TRIGONOMÉTRIE. — CHAPITRE I
qui permet de calculer une des deux premières li<;iies trigonomctriques connaissant l'autre.
Ecrivons maintenant que les points M(cos«, sina), T(i, tango") et S (cota, i) sont en ligne droite avec l'origine; nous obtenons les
deux nouvelles relations
,^^ sinrt C()s«
(6) taii"^/ = > C(>t« = -: )
cosa sin<7
cpii donnent la troisièuic et la quatrième ligne en fonction des deux premières.
Enfin, eu utilisant les formules de passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes ( t. II. n" iO), nous obtenons les deux dernières relations
( 7 ) Sfc a = 5 cosec a = — : •
cosa sirirt
Ces cinq formules portent le nom àe formules fondamentales.
On peut en déduire des formules dérivées., en les combinant de dllférentes manières. Par exemple, en midtipliant membre à membre les deux formules (6), on obtient
(8) langa cola = i.
De même, en divisant ( 5 i par cos-rt ou par sin-o, on obtif'nt
(«)) I -I- l;nig-a = ; — > I -tr COl-a = -:— ;; — •
l!22. Relations simples entre les lignes d'arcs différents. — l^cnons suceessiscment les s\ nn-triques de M par lajiport à Oa?, O y, O et la première bissectrice. En appliquant la foruiule de (Ihasles |)our calculer les nouveaux arcs et les formules établies au n" 2ii du Tome II pour avoir les nouvelles coordonnées, nous obtenons
(lo) cos ( — a) = cosa, sin ( — a) = — sin<7 ;
(i I ) cos {t. — a) = — cosa, sin (- — a } =z sina ;
(i2) cos (- -+- a ) = — cosa, sin (r -i- a) = — sin a :
(i>) cos [ - — '^i "^ sin a. sin ( - — «1=: cosa.
l'.ii uldisaut uiainleuaul ( i.>) et (lo), et remarcpiaiil (pie \-a= ( — «),
on a
(i4) ces f Hal= — sina, si ni ha
En se servant de (6), on déduit enfin des formules (lo) à (i4)
(i5) tangC — a) — — tanga, tang(T — a) — — tang«,
(i6) tang ( t: -t- a) = tanga.
(17) tang 1 - — a] = cola = >
' ' ° \-2 / tanga
(18) lang( - -+- a 1 = — cota.
123. Réduction d'un arc au premier quadrant. — ■ Etant donné un arc quelconque a. on peut trouver un arc terminé dans le premier quadrant, c'est-à-dire compris entre o et-> dont les lignes trigonométriques ont mêmes valeurs absolues que celles de a. Supposons, par exemple, que a soit évalué en grades. Soit a son reste de division par 4oo. On peut remplacer a par a' , car ces deux arcs se terminent au même point M du cercle trigonométrique et, j^ar conséquent, ont les mêmes lignes.
On peut ensuite, par une des symétries envisagées au numéro précédent, amener ce point M dans le premier quadrant. On applique l'une des formules (10), (11), (12) et le problème est résolu.
En appliquant les formules (i3), on peut même ramener le calcul des lignes d'un arc quelconque à celui des lignes d'un arc compris entre o et 5o grades ou 45°-
Ces deux problèmes se présentent dans le calcul pratique des fonctions circulaires au moyen d'une table de logarithmes.
124. Lignes trigonométriques de quelques arcs simples. — La théorie élémentaire des polygones réguliers permet de calculer les lignes trigonométriques des sous-multiples simples de ~. Bornonsnous à signaler les formules les plus courantes :
(19) cos ^ = sin-^ = — — 5 tang-^ = i:
( 20) cos -^ = sin ^ = -,
(21) CD? - = sin - = — , lang — = i' -»• t^"." 7: = —;=■'
IIaag. — Cours. IV. 9
l3o TRIGONOMÉTRIE. — (.IIAPITRE I.
125. Formules d'addition. — Pro])OS()n.s-nous de calculer les lignes Irlgononu'lriqiies de l'arc a -\- b^ eu fonction de celles des arcs a et b.
