ABCD

HCDE - - (3,4) (20,19) (4,5) - - -

Commençons par marquer du signe - toutes les combinaisons qui ne donnent certainement rien dans l'intersection, parce que les deux faces combinées n'ont aucun point commun dans une au moins des deux projections. Nous avons aussi marqué du même signe la combinaison (HCDE, MIM), dont l'intersection est tout entière en dehors des deuT^ faces correspondantes, ainsi qu'on s'en assure aisément en coupant, par exemple, par les plans horizontaux passant par C et par M.

Le plan LMN coupe la face ABCD suivant la diagonale BD. La partie intérieure au triangle LMN est le segment (12, i'2').

Le plan ML\ coupe ABCD suivant une droite qui passe par le point i; on en a un second en coupant parle plan horizontal qui passe par C; ce plan coupe ABCD suivant une parallèle à BD, projetée horizontalement en cr; il coupe NIM suivant une parallèle à I\M passant par le milieu de MI et projetée horizontalement en pr\ le point / est la projection horizontale du second point cherché. En joignant n, on obtient le segment (1,21) limité à mi et projeté verticalement en

L'intersection de ABCD avec KLM passe par le point 2; on en a un second en coupant par le même plan horizontal que précédemment; on obtient ainsi le point s situé sur cr et sur la droite (/,« joignant les milieux de km et kl. En joignant 2S, on obtient le segment 23 limité à cd et projeté verticalement en 2'3'.

L'intersection de ABCD avec KMI passe par le point 21 et par le point u où 23 rencontre km. Elle donne le segment (^20,21). (20, 21'). L'intersection de HCDE avec KLM passe par le point 3 et par le point t, intersection de ce et de scj (on a encore coupé par le plan horizontal précédent). Cela donne le segment (3,4), (3',4')-

L'intersection de HCDE avec KMI passe par le point 20 et par le point c, intersection de ce et de pq. Elle donne le segment (20,19) limité à HC.

Enfin, l'intersection de HCDE avec KJL passe par le point 4 et par le point ir, obtenu en coupant par le plan horizontal de projection. D'où le segment 45 limité à HE.

\ous avons marqué, dans le tableau ci-dessus, tous les segments dont nous venons d'indiquer la construction.

En faisant les rotations de 120° et de >4o°, nous en avons déduit i4 nouveaux segments; chaque nouveau point a reçu un numéro égal à l'ancien augmenté de - ou de i^.

Jonction des points. — Nous donnons ci-dessous le tableau de tous les points dans leur ordre de jonction, en indiquant, pour chacun d'eux, l'arête et la face auxquelles il appartient. Cela sufllt pour se rendre compte que le numérotage est bien conforme à la règle du n° IV :

I (/w/j, ahcd)\ 2 {ml, ahcd); 3 {nil/,\ cd)\ 4 {l/>, hcde)] 5 (A(/', he); 6 (/(/■, ef); 7 {/,/, ndef)\ S {Ini, a de/); 9 {In, a de/): \o{lnj, e/); 1 1 {jn. he/g) ; 12 {jni, /iir) ; ^^{./ni, gb)\ i4 (./«, a/gb); i5 {ni, a/gb); i6{nm, a/^'b); 1- {nmi, gb); iS {im, hgbc) ; 19 (fw/., rtc) ; 20 ^'m/., crf); 21 (i/?î, abcd).

Ponctuation. — ^"oici la liste des faces vues (') :

En projection horizontale : abcd, adef, a/gb\ Inin, nini. nlj. Imk.

En projection verticale : a'b'c'd', a'd'e'/', h'c'd'e'i /•.//, A'i'nt', k'I'm'.

En se servant du tableau précédent, qui indique sur quelles faces se trouve chaque sommet de la ligne d'intersection et utilisant la règle a du cas III du n° 11, on obtient immédiatement le tableau des côtés vus :

En projection horizontale : i . 2 ; 2, 3 ; 3, 4 > 6, 7 ; 7, 8; 8, 9; 9, 10; 10. 1 1 ; i3. i4 ; i4) '5; i5, 16; 16, 17 ; 17, 18; 20, 21 ; 21. i.

En projection verticale : 1', 2'; 2'. 3'; 3', 4'? 4'» 5'; ^'j 6'; 6'. 7'; 7 , 8'; 8', 9'; 9'. 'o'; '8'. 19'; 19', 20'; 20', 21'; 21', i'.

