et B du géoméli'al. Menons, par >L les parallèles à ces directions. Elles rencontrent la ligne de terre en deux points a et b\ qui sont à euxmêmes leurs propres perspectives (comme tous les points du tableau). En joignant aa' et hh\ on a les perspectives des droites Mrt' et ^Ih' . Le point m se trouve donc à l'intersection de aa et de bb' .

Il nous reste à voir comment on construira, dans la pratique, les points a. b, a\ b' .

Pour avoir le point de fuiti- a dune direction de coefficient angulaire wi, il suffit de porter, sur la ligne d'horizon, à partir du point de fuite principal. Fa = — , en apj>elant d la distance principale. On peut, soit calculer cette distance, pour la reporter ensuite dans le sens convenable, soit la construire géométriquement.

Pour construire le point a', on pourrait évidemment calculer sa HAAfi. — Cours, IV. 8

Il4 CHAPITRE IX.

larijeur, connaissant les coordonnées de M et le coefficient angulaire m. Alais. cela sérail assez peu pratique et il est généralement plus simple de faire une épure dans le géométral, reproduisant, en vraie grandeur, la fjguro qu'il s'agit de mettre en perspective. En traçant, une fois pour toutes, la ligne de terre dans celte épure, on construit très aisément la largeur de tout point tel que a' .

Cette épure dans le géométral peut être destinée sur une feuille à part ou bien sur la même feuille que la perspective, en imaginant le géométral rabattu sur le tableau.

Cette méthode du double point de fuite est particulièrement avantageuse lorsqu'on doit faire la perspective dune figure présentant plusieurs séries de points situés sur des droites parallèles, comme, par exemple, un carrelage. On prend alors, pour points de fuite a et 6, les points de fuite de ces parallèles.

Lorsqu'on a à mettre en perspective une figure irrégulière, par exemple une courbe quelconque, on trace un quadrillage dans le géométral; on fait la perspective de ce quadrillage et l'on en déduit la perspective de la figure donnée, en utilisant les points (tù cette figure rencontre le quadrillage. Ce procédé est connu .sous le nom de cralicalage.

109. y" Méthode du point de distance. ■ — C'est au fond la méthode précédente, avec un choix particulier des directions A et B. On prend pour direction A la direction principale. d<tne | mur premier

point de fuite le point de fuite principal F. Comme seconde direction H. on prend une direction faisant i't" avec la ligne de terre, soit d'un côté, soit (le lautre. Le |)oinl de iiiite correspondant D s'obtient en portant. -,ir la ligne d'horizon, la dislance TD égale à la distance prin-

NOTIONS DE PERSPECTIVE. Il5

clpale. Il porte le nom de point de distance accidentelle on >iiii|jlemcnt point de distance.

Ceci étant, soient^: et )'les coordonnées du |)oint M dans le géoinétral. Le point que nous avions appelé tout à l'heure a' est obtenu en portant Lrt'=^.r. Quant au point //, on I(^ construit en portant a' b' = •)', dans le sens inverse de VÏJ.

La perspective du point M est à lintersection des droites Fa' elDb'.

110. Mise en hauteur. — Soient un point M de l'espace. P sa projection sur le géômétral et z sa iiauteur. Supposons construite la perspective /? de P et proposons-nous de construire la perspective /// de M. C'est ce qu'on appelle faire la mise en hauteur.

Menons par les points M et P deux horizontales pai^allèles, de point de fuite/', et soient M «-t V leurs points de rencontre avec le tableau.

Fia. 'ni.

Le segment M P est vertical et a pour longueur ; ; de plus, il coïncide avec sa perspective. On a, dès lors, la construction sui\ante.

On joint /^, jusqu'à sa rencontre />' avec L 1' ; au-dessus de ^', on porte ^j';;i'= z] on joint /m' et 1 on prend son point de rencontre /// avec la verticale de p.

Le lecteur cjui désirerait approfondir davantage les procédés de la perspective lira avec fruit les pages 4i à i 'S (bi tome I du Cours de Géométrie de l'Ecole Polytechnique^ par Maurice d'Ocagne (Gauthier-^ illars. i()i-).

RÉSOLUTION DES TRIÈDRES.

111. Énoncé du problème. — Lu liiùdie pcssède six éléments : trois faces et trois dièdres. Si ion se donne trois d'entre eux. le Irièdre est généralement fléterminé. Nous nous proposons de le construire dans chacun des six cas possibles et d'indiquer aussi comment on peut construire les trois éléments qui n(! sont pas donnés.

