EXERCICES DU COURS

DE

GÉ03IÉTRIE DESCRIPTIVE

POLYÈDRES, PRISMES ET PYRAMIDES

EXERCICES RÉSOLUS

Pour renoncé des épures, nous ferons choix des axes de coordonnées auxiliaires suivants. L'axe des x sera la ligne de terre; Taxe des y sera la droite de bout dont la projection liorizontale coïncide avec un des axes de la feuille et se dirige en avant du plan vertical; enfin, l'axe des c sera la verticale ascendante.

Pour les exercices résolus, les données seront évaluées en millimètres, à l'échelle de la figure. Pour les exercices proposés, les données seront également évaluées en millimètres; mais elles correspondront à une épure exécutée sur une feuille ' grand aigle. Si le lecteur veut exécuter lui-même, comme nous le lui conseillons, les épures des exercices résolus, il n'aura qu'à en tripler les dimensions.

i. (-) Un cube a une diagonale verticale de longueur -o,i); le sommet le plus bas 11 de cette diagonale a pour coordonnées (o, 4") o)* Une des arêtes AB, issue du sommet le plus haut A, a une projection

('; Le Cliapitie I du Cours ne comprenant que des généralités, il nous a paru inutile de lui faire correspondre un Chapitre d'Exercices.

(^) Celte épure est difficile; on pourra la laisser de côté à une première lecture.

Haao. — Exercices. IV. i

horizonlale inclinée à 4.5° sui- la ligne de terre, l'abscisse et léloignenient du point 1> étant plus petits que l'abscisse et réloignement du point A.

Un octaèdre régulier admet pour faces deux triangles équilaléraux IJK, LMN. Le premier se trouve dans le plan horizontal et a pour centre l\. le sommet K se trouvant en avant de ce point et le côté IJ étant parallèle à la ligne de terre. Le deuxième triangle se trouve dans le plan horizontal de cote 47-

Représenter la partie commune à ces deux solides {Jig. i).

Construction du cube. — Un calcul facile de Géométrie élémentaire montre que le sommet B se projette sur la diagonale verticale^au \ de AU, à partir de A et qu'il se trouve à une distance de celle diago-

AHv 2 -

nale égale à — ^-^< c'est-à-dire égale à aS.o x \2. On en déduit immédiatement la projection horizontale ah, puis la projection verticale a' h' de Al^. Le cube admet sa diagonale comme axe de symétrie ternaire, c'est-à-dire qu'il se superpose à lui-même après une rotation de 120° ou de 240° autour de cette diagonale. On en conclut que les projections horizontales c, d, e. f, g des cinq sommets non encore construits forment avec b un hexagone régulier. En projection verticale, d' et / ont même cote que b' et c' . e\ g' ont une cote moitié moindre.

Construction de Voctaèdre. — Un calcul facile de Géométrie élémentaire C) montre que la hauteur h comprise entre deu\ faces parallèles d'un octaèdre régulier est liée à son côté a par la relation

Ici. h = |-; donc a := ^ • Le rayon aA' du cercle circonscrit au

triangle est donc égal à 23,5 x v^, c'est-à-dire égal à ab. Les triangles ty A" et Imn sont donc inscrits dans le même cercle que Ihexagone bcdefg. Leur construction est, dès lors, immédiate. On en déduit ensuite les projections verticales i'j' k' et l ni n' . Il ne reste plus maintenant qu'à joindre les arêtes iNJ, M, KM. KL. IM. IL.

Cnnstructi'tn de r intersection . — !)e même que le cube, Toclaèdre

( ' ) Considùrci- le Iclraètlrc Irircr.liinplc avant pour hase lune des facos cl pour

sommet 11" cintre de l'oclaèdrc. Sn liiinlcnr fg;ile — cl i\ii>si -— •

POLYEDRES, PRISMES ET PVUAMIDES. S

admet la verticale AH comme 'txe de symétrie ternaire: il en est doQC de même de rintersection. Dès lors, il nous suffit de construire, par exemple, les intersections de l'octaèdre avec les faces ABCD et HCDE du cube ; le reste s'en déduira par deux rotations de 120° et de 240° autour de Ail.

Ecrivons le tableau rectangulaire qui donne les combinaisons des deux faces ci-dessus avec les huit faces de l'octaèdre :

LMX. KI.J. KLM. KMI. KJL. ^IM. NLJ. NJI.