\ oici enfin le tableau des arêtes ou portions d'arêtes ([ui doivent être conservées, les autres étant marquées en trait mixte :

II. 19; //. 5; //, 12; 3, 20; 10. 6; 17, i3; 2, 8; 9, i5; 16, i; 1 '|. 11: 2., 18; 7,4.

('j II n'y il aiicunn (lifficulli' à rn-onnaîlre SllCl't•^!^ivome^t 1rs (Jiffùrentcs face» au priiiil (le vue tic la visibililê. Ou peut aussi appli(|uci' ii'S tiiéori-iiies du n* t'2. Poui° le cui>c, eu projccliou liori/.onlaic. par exeiii|ile. Il est rarlié ; ilonc. aus$i toutes les fares issues He re soniniel (TlM'oréme II): V est vu el ne fait p.ts partie (lu conlour apparent; donc, les Mois face> ipii en *i)nf issues sonl vues (Tliéor<'me III ^

2. Une pyramide a pour sommet le point S( — 54. 0,88) et pour base, dans le plan horizontal, un carré ABCD, dont les sommets A et B les plus rapprochés de la ligne déterre ont pour coordonnées respectives ( — io,36,o) cl (26,3o,o). Une deuxième pyramide a pour sommet le point Si (o,3o.44) ^' pour base, dans le plan horizontal, un triangle AiB,C, défini par les coordonnées A,( — 54,36,o), B,( — 24,20,0), C,( — 0^.62,0). Représenter Tensemble de ces deux solides {fig. 2).

Construction de l'intersection. — Nous appliquons la méthode générale du n° 16. La ligne des soramels perce le plan horizontal au point {1. fj'). Les traces horizontales des plans auxiliaires passent toutes parc. Les traces des plans limites sont c^i et 7c,. Les plans auxiliaires utiles sont 6,e/', akl, aigh, c^ij. Ils donnent chacun deux points de Tintersection. Par exemple, le point 5 s'obtient en prenant l'intersection de sa et dé .9|/; il se rappelle en 5' sur s' a' .

Jonction des points. — Appliquons la méthode du n" 18. Partons du point I. auquel correspondent, sur les bases, les points 6, et e. Le sens de parcours sur abcd est nécessairement celui de e vers a. parce que e se trou\e sur un plan limite pour S|. Sur l'autre base, prenons le sens indiqué par la flèche. >«ous obtenons successivement les points 2, 3. \. 5 et nous retombons sur le point 1 ; le polygone est fermé. Mais, il reste encore trois points. Parlons de l'un d'eux 6, auquel correspondent, sur les bases, è, et /". Sur abcd, nous allons nécessairement verse; sur l'autre base, marchons toujours dans le sens de la flèche. Nous obtenons les points 7,8 et nous retombons sur 6. Tous les points sont maintenant éj>uisés. L'intersection se compose de deux polygones fermés; il y a pénétration (n° 19).

Ponctuation. — Voici la liste des faces vues :

En projection horizontale : SBC, SCD; S,A,B,, SiA,C,.

En projection verticale : SAD, SDC; S,A,C,, S,C, B,.

En projection horizontale, les points i, -.i, 3, 4. 5 sont tous cachés sur P; donc, le premier polygone est entièrement caché. Le côté 68 est caché sur P,; les côtés 67 et 78 sont vus à la fois sur les deux pyramides; on les trace donc en trait plein.

En projection verticale, les côtés la et 5i et le triangle 678 sont cachés sur S. Le côté 23 est caché sur S,. Enfin, 34 et l^h sont vus sur les deux solides, donc en trait plein.

Les porlitins d'arèles à enle>er «ont 16, 48, 37 et '."».

I'>ri projection horizontale, signalons seulement (jue les portions

Fis. 2.

d'arêtes 3//^ ci ^n, bien que vues sur la pyramide P,, àlaquelle elles appartiennent, sont néanmoins cachées par la face SAD de P. Il en est de même pour la partie /xbi de la base.

En projection verticale, on peut faire la même remarque pour l' g' , l' p' et pour les portions d'arêtes de Pi comprises entre s' c' et les points 6', 7', 8'.

3. Un prisme P, a pour base, dans le plan horizontal, un triangle équilatéral A,B, Cj, dont les deux sommets les plus rapprochés de la ligne de terre ont pour coordonnées B,(4o,4,o); C, (4» 16,0). Ses génératrices sont de front et sont inclinées à ôo° sur Ox, en montant de droite à gauche.

Sur l'arête issue du sommet A,, on prend le point E, dans le plan yO z. Par ce point., on mène une droite dont les deux projections font 45° avec la ligne de terre., en montant de gauche à droite pour la projection verticale et descendant pour la projection horizontale. Cette droite perce le plan vertical au point A. Ce point est le sommet d\in triangle ABC du plan vertical, dont les sommets B e^ C ont pour coordonnées ( — 18,0,0) e^ ( — 14,0,26). On considère un second prisme P, dont ABC est la base et AE une arête. On le limite par une section droite admettant E pour sommet.

Représenter ce prisme entaillé par P,, ainsi que son ombre propre et son ombre portée sur le plan vertical, les rayons lumineux ayant leurs projections perpendiculaires aux projections de même nom des arêtes de P {fig. 3).