Portons l'arc AM = a. puis, à partir de M. lare ^IM'= b. Considérons les axes Ox' y' déduits de 0.ry par une rotation de l'angle a. L'axe Ox' passe par M. Il s'ensuit que les coordonnées de M' par rapport à Ox'y' sont cosb et sin/>. Quant aux coordonnées par raj)port à Oxy, ce sont cos(a -+-/>) et sin{a -\~ b). Appliquons, dès lors, les formules du chani;enienl de coordonnées (t. II, n" 3i) :
{il) cos(a -4- b) = cosrt cos6 — sina sin6,
(aS) sin(a -1- 6) = sina cosb -+- cosa siii6.
Telles sont \es formules fondamentales d addition des arcs. On en déduit, par division,
tan^r/- -i- tau;; A
(■>A) tan<r(a -I- y) = j
^ ' ° ■ ' ij— tangrt lang6
et, par le changement de b en — 6,
(■.>.5) cos(« — A) = cosr; co«6 -t- sin (t ?in A,
( îG) sin ( « — 6) = sin rt cos6 — cosr/ sin b,
, , tan^'r/ — tanq A (27) taniifrt — 4*) = ^ — r*
126. Généralisation. — En apj)liquant un nombre suffisant de fois les formules précédentes, on peut arriver à calculer les lignes trigonométriques de la somme d'un nombre quelconque d'arcs. Pour établir des formules générales, il est toutefois j)lus commode d'employer la méthode analvlicjuc suivante.
Partons de la formule (t. 1. n" 33)
( 28 ) ces ((/-+-i»-r-C-4-...-T-/)-(-«sin(rt-l-Z>-f-C-f-...-h/)
= (cosrt -+- i sin r; 1 ( ces 6 -+- i sin 6) (cosr -t- /sin r ) ... (cos/ -\- i •-'\nl \ = 00s a ros b . . . cos /
Développons le produit du dernier meiid)r('. En désignant par S;, la somme d<'s ])roduits p à p des nombres tang//, lang/;, . . ., tang/, puis en égalant les parties réelles et les parties imaginaires, on obtient
l>nOPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS CIRCULAIRES. l3[
les formules cherchées :
(•29) C()S( r/ -h 6 -r- r -H. . . -t- /) = COSa COsb . . . COS/(l — So-i-Si 5,;-+-...),
(3o) sin( a -T- b -\- r -^ ...-{- l) z= cosa cosi . . . cos/( Si — Ss-r-Sj — ...).
En divisant membre à membre, on a enfin
S,— S.>^S-i-... (3i) tang(a -!- 6 -I- c +...— /) = — ^ ^ ^ — ^
127. Multiplication des arcs. — Si, dans les formules (29), (3o), (3i), on suppose que tous les arcs sont égaux et au nombre de m, on a
(32) cosma = cos'"<7(( — C'j,^ lani;-a + G*„ tangua —...),
(33) sin ma = cos'"«( C/„tanga — Cf,i tangua -\- Cf„ tangua — ...),
C,'„ tanga — C,^„ tang-ia . . .
( 34 ) tan g /??<■/ =
1 — Cr„ lanç^^ï , .
l'28. Division des arcs. — Problème 1. — Connaissant cos«, calculer cos— • — Au point de vue pratique, pour résoudre ce problème, on procède de la manière suivante. Au moyen d'une table de logarithmes, on calcule l'un des arcs «o, qui admettent le cosinus donné. Tous les auti"es sont donnés par la formule (2); on en déduit
m m ni
puis,
(36) X = cas — ■= cosl ± 1 )•
^ m \ ni ni }
Cherchons combien il y a de valeurs distinctes de x. Prenons d'abord le signe +. En augmentant A" de m, nous augmentons — de 2-; nous retombons donc sur la même valeur de a?. Il nous m
suffit donc déjà de donner à k ni valeurs entières consécutives, par exemple o, 1, 2, ..., m — 1. Les m valeurs correspondantes de ./■
sont, en général, distinctes. En effet, comme les valeurs de — ne
peuvent différer que d'une quantité inférieure à 2-, si deux noinbres Â- et A' donnaient la même valeur pour x, les arcs correspondants auraient nécessairement pour somme un multi])le de 2- et 1 on
l32 ïniGOXOMÉTRIE. — CHAPITRE I.
il lirait une égalité de la forme
■1 h — ip-
OU
«0= {pni~ k — k')-.
