BC = BA + AG
l3S TniGOXOMETRIE. — CHAI'ITRE II.
Nous obtenons, en remarquant que l'angle des deuK veeleurs est - — A.
(3) a-^=b-~^c'- — -ibccosX.
Par permutations circulaires, on obtiendrait le> deux autres formules (lu deuxième groupe.
Troisième groupe. — Considérons le cercle circonscrit au triangle et prenons le point IV diamétralement opposé à B. L'angle BCB' est droit et le triangle rectangle BCB' nous donne ( ' )
(4) a = •>. ]'>sin A,
en appelant R le ravon du cercle circonscrit et remarquant que les angles BB'C et BAC sont égaux ou supplémentaires.
En permutant circulairement, on a deux autres formules analogues. En éliminant la variable auxiliaire R, on obtient
h siii B
sinA
sin
A ces
deux
formule
on joint
et l'on a le troisième groupe.
Chacun de ces trois groupes est un svstènu' fondamental et nous laissons au lecteur le soin de vérifier, à titre d'exercice, qu'on peut effectivement déduire deux quelconques d'entre eux du troisième.
135. Résolution des triangles. — Ré>ouilre un triangle, c'est calculer tous ses élément"^, quand on connaît trois d'<'ntre eux. ou. phi-^ génèrajcment, quand on l'assujettit à trois conditu>ns simples indépendantes. Nous nous bornerons ici à exauiiner rapidement les cas classiques où l'on ne donne que des côtés ou des angles. Nous suivrons le même ordre que pour la rc'solution tb^s triédres.
Premier cas : On donne les frais côft'-s. — On a iuiuiédiattineul les trois angles par raj)pb( al loii des formule^ (bi (b'uxiéuu> groupe :
C) Nous supposons connues les formules relatives aux triangles rcclanRlis, qui s'établissent immédiatement en projetant l'hypolénusc sur un ciMé de l'aiigir ilroil.
RESOLUTION DES TRIANGLES. 189
par exemple,
ces V ^
Au point de vue des calculs numériques, il convient de rendre les formules calculables par logarithmes. A cet effet, on emploie l'artifice suivant. On a
b- -^ c- — (72-1- 9. hc ( b — c)- — a- (b — c -^ a) { h -^ c — a)
I H- ces A = = / = -, -.
10c nbc 10c
Posons
(7) a-hb-\-c = 7.p;
il vient, en utilisant la formule (58) du n" 13l2,
bc En formant de même la combinaison i — cosA, on trouve
En divisant
par
tang
on
a enfin
bc
(lo)
Devant chacun de ces radicaux, il faut prendre le signe +, car —
devant être compris entre o et— 5 ses trois lignes trigonométriques
doivent être positives.
La seule condition de possibilité du problème est. par exemple,
(|ue cos — soit réel et -< i , c'est-à-dire que p — a soil positif ou (11; a<ib-\-c
et
p{p — a) < 6c, ou
{b -\- c)' — a"'<4^c, {b — c)-<Ca-, ou enfin
(12) a>|6 — rj.
l4o TRIGONOMÉTRIE. — CHAPITRE II.
On retrouve, en (i i) et (12), les inéiialitrs bien connues auxquelles doivent satisfaire les trois côtés d'un triangle.
Bien que la résolution proprement dite du triangle soit terminée, signalons quelques autres formules classiques se rattachant à ce cas.
Si Ion applique la formule (4), on trouve
a = 4 Rsin — cos— = 4 '^ 1 ;
11 oc
d'où
abc
Calculons la surface S du triangle. Si nous remarquons (jue la hauteur issue du sommet lî, par exemple, est égale à csinA, nous avons
(i4) S = - icsin A.
En remplaçant sinA par asin — cos— et tenant eom|)te de (8) et ((>), il vient
( 1 5 ) S = \^p(,p — a) (jo — b)[p — c) .
En comjiarant avec (i3), on trouve la formule bien connue
(16) a6c= 4 RS.
(pTon peut d'ailleurs aussi déduire de (i4) et de ( 0-
Enfin, si Ton décompose le triangle en une somme de trois triangles axant [xtur bases ses trois côtés et pour sommet (-(uumun le centre du cercle inscrit, on a, en ajij)elant ;• le rayon de ce cercle,
(17) S=pr:
d'où
(,8) ^^/ip — a)ip — b)ip — c)
Ap — a]
136. Deuxième cas : On donne den.r cités h, c et l angle eornpris A. — Utilisons b's formules (bi troisième gioiipe. Nous avou^, pour- eideub'r B et (^, les deux ecpialiOlls
sini? sinC
(-JM) B -h C = Tt — A .