Construction de Vintersection. — Cherchons la direction des plans auxiliaires. A cet effet, menons par K les parallèles aux arêtes des deux prismes (n° 10). Ce sont les arêtes lv\ et M\,. La seconde étant de front, les traces verticales des pians auxiliaires sont parallèles à e'rt, . En menant a' q parallèle à cette direction, puis joignant qax, on a les traces du plan au.viliaire lv\A|, qui est limite à la fois pour les deux prismes. On a un deuxième plan limite c'jih et deux autres plans auxiliaires utiles : b' Ik el c^mn'p'. Ces trois plans donnent respectivement les points 3, 7; 6, 2; 5, 8.

Jonction des points. — Partons du point E, avec le numéro i. Ce point est à la rencontre de deu.r arêtes; il est donc rextrémilè de quatre côtés différents du polygone d'intersection ( n" 18) et nous pouvons faire notre départ de quatre manières diirérenles, en combinant les sens de parcours sur les deux polygones de base. Partons, par exemple, de A, vers B, et do \ vers B; nous obtenons successivement

POLYEDRES. PRISMES ET PYRAMIDES

les points 2, 3 et nous revenons au point 1. Continuons nnaintenant à parcourir ABC dans le même sens; mais, changeons de sens sur l'autre base; nous obtenons les points 5, 6, 7, 8 et nous revenons en ]•]. Tous les points sont, à présent, numérotés. L'intersection est constituée

Fiçr. 3.

par le triangle i23 et par le pentagone gauche 4-^678, les sommets 1 et 4 étant confondus. On est dans le cas intermédiaire entre la pénétration et V arrachement. '

Construction de la section droite. — Coupons par le plan de front rs\ il coupe les faces E.VC et GCB suivant les frontales projetées verticalement en s' t et t' u' . parallèles à a' c' et c b' et le plan de la section droite suivant la frontale dont la projection verticale r' i'' 11' est perpen-

CHAPITHE II.

dicnlaire à n' e' et passe par le point r' situé sur l'horizontale (e/-, e' r'). Enjoignant c'e', on a la projection verticale de EG; puis, en joignant §-'//, on a g' f \ enfin, il ne reste plus qu'à joindre e'/'. Des lignes de rappel donnent les projections horizontales/ et g.

Poncluation. — Voici la liste des faces vues :

En projection horizontale, ACEG, EFG. •

En projection verticale, AHFE, EFG.

Eu projection horizontale, les côtés 78, 81, i 3 sont vus comme appartenant à la face ACEG: les côtés 45, 56, 67 sont vus comme contour apparent, bien qu'appartenant à des faces cachées {cf. n° 11, II, c; la partie solide du prisme P qui cachait .primitivement ces segments est enlevée par la suppression du prisme Pj).

En projection verticale, l'a', 4'-^' et 5'6' sont vus comme appartenant à ABFE; 6'-' et une petite partie de j'S' sont vus comme contour apparent.

11 faut enlever les portions d'arêtes 62 et 78. Des arêtes de P,. on ne conserve que le segment 58, vu en projection horizontale et caché en projection verticale.

Ombres. — Les rayons lumineux et les arêtes de P sont parallèles au premier bissecteur; il s'ensuit que tout plan de rayons lumineux s'appuyant sur une arête de P a une trace verticale parallèle à la ligne de terre; on en a, d'autre part, un point, en prenant la trace de cette arête. On obtient donc immédiatement \es ombres portées par les trois faces sur le plan vertical. (Les ombres portées sur le plan horizontal sont toutes en arrière du plan vertical et, par suite, ne sont pas vues.) l'our délimiter l'ombre portée par la face BCGF, par exemple, on mène g' g' parallèle à la projection verticale des ravons lumineux et Ton prend son intersection avec c' g" parallèle à la ligne de terre; on obtient ainsi le point g". On construit, de mênie, les points 3", ~\ f\ 2", 6'. . L'ombre cherchée se compose des deux trapèzes c'-"Ç>' b' et yg'fi". De même, les ombres portées par les parties non enlevées des faces HAEF et AEGC se composent,du pentagone //^v' i ' 5 G'/>', du triangle \ 1" f\ du pentagone a' c' -"S' \ ' a' et du triangle 13':,''. Il faut couvrir de hachures toute aire intérieure à Fun au moins de ces polygones.

Quant à {'ombre propre du prisme, elle comprend d'abord la base ARC et la face BCGF ; mais, toutes deux sont cachées dans les deux projections ; on ne les couvre pas de hachures. Il faut ensuite s'occuper de la surface de l'entaille, qui est constituée par certaines parties des faces de P,.

