Une cathédrale est constituée de la manière suivante

1° Un parallélépipède rectangle P, dont la base ABCD a pour longueui- i()o cl pour largeur 60; le grand axe l'.P a pour azimut lo.b", le Nord étant dirigé suivant Oj' et l'Est suivant O v; le sommet A le plus à rOuest se trouve en O. La hauteur tie 1* est 70.

2" Un prisme droit (^), à base triangulaire isoscêle, dont la plus petite face a pour largeur 3o et repose sur la face supérieure de I*, de telle manière que l'arête opposée se projette horizontalement en ICF, sa cote étant, pai' ailleurs, 1 10.

POLYEDRES, PRISMES ET PYRAMIDES. l3

3° Deux tours verticales identiques, ayant la forme de prismes droits, dont les bases sont des Ctirrës ayant pour centres les sommets C et D le plus à l'Est et le plus au Sud et ayant leurs côtés parallèles à ceux du rectangle ABCD et de longueur 3o. La hauteur de chaque tour est no.

4° Deux flèches déforme pyramidale, de hauteur no et admettant pour ba^es les bases supérieures des deux tours.

Représenter les deux projections de la cathédrale, ainsi (|ue son ombre propre et son ombre portée sur le plan horizontal, on la supposant éclairée par le soleil, à midi, la hauteur de ce dernier au-dessus de l'horizon étant égale à 60°,

EXERCICES RÉSOLUS

1. Un cercle a pour centre le point (o, o'). Son plan est déterminé par riiorizontale {o/i,o'/i') et la frontale {of, (>'/'). On donne son rayon R. Un cône a pour base ce cercle et le point (.?, s') pour sommet.

1° Construire son contour apparent horizontal.

2° Construire la projection horizontale d'un de ses points, connaissant sa projection verticale m' {Jig. 4).

1° Pour construire le contour apparent liorizontal, nous appliquons la méthode générale du n° 23. Nous prenons la trace sur le plan de base de la verticale du sommet, en coupant par le plan de front auxiliaire sa\ nous obtenons ainsi le point (cr. i'). Il faut ensuite mener de ce point les tangentes au cercle de base. A cet elTet, nous rabattons le plan de base autour de Fhorizonlale (/<, h'). Le cercle se rabat, en vraie grandeur, suivant le cercle Gj. Le point {i, 7') se rabat en <7,, construit, suivant la règle classique, au moyen du triangle rectangle 76c. De c,, nous menons les tangentes a, (/] et ai^i au cercle Ci. Nous relevons ces tangentes en >7d et (ye. (Pour la première, on a utilisé le point de rencontre gi avec le rabattement /, de /", lequel rabattement est parallèle à aa^. Pour la deuxième, on a utilisé le point de rencontre i avec la charnière.) Kn joignant sd et se, on a les projections horizontales des contours apparents demandés. Si Ion tient à avoir leurs projections verticales, il suffit de relever d en d' sur 1' n' et e en e' sur a' i\ puis de joindre s' d et s'e'.

2» Il s'agit de construire l'intersection du cône avec la droite de bout du point ni' . A cet eflfet, nous coupons par le plan passant par celle droite de bout et par le sommet (v, s'). Ce plan coupe le plan de base suivant la droite projetée horizontalement en jk. Il faut prendre l'inlersection de celle droite avec le cercle de base, ce qui se fait par

riiilermédiaire du rabattement /A,, qui coupe C, aux deux points /,, //,. relevés en / et n. En joignant .v/ et 5/<, on obtient les projections liori-

Fig. 4.

zontales des génératrices d'intersection du cône avec le plan de bout^'w'. La ligne de rappel du point m' coupe ces deux projections en rn^ et ni^. qui sont les projections horizontales des deux points du cùne projetés verticalement en ni .

2. in cône a pour sommet le point S( — 8, 19, 68) et pour hase.

l6 CHAPITRE m.

dans le plan horizontal, itn cercle de rayon 27 et de centre «(o, 63, o). Un disque circulaire opaque, de rayon 17, a pour centre le point 0( — 24, 72, 56). Le tout est éclairé par des rayons lumineux à 45°. Représenter le système, avec ses ombres, ainsi que les ombres portées sur les plans de projection {fig. 5).

Contours apparents du cône. — Le contour apparent horizontal est constitué par les génératrices sa, sb tangentes, en projection horizontale, au cercle de base (n° 23). Le conlour apparent vertical est constitué par les génératrices s' c' , s' d' , qui aboutissent aux points (c, c') et {d, d') du cercle de base où la tangente est de bout.

Ombre propre du cône. — Par le sommet S, menons la parallèle (.yc, s'c') aux rayons lumineux et construisons sa trace horizontale 7. Par cette trace, menons les tangentes ne et af au cercle de base. Les génératrices d'ombre propre aboutissent aux points de contact. La génératrice {sf, s'/') est vue dans les deux projections; l'autre n'est vue dans aucune et n'a pas été tracée.

Ombres portées sur les plans de projection. — Les plans tangents au cône parallèles aux rayons lumineux sont déterminés par la droite (sa, s'a') et par les tangentes ae et cr/. Ces dernières délimitent l'ombre portée par le cône sur le plan horizontal; mais, elles doivent être arrêtées en s et 9 sur la ligne de terre. Bien entendu, on n'a couvert de hachures (|ue la partie Je cette ombre portée qui est extérieure au contour apparent horizontal du cône.

En joignant £ et 9 à la trace verticale a', de S7, on obtient les deux segments ((ui délimitent l'ombre portée sur le plan vertical.

L'ombre portée par le disque sur le plan horizontal est un cercle égal, ayant pour cenlre la trace horizontale/) de la parallèle aux rayons lumineux menée par le point (o, o'). Une partie seulement de ce cercle, limitée par l'arc g/i, est extérieure à l'ombre portée par le cône.

Le disque ne porte pas ombre sur le plan vertical.

Ombre portée par le disque sur le cône. — Cette ombre est délimitée par la courbe d'intersection du cône et du cylindre parallèle aux rayons lumineux ayant pour base le disque ou bien encore le cercle (/>) du plan horizontal. Pour construire cette courbe, nous appliquons la méthode générale du n" 2ÎL Les traces horizontales des plans auxiliaires passent par le point c.

Avant d'aller plus loin, observons que les génératrices du cône qui aboutissent à l'arc t'c/* de la base doivent seules être prises en considc-

Fis. 5.

Haag. — Exercices, IV,

iS CHAPITRE III.

lalion dans la conslruclion de rinterseclion ; les autres sont, en effet, déjà dans l'ombre propre du cône et ne peuvent donner aucun point de la courbe limilanl rombre portée par le disque.

Il V a deux plans limites : o ligf, limite pour le c«me, et 7m, limite pour le cylindre. Le premier donne les points (i, i') et (5, 5'), où la courbe est tan;iente aux. génératrices du cvlindre (n" 7). Le deuxième donne le point (3, 3'); la tangente en ce point est la génératrice du cône; elle est sensiblement confondue avec une génératrice de contour apparent vertical et Ton n'a pas tracé sa projection verticale.

Pour avoir des points dans les régions insuffisamment guidées de la courbe, on a coupé par le plan auxiliaire 17/r/^/, qui passe par le centre de similitude interne q des deux bases. Les génératrices du cône et du cvlindre, aboutissant respectivement aux points homologues /et /.", donnent le point (4, 4 )) où la tangente est horizontale et parallèle à la tangente Im au cercle de base du cône. Le point 4' est le point le plus haut de la projection verticale (n° 32).

Le même plan auxiliaire nous donne le point (2, 2'). sur la génératrice du cylindre issue du point /. Ce point peut être considéré comme un point courant. La tangente (2/, 2'/') est obtenue par rinterseclion des plans tangents, dont les traces horizontales sont les tangentes Ini et Jr aux bases. Ces traces ne se rencontrant pas dans les limites de l'épure, on a utilisé le plan auxiliaire a/, dont la trace horizontale rencontre les traces des plans tangents en ni et r. En joignant sm^ menant par /• la parallèle aux génératrices du cylindre et prenant l'intersection de ces deux droites, on obtient un point / de la tangente cherchée, qui se rappelle en /', sur l't'.

Pour augmenter la précision du tracé, on a encore coupé pirdeux autres plans auxiliaires, qui ont donné les ([ualre points marqués sans numéro. Les constructions nont pas été reproduites, afin de ne pas embrouiller l'épure.

Four opérer la jonction, on a suivi la marche indicjuée au n° 31. Parlant des points f et g sur les deux bases cl, par conséquent, du point I sur la courbe, on marche dans le sens des aiguilles dune montre sur chaque base. On rencontre les points /, y, qui donnent le point (2, 2'), puis les points «, /', qui donnent (3, 3), On est alors arrivé à un plan limite et l'on doit rebrousser chemin sur la base du cône ; on rencontre les points /, /., qui donnent (4, 4') et enfin les points/, //, qui donnent (5, 5').

La ponctuation et le tracé des hachures ne donnent lieu à aucune difficulté.

3. ( hi donne deur cilnes, ayanl pour soni/nels ri'spcctifs S et S| »/

CONES ET CVLIMDRES.

ly

pour bases des cercles du plan horizontal, de centres respectifs o et o^. Construire une de leurs normales communes {Jig. 6).

Appliquons la méthode du n" 24. Il faut d'abord mener aux deux cônes des plans tangents parallèles. A cet eflet, nous transportons le cône Si parallèlement à lui-même, en amenant son sommet en S. Pour

Fig. 6.

construire sa nouvelle base, nous remarquons que les deux positions du cône peuvent être considérées comme homothétiques par rapport à la trace horizontale // de la droite SS, ; d'où il résulte que la nouvelle base est homothétique de l'ancienne par rapport à ce point, le rapport d'ho-

llg ...

mothélie étant -7 Le nouveau centre o., est à rinterseclion de /lOi et