Celte particularité ne se présente que si le cosinus donné est égal à =b I . \ous laissons au lecteur le soin de pousser la discussion jusqu'au bout dans celte hypothèse et de reconnaître qu'après suppression des racines ±: i . les valeurs de .r précédemment obtenues sont deux à deux égales.
Si nous prenons maintenant le signe — dans la formule (36), nous retombons sur les mêmes valeurs de .r. Si, en effet, on associe à la valeur k, prise avec le signe +, la valeur /,', prise avec le signe — et telle que k -j- /i"':= m, les deux arcs correspondants ont pour somme i~ et ont, par conséquent, le même cosinus.
En définitive, nous obtenons ni valeurs distinctes pour x^ sauf si le cosinus donné est égal à zt i , auquel cas les valeurs de x deviennent deux à deux égales.
Tl résulte de cette discussion sommaire que l'équation qui doit donner x doit être une équation algébrique de degré ni et ayant toutes ses racines réelles. Il est aisé de vérifier la première de ces deux assertions, car, en partant de la formule (Sa) et appelant h le cosinus donné, on trouve sans difficulté l'équation suivante :
Quant à la réalité des racines, elle serait plus difficile à démontrer. Cette démonstration ne présenterait d'ailleurs aucun intérêt pratique et devrait être regardée comme un pur exercice d'algèbre. Nous ne nous en occuperons donc pas.
]!2y. Résolution trigonométrique de l'équation du troisième degré. — La considération de l'équation (37) n'offre non plus aucun intérêt au [)oint de vue de la résolution pratique du problême envisagé au numéro précédent. Sa seule raison d'être est, au contraire, que la Trigonométrie permet de résoudre très aisément toute équation algébrique se présentant sous celle forme ou pouvant s'y ramener. C'est ainsi qu'on apprend, en Mathématiques élémentaires, à résoudre trigonomctriipicnient rê(|uali()n du second degré. Nous allons montrer
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS CIRCULAIRES. l33
qu'on peut également résoudre, par un procédé analogue, Téqualion générale du troisième degré.
Dans l'équation (3^), supposons m := 3 ; elle devient
(38) ^x3—Zx — b = o.
Nous obtenons une équation du troisième degré de la forme canonique (t. I, n" 26o); mais, ce n'est pas la plus générale. Essayons donc de ramener à la forme (38) l'équation générale
( 39 ) x^ ^ px -T- (J ^= o.
A cet effet, faisons le changement de variable' (4o) X = my,
m désignant une constante que nous déterminerons dans la suite. L'équation (Sq) devient
(40 m^y^-^ pmy -\- q = o.
Essayons de l'identifier avec l'équation (38) :
Des deux premiers rapports, nous tirons la valeur de la constante m :
les deux derniers rapports nous donnent ensuite
mp
L'identification est donc toujours possible, si p est négatif. Mais, il faut, en outre, pour qu'on puisse faire la résolution trigonométrique, que h soit compris entre +1 et — i , c'est-à-dire que l'on ait
ou
(45) 4/;3-t-27gr2<o.
On reconnaît la condition de réalité des trois racines de (Sg) (t. I, n'' 205), qu'il fallait d'ailleurs s'attendre à retrouver, puisque l'équation (38) a nécessairement ses trois racines réelles.
l3.i TRlGOXOMKTniE. — CHAIMTRK I.
En définitive, toute équation du troisième degré qui a ses trois racines réelles peut être résolue tri gonométriquement de la manière suivante :
On calcule /;/, puis b. par les formules (4^) et (44)5 on calcule un angle a ayant pour cosinus 6; on calcule ensuite les cosinus des
angles t:> - -h lao**, - — 120" et l'on multiplie ces cosinus par7?i; on
obtient alors les trois racines de l'équation (3g).
J30. ProblèvU' II. — Connaissant s'\na, calculer cos — — La
méthode pratique est analogue à celle du n" 128. On en déduit (juil
y a toujours m solutions, qui peuvent se confondre deux à deux,
lorsque la valeur donnée pour sina est nulle. On peut écrire une
équation analogue à (3^), en parlant de la formule (33).
PR<n!Lf:Mi-: III. — Connaissant cosa ou sina, calculer sin — • —
On emploie toujours la même méthode pratiquer Mais, cette fois, il
V a ?n ou 2ni solutions suivant la parité de m. On le constate, en
faisant la discussion de la résolution trigonométrique ou bien en
écrivant l'équation algébrique en x, déduite des formules (32)
ou (33).