Prenons le triangle 58i. Son ombre portée 5"8 i" est tout entière dans l'ombre portée par les faces BAIIF et C.\lC(i. Comme ces faces sont

POLYEDRES, l'RISMES ET PYRAMIDES. Il

éclairées, elles arrèlent cerlainement les rayons lumineux qui devraient rencontrer le triangle, lequel esl, par suite, dans l'ombre. Sa projection horizontale, qui est seule vue, doit donc être couverte de hachures.

Prenons maintenant le quadrilatère 6678. Dans son ombre portée, nous avons les deux triangles 5"6''a" et 7"8"3'' qui sont extérieurs aux ombres portées par les faces BAEl'" et ACGE. Les rayons lumineux qui les traversent ne sont donc pas arrêtés par ces faces et les triangles 56a rt 783 sont éclairés. Au contraire, le trapèze 58 ^3a est dans Cambre.

Le triangle i"y"ô" conduirait, de mêuje, à une ombre portée sur le triangle 128; mais, comme ce triangle est caché dans les deux projections, cela ne présente aucun intérêt.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Un cube a une face dans le pian horizontal. Le centre C de celle face a pour coordonnées (0.100,0) el l'un des sommets (60,60,0). Un octaèdre régulier a une diagonale verticale, dont une extrémité est le point C précédent et l'autre a pour cote 14O. La trace horizontale d'un des deux plans diagonaux passant par cette diagonale a pour coeflicient angulaire 4 p^^i" rapport aux axes .rOy.

Représenter le cube entaillé par l'oclaèdre, ainsi que son ombre propre et les ombres ([uil porte sur les deux plans de projection.

2. Un octaèdre régulier a une face dans le plan horizontal, dont le centre et un sommet ont pour coordonnées respectives (0,120,0) el (0,220,0). Un tétraèdre régulier a un sommet au centre de l'octaèdre; la hauteur issue de ce sommet est verticale et dirigée vers le haut; elle a 140 de longueur. Une des arêtes issues du même sommet se projette horizontalement suivant une droite de coefficient angulaire |.

Représenter le solide commun, avec son ombre propre.

3. Dans le plan horizontal, on donne le rectangle ABCD; les sommets A el B ont pour coordonnées respectives ( — 100,75,0) el (100, 5, o); le sommet C du côté BG a pour abscisse 140. Sur le grand axe de ce rectangle, on prend un segment t^' ayant pour milieu le centre du rectangle et pour longueur 1/40; on considère, dans l'espace, le segment EF horizontal, projeté horizontalement en ef et de cote 100. Les triangles EÂD, FBC, les trapèzes ABFE, DEFG el le rectangle ABGD limitent un solide S.

On donne ensuite les deux jjoints G(— .>o, 100,40) et H(— 1 10,120,60) el l'on considère un cube admettant Gli pour arêlC; le plan diagonal

contenanl celle arête étant supposé vertical et G étant le sommet le plus rapproché du plan horizontal.

Représenter l'ensemble des deux solides.

V. Un tétraèdre régulier ABCD a ses deu\ arêtes opposées AG et BD liori/.ontales. Son centre G a pour coordonnées ( — 90,iio,i5o). L'arête la plus basse BD a une projection horizontale de coefficient angulaire 0,7. l^lle a pour longueur \-o.

Dans le plan horizontal, un carré a pour centre le point 1(70,110,0) et pour sommet le point lîl(3o,3o,o). Il sert de base à une pyramide dont le sommet se trouve sur la droite IG et a pour cote 200.

Représenter le solide commun.

o. Un triangle é<(uilatéral du plan horizontal a pour centre le point <^i (8o,i4o,o) et pour sommet le point A(8o,6o,o). 11 est la base d'une pyramide dont le sommet a pour coordonnées ( — 20,40,120).

Un hexagone régulier, de côté 60, se trouve également dans le plan horizontal et a pour centre le point ( — 8o,i4o,o)o Une de ses diagonales a pour angle polaire — 4^° par rapport à Ou\ Cet hexagone sert de base à un prisme, dont les arêtes ont pour angle polaire — So" en projection horizontale et 45° en projection verticale et (jui est limité par la section droite dont le plan passe par le point de cote i5o pris sur la parallèle aux arêtes menée par le centre de l'hexagone.

Représenter l'ensemble des deux solides.

6. Deux poutres idenli((ues ont pour section droite un carré de côté 120, dont on a enlevé, aux quatre angles, de petits triangles rectangles isoscèles d'hypoténuse égale à 3o. Ces deux poutres sont placées de manière que la perpendiculaire commune AB à leurs axes soit verticale, le pied A le moins élevé ayant pour coordonnées (0,120,90). De plus, ces axes sont inclinés à 45° sur la ligne de terre. Enfin, AB = Go.

Représenter la poutre inférieure enlaillte par l'autre.