Pour résoudre cette dernière partie du problème, nous nous arrangerons toujours pour que notre trièdre soit connu finalement par une face BSC dans le plan horizontal ri par la projection et la cote iC un point A de Vca'ête opposée. ^ oici comment on peut alors construire les six éléments du trièdre.

On connaît déjà la fac<- BSC. Pour avoir les deux autres, on les

raljiit rcspectiN riiiciii aiitoiii- de SH <•! de SC et. pour erla. d sullil de rabattre A, (pii vient suei-essivemenl en A, et en Aj. On a. du nu'ine coup, en a pa \ et mfa^. le^ augles plans des dièdres SH <t Sd.

RÉSOLl'TIOX DES TRIÉDRES, II7

Reste à construire l'angle plan du dièdre SA. A cet clFet, on mène, par A. un plan perpendiculaire à SA. Il rencontre SB au point />, situé sur la perpendiculaire A, h à A, .S, j)uisque, dans le rabattement autour de SB, b ne bouge pas et l'angle droit 6 AS se rabat en vraie grandeur. On construit, de même, le point c. L'angle plan cherché est feAc, dans l'espace. Pour avoir sa grandeur, on le rabat en Z^A'c, en remarquant que l'on connaît 6A'= ^A, et rA'= cAo.

Nous allons maintenant passer en revue les six cas de résolution et nous discuterons chaque fois les conditions de possibilité.

112. Premier cas : On donne les trois faces a, b, c. — Prenons le plan de la face BSC = a pour plan de projection. L'arête SA est à l'intersection de deux cônes de révolution, de sommet commun S, d'axes respectifs SB et SC et de demi-angles au sommet respectifs c et b. Pour la construire, nous appliquons la méthode générale du n" 66, c'est-à-dire que nous coupons par une sphère de centre S. Les deux cônes sont coupés suivant deux parallèles projetés horizon- Fier. 5,.

talement suivant DD' et EE'. Ces parallèles se rencontrent en deux points, dont la projection horizontale commune est A. Ces deux points sont symétriques par rapport au plan horizontal; il leur cori'espond donc deux trièdres symétriques par rapport à ce plan. Nous considérons seulement l'un d'eux, par exemple celui qui se trouve au-dessus du plan horizontal. Pour achever de le déterminer, il ne nous reste plus qu'à chercher la cote de A. Pour cela, nous rabattons, par exemple, le cercle DD' et nous avons en AA' la cote cherchée.

1 iS

ClIAlMTRi: X.

Discussion. — Pour que la construction soit possible, il faut et il suflit que le point A soit intérieur au contour apparent de la sphère. Pour cela, il faut et 11 suffît que, si l'on parcourt la circonférence de ce contour apparent dans le sens BC, par exemple, on rencontre les |>oinls D, D', E. E' dans l'ordre D. 1^, I)', E'. Pour (pi'il en soit ainsi, les conditions nécessaires et suflisantcs sont

DE<DD'<DIi'< Dr:'D.

ou

ri

( .>. j rt -f- 6 + c < ■>. ~.

On retrouve les inégalités, bien connues en Géométrie élémenlairc. que doivent vérifier les faces d'un trièdre.

113. Deuxième cas : On donne deux faces h et c et le dièdre conipiis A. — Prenons le plan de la face A5B = c pour plan hori-

l-iir. 3 2 =

zontal et prenons un |)laii xcrlual auxiliaiic .v y per|)en(Iieulaire à SA. L'arête SC doit se lrou\er dans le demi-plan de bout SAP', dont la t l'ace \erticale VP' fait l'angle A avec xy. Elle doil aussi se trouver sur un cône <le ré\oluliou d'axe SA, de sommet S et de demi-angle au sommet h. La base de ce cône dans le plan vertical est un cercle de construction évidente ('), qui rencontre la demi-droite AP' au

(') M i'iiiiyli- 1/ éliiil i)l)lu."', il reiiidniil |>i(.-nilio .vy fii av.iiit tic î>, ilo l.iriiii ii liion ohli'nir i:i li;isf de la Ma[)|it: (|iii lail l'anj^jp h avec la Hcmi-dioile SA.

RKSOLUnON DKS TKIKDRlîS.

point C. ia|)[)elt'' horizontalement en C sur xy. Le problème est résolu et la construction est manifestement toujours possible.