Pp.OBLÎiMK l\. — Connaissant lani;v/, calculer tang — — On
emploie toujours une méthode pratique analogue à celle du n" l^S. Il V a m solutions distinctes et l'équation algébrique en x est donnée par la formule (34). .
131. Transformation des sommes en produits et inversement. — Une autr<' application classique des formules d'addition est la suivante.
Combinons par addition et soustraction les formules (22) et (25) d'une part, (23) et (2(i) d'autre part. Nous obtenons
(40) cos(rt -f- 6) -4- cos( a — 6) = 2 cos rt 00s 6,
(47) co,s(a — b) — cos(a -+- 6) = 2sinasin6.
(4S) sin(a -(- 6)-+- sin(a — 6) = 2 sin a cos 6.
(49) %'\n{a -\- b) — siii(rt — 6) = 2 sin 6 cos a.
Ce> formules permettent (h- Ir.inNlormei' h's pro(bnls de suius et
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS CIRCLI.AIRES. l35
cosinus en sommes algébriques de sinus et cosinus, ce qui est utile,
en particulier, dans le calcul de certaines quadratures (t. I, n'' 169 ).
Elles permettent aussi de résoudre le problème inverse. Posons
les formules (46) à (49) deviennent
(30) COS/> + COS^= 2C()S cos
(oi ) ces/) — C0S<7 = — 2 SUl Slll
(02) sin/) -f- sin (/ = 2 siii cos
(53) sino — sin (7 = 2 sin^^ cos
Le principal intérêt de ces formules réside dans ce fait que les seconds membres sont calculables par logaritiimes.
On peut en déduire un procédé pour rendre calculable par logarithmes une somme quelconque :
on pose - = tanoo et o s écrit ^ a '^ '
S =: (cost? -H sino) = cos'i-t-cos(— — c)
coso ' cos-j> L ' \ '•'- ' / J
in cos - çds ( - —
132. Formules relatives à la duplication des arcs. — Appliquons les formules (3a), (33), (34) dans le cas iu= 2. Il vient
(54,) cos2a = cos-a — siu-«,
(55) sin>a = isinacosa,
>. tanija
(56) tangsa
I — tan<;-rt
En tenant compte de la formule (5), la formule (54) peut encore se mettre sous les formes suivantes :
(5-) cos '2 a = 2Cos-« — 1=1^ -^sin-rt,
iH-cosaa . I — C(ts>n! (d8) cos-a = , sin-a = •
l36 TRIGONOMÉTRIE. — CHAPITRE I. — FONCTIONS CIRCUIAIRES.
Si, dans (54) et (55), on remplace a par -, on peut écrire, rn iilili-
sant (^9) et posant tang ,= i,
1 — taiiK^- =
(Sg) côsrt = COS-— f
( 6o ) s i n (7 = cos- — -i ^ =
formules élémentaires bien connues, dont on a pu apprécier toute rimportance dans le calcul intégral et aussi en Géométrie analytique.
RÉSOLUTION DES TRIANGLES
133. Formules fondamentales. — Un triangle ABC possède six éléments : ses trois côtes a = BC, b ^=. CA, c = AB et ses trois angles A, B, C, que nous considérerons toujours comme positifs et <-.
Si l'on se donne trois quelconques de ces six éléments (à l'exception des trois angles), on peut construire le triangle et, par suite, les trois autres éléments sont déterminés. Il doit donc, a priori, exister trois relations indépendantes entre les six éléments d'un triangle quelconque. Bien entendu, on peut en déduire une infinité d'autres relations et, parmi toutes ces relations, on peut toujours imaginer qu'on en choisisse trois formant un système indépendant. Il y a donc certainement bien des manières d'écrire un tel système. Nous allons en indiquer trois, qui sont les formules fondamentales classiques servant de base à la résolution des triangles.
i3i. Premier groupe. — Projetons le contour BAC et sa résultante BC sur la droite BC, orientée de B vers C. Nous avons
(i) a = ccosB -f- ècosC.
En permutant circulairement les grandes lettres et les petites lettres, on obtient deux autres formulas analogues, qui, a\ec (i), constituent ce que nous appellerons le premier groupe.
Deuxième groupe. — Faisons le carré scalaire (t. II, n" 101) de légalité géométrique