RESOLUTION DES TRIANGLES. I4I
Pour résoudre ce système d'une manière symétrique, introduisons l'inconnue auxiliaire
Pour mettre en évidence cette nouyelle quantité, introduisons les expressions sinB — sinG et sinB + sinC :
sinB — sinC siiiB-HsinG
ou, en appliquant les formules (oa) et (53) du n" 131,
.B — G B-hG .B-i-G B — G
v>sin cos 2 sin ces
d'où l'on lire, en se servant de (20),
(22 ) tanc— = ■; cot —
Cette formule permet de calculer, par logarithmes, l'angle a, dont il
faut prendre la détermination comprise entre — -n: et + -. On a
ensuite B et G par (20) et (21). Puis, le troisième côté a est donné
par
, ,. èsin V
SinB
Toutes ces formules sont toujours applicables et, par conséquent, le problème est toujours possible.
137. Troisième cas : On donne deux côtés a, h et Vangle K opposé à liui d'eux. — Nous avons
(•).4) SinB = ,
ce qui donne B, puis G, d'après (6), et enfin c par la formule . ., asinC
Discussion. — On doit d'abord avoir, d'après (24), (26) a^bs'inA.
l42 TniCONOMÉTRIE. — CHAPITRE II.
Cette condilioii étant supposée remplie, la formule [2/]) donui'. pour B, deux valeurs supplémentaires B' et B"=- — B', l'angle B' étant supposé aigu, pour fixer les idées.
Pour cpie la valeur de C donnée pnv (6) soil ensuite aceeptablc, il faut et il suflit qu'elle soil positive; on doit doue avoir
Pour interpréter cette inégalilc au niovcn des données, il iaul nous servir de (24), ce qui introduit sinB et nous obligea considérer deux cas sui\ant que B et- — A sont aigus ou obtus, puisque le sinus varie comme langle, dans le premier cas et, dans le sens opposé, dans le second cas.
1. A<<— • — L'angle B' convient toujours, puiscju'il est aigu et ([ue T. — A est obtus. Quanta B", il ne convient que si l'on a
sinB"> sin(- — A).
sinB > sin A,
ou
ou, d'après (24 ),
Si cette inégalité est satisfaite, on aura deux solutions ; >-m<>p,. .m n'en aura qu'une, donnée par l'angle aigu B'.
II. A>>-- — • L'angle obtus B" ne convient jamais. Pour que B' convienne, il faul et il siiflil que
sin B' < sÎiK't: — \ ) ou
Si cette inégalité est satisfaite, (ui aura une Milntion: sinon, nn n en aura aucune.
13X. Oiiatrièrne cas : ( )n donne un côte a cl deux (inî,^/es B<'/ C. — Ob.servons d'abord «pie peu importe le clioix des deux angles donnés, car le Iroisiéme est inwnédialemcnl coiiuu par la formule (6).
RKSOLUTrON DES TRIANGLES. l!\'o
Nous avons maintenant, d'après les formules du ti^oisièmc groupe,
asiiiB asinC
si 11 A sinA
Ces formules sont toujours applicables et donnent toujours une seule solution.
13U. Formule fondamentale de la trigonométrie sphérique. — On peut se poser, pour les triangles sphériques, les mêmes questions que pour les triangles rectilignes et établir la trigonométrie sphérique parallèlement à la trigonométrie rectiligne. Nous nous contenterons ici d'en donner Informulé dile fondamentale.
Soit un triangle sphérique ABC Appelons a, h, c ses cotés, c'està-dire les angles au centre BOC, COA, AOB, et A, B, C ses angles, c'est-à-dire les angles plans des dièdres BOAC, COBA, AOCB. Supposons que l'on connaisse 6, c, A; on peut évidemment construire le triangle et, par suite, on doit pouvoir calculer tous ses autres éléments. Nous allons seulement calculer le troisième coté a.
A cet effet, prenons un axe des ; dirigé de O vers A, un axe des x perpendiculaire, dans le plan AOB et du même côté que OB par rapport à O^, enfin un axe des j' perpendiculaire aux deux précédents et du même côté que OC par rapport au plan zOx. Les longitudes et colatitudes des demi-droites OB et OC sont respectivement (o,c) et (A,/>i). Leurs cosinus directeurs sont donc (t. II, n" 30)
sine, o, cosc el sinicosA, sin6siiiA, cos6.
Nous aurons l'angle a de ces deux demi-droites, en apjjliquant la formule (21) du n" 31 du Tome II :
(3i) cosa = sine -iii ^ cos A -1- cosc cos6.
Telle est la formule connue sous le nom de formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique.