Mi. Troisième cas : On donne deux faces a et b et le dièdre \\ opposé à l' une d' elles. — Pienons le plan BSC comme plan horizontal. L'arête SA se trouve sur le cône de révolution de sommet S, d'axe se et de demi-angle au sommet b. Elle se trouve aussi sur le demi-plan SBP qui fait avec SBC l'angle dièdre B. Il nous faut donc

Fis. 53.

|)rendre l'intersection do ces deux surfaces. A cet effet, nous le?, coupons par un plan xy perpendiculaire à SC, qui donne dans le cône une section circulaire, dont la projection verticale G' se construit sans difficulté. Reste à trouver la trace verticale du demi-plan SBP. Pour cela, nous prenons un deuxième plan vertical XiVi perpendiculaire à SB et que nous faisons passer, par exemple, par le point C Dans ce nouveau sv.slènie. la trace verticale RP', du demi-plan a une construction évidente. Ln changement de plan nous donne ensuite la trace verticale BP' dans l'ancien système. Cette trace rencontre le cercle G' en deux j)oints A' et A^ , qui se rappellent en A et A i sur xy. Le problème est résolu.

Discussion . — Pour que la construction soit |>ossible. nous avons une première condition nécessaire, qui est la réalité des génératrices

CHAI'ITRE X.

d'intersection du plan SBI? avec le cône. Il équixaut de dire que ce plan doit couper la sphère inscrite dans le cône et de centre C, paiexemple. La distance de C au plan doit donc être inférieure au rayon de cette sphère. Or, cette distance est égale à

CK sin B = se sin (7 ?-:n li.

Quant au rajon, il est égal à SCsin/y. Nous avons donc la condition (j) sin a sin B , sin h.

Supposons cette condition remplie. Le plan SBP coupe certainement le cône. Mais, nous ne devons accepter que les génératrices dont la trace verticale se trou\e sur la demi-droite BP'.

Supposons, pour simplifier, que les angles a et h soient tous deux aigus, comme sur la ligure 53. Suivant la position du point B par rapport au cercle G', nous sommes conduits à distinguer plusieurs cas :

Premier cas : a<Ch. 11 y a é\ideninient toujours une solution unique.

Deuxième cas : a^b. Si B <^ - ? la demi-droite BP' fait un angle

aigu avec la demi-droite BC et rencontre elTectivement (V en deux points; il y i\ deux solutions. [Bien entendu, ces deux solutions se confondent dans le cas limite où l'inégalité (3) devient une égalité, j

Si B> -■) on a les conclusions inverses; c'est le ])rolongement (h'

BP' qui rencontre Cl' et il n'y a pas de solution.

Troisii'me cas : a = h. Le poiul H se Irouse juste en F et il n'\ a

de solution que si B <^ -■, au(pi«'l cas la solution est unique.

Nous avons terminé la discussion, dans 1 Inpotiiésc tn'i h's angles a et b sont tous deux aigus. 11 nous reste à nous libérer de celte restriction. Pour cela, observons que si l'on remjilace l'arèle SA, j)ar exemjde. par la demi-droite oj)|)osée S\. on obtient un nouveau triédrc doul lo cN'mt'nls sont lié-s à vv\\\ du |)r( inicr par le», lormulcs

a'=a, ù'=- — b, r'=T. — c, A'=A, B'=7r — B, (7=n — C. Dès lors, si '^z est x-iil oblu.s, ou prolougeia S|> cl Ion couslruira Ir

nÉSOLLTION I)i;S TnnÎDRES. . 121

trièdre SAB'C. qui sera défini par a' ^= - — «, h'=zb, B'=lî. Ce irièdre une fois construit, on n'aura plus qu'à prolonger SB.

Si h est seul obtus, on construira SA'BC, défini par a=:a, b' ^ - — 6. B'= - — B; puis, on prolongera SA'.

Si a et b sont tous deux obtus, on construira SABC. défini par a' =7: — r/, b' = ~ — b, B'= - — B; puis, on prolongera SC

Nous laissons au lecteur le soin de voir ce que deviennent les résultats de la discussion ju-écédente dans ces difTérentes hypothèses.

llo. Quatrième cas : On donne une face a et les deux dièdres adjacents B et C. — Ce cas pourrait se ramener au deuxième par la considération du trièdre supplémentaire, dont on connaît deux laces b' =^T. — B, 'c' = - — C et le dièdre compris A' = - — a. Une fois ce trièdre construit, on aurait le trièdre demandé, en construisant son supplémentaire. La solution serait toutefois un peu longue et c'est pourquoi nous allons indiquer une solution directe.

Prenons comme plan horizontal BSC. Si nous |)r(nions deux plans verticaux auxiliaires x ]■ perpendiculaire à SB et x,ji perpendiculaire à SC, nous pouvons immédiatement construire les traces \erticales BP' et CQ' des faces ASB et ASC. Pour construire l'arête SA, il nous faut prendre l'intersection de ces plans. On pourrait faire un

Fijr. 54.

changement de plan sur le second, de manière à les rapporter tous les deux au même système de projections. On ])ent aussi, et c est ce que

CHAlMTUi: X.

nous av<»ns fait sur la figure 54, chercher le ])<tijil A de SA (jul a une cote h donnée quelconque. En coupant par le plan horizontal déhni par cette cote, nous obtenons les deux horizontales Dr/ et Ec/, qui se rencontrent en «, projection horizontale du point cherché.

Le problème est résolu et admet toujour> une solution, connue il est airivé dans le deuxième cas.

1 16. Cinquième cas : On donne deux dièdres A et B et la face a opposée à r un deti.r. — Ce cas pourrait se ramener au troisième par la considérallon des trièdres supplémentaires. Donnons toutefois une solution directe.

Prenons ASH p(uir plan horizontal et un plan perpendiculaire à SB pour plan Acrtical. Nous construisons aisément l'arête SC, qui est déterminée par le point ( c, c'). Tl nous reste à mener par cette droite

Fig. 55.

un pl;in laisiinl raiij;lc V avec le plan hon/oiilal. ( !cla icxicut r\\demment à mener, par S, un plan tangent au cône de révolution qui a pour >>ommet (c, c), |)our axe une \erlicale et pour demi-angle au

sommet - — A. (iNous su|)pi>>on> \ cl W aigu.s. Ou pcul louiours se

lamener à ce cas par des proloiigcmenis d arèlcs, aiiisi ipi d a élé e\pli(pii'' au n" 1 I i.) Nous consliuisons la base de ce côntMlans le plan horizontal ri uou^ lui lucnons la tangiute SV. ('.elle laugenle es! la troisième ait'h' du trièdre.

On pourrait discuter les ciuidilioiis de possibilité el le noMd)rc ries

RÉSOLUTION DES TRIÈDRES. Ii3

solutions. Nous laissons au lecteur le soin do le faii'e, en nous contentant d'observer qu'on peut en déduire les résultats de ceux de la discussion du troiàième cas.

1 17. Sixième cas : On donne les trois dièdres A, B, C.. — Ce cas se l'amène au premier par les trièdres supplémentaires. Donnons toutefois une solution directe.

Prenons pour plan horizontal le plan de la face ASB el pour plan vertical un plan perpendiculaire à SA. Construisons le plan VXiV de la face ASC et, laissant S indéterminé sur AP, donnons-nous lyi trace verticale (C. C') de l'arête SC. Le plan de la face BS(- doit faire l'angle B avec le plan horizontal et l'angle C avec le plan PAQ'. Il revient au même de dire qu'il doit être tangent aux deux cônes de

révolution qui ont, le premier, pour sommet (C, C), pour axe une vrticale et pour demi-angle au sommet ^ — B ; lesecond, pour sommet (C, C), pour axe la perpendiculaire (CD, CD') à PAQ' et pour demian- le au sommet - — C. Nous sommes donc ramenés à mener un plan

tangent commun à ces deux cônes.

A cet efl'et, nous considérons les sphères inscrites, qui ont, par exemple, leurs centres C el D sur hi ligne de terre. Le plan cherché doit passer par leur centre de similitude E. Dès lors, nous aurons la

12i CHAPITRE X. — RESOLUTION DES TRIEDRES.

trace horizontale de ce plan en menant par E une tangente à la trace horizontale du j)remier cône, laquelle trace (^st circulaire. Cette tanj^ente ESB constitue l'arête SB du trièdre; elle rencontre AP au sommet S, qu'il suffit de joindre à (G, C) pour avoir la troisième arête.

Nous ne ferons pas non plus la discussion, dont le résultat peut se déduire de la discussion du premier cas, par la considération des trièdres supplémentaires.

TRIGONOMÉTRIE

118. Cercle trigonométrique. — Ou appelle cercle trigonomé- Irique un cercle oriealé de rayon i. Le sens positif habiluellenienl adopté est le sens invei'se des aiguilles d'une montre.

Etant donnes deux points A et M sur ce cercle, nous avons vu (t. II, n" 14) que la mesure algébrique a de Tare AM est définie à un multiple entier près de la longueur (je la circonférence, c'est-à-dire à 2A7: près. Si a désigne une de ses déterminations, les autres sont données par la formule

Le nombre a sert aussi de mesure à l'angle orienté ' OA, OAI ) {loc. cit.).

L'unité d'arc adopté varie suivant la nature des questions. Dans les questions théoriques, on prend j)our unité le rayon du cercle, c'est-à-dire, en somme, l'unité de longueur, puisque ce rayon a été supposé égal à i. On dit alors que les arcs et les augles sont évalués en radians, le radian étant, par conséquent, l'arc dont la longueur est égale à i ou l'angle au centre correspondant.

Dans les questions d'ordre pratique, on prend pour unité le degré, qui est le j^ de la circonférence, ou le grade, qui est le -j-^ de la circonférence. Le degré est divisé en 60 minutes, la minute étant elle-même divisée en 60 secondes. Quant au grade, on le divise suivant le système décimal, en décigrades, centigrades.

TIUGONOMETRIE. — CHAPITUK I.

mi m g rades, etc. Ces deux sjstcincs sont appelés respectivement système sexagésimal et système cenlcsitunl. Le premier est le plus ancien; mais, le second est, de beaucoup, le plus pratique, à cause des complications introduites par les minutes et les secondes dans les opérations arithmétiques efîecluées sur des angles évalués dans le système sexagésimal.

Nous n'insistons pas davantage sur ces considérations, qui sont élémentaires.

119. Lignes trigonométriques. — Nous allons définir les lig/ics

tiigonométricptcs de Tare AM ou de langle \0A, OMJ.

Menons l'axe Or, qui va de () \ers l'origine A de notre arc.

Alenons ensuite l'axe O)'. d'angle polaire + -, le plan étant orienté

dans le même sens que le cercle trigonométnque [(^l. U, n" 13). On appelle cosinus cl sinus de l'arc a Tabscisse et l'ordonnée de l'extrémité AI de cet arc, c'esl-à-dire les projections orthogonales du vecteur OM sur Ox et sur O )'.

Par \, menons l'axe Ay équipollent à Oy ot, par B, menons, de même, l'axe B.r équi|)ollent à ()./•. La droit(; OM rencontre ces deux axes respectivement en T et S. On appelle langentr vx cotangente de l'arc <i les mesures algébriques AT el BS. On peut dire aussi que la tangente est l'ordonnée du point T et la cotangfMite est l'abscisse de S.

La droite OM «'-tant orientée de O \crs .M. ou appelle sécante

et cosécante de Tare a les mesures ali^ébriques OT et OS. Ces ilernières lignes sont peu utilisées.

Ces diderentes quantités cosrt, sina, tanga, cotrt, séc« et coséca sont apjjclées les lignes trigonorné triques de Varc a.

Si Ton considère a comme une \aiia])le indépemlantc. elles constituent six fonctions, qui portent le noui de fonctions circulaires. Ces fonctions ont étt- étudiées en (h'iail dans le Tome I (n"' 76 et 77).

1^20. Arcs correspondant aune ligne trigonométrique donnée. — Si Von se donne le cosinus^ on connaît l'abscisse de M. Sur le cercle trigonométrique. il y a deux points M et M' admettant cette abscisse; ils sont symétriques par rapport a Or. Toutes les déterminations dc3 arcs AM et x\M' sont comprises dans la formule

(2) a = 7.1- rr y..

Si Von se donne le sinus, on connaît lordonnée de M. Sur le cercle trigonométrique, il v a deux points M et Al' admettant cette ordonnée; ils sont symétriques par rapport à O )'. Si 7. désigne une détermination de l'arc AM, une détermination de AM' est a'^ t: — a. car la moyenne arithmétique —^ — - = — convient bien au point B, milieu de l'arc MM'. Les différents arcs admettant un sinus donné sont donc compris dans les deux formules

( 3 ) « = ■>. /i - -4- a, a — {ik-h i}- — y..

Si Von se donne la tani^ente ou la cotanaenie, on connaît les points T ou S, donc la droite OM, qui rencontre le cercle trigonométrique en deux points diamétralement opposés, de sorte que les arcs correspondants sont donnés [)ar la formule

l'21. Relations entre les lignes trigonométrique s d'un même angle. — Si l'on se donne une des six lignes trigonométriques de l'angle «, les cinq autres sont déterminées, au signe près. A priori, il doit donc exister entre elles cinq relations indépendantes.

Effectivement, le théorème de Pvthagore nous donne d'abord la relation

(5j cos-rt H- sin^a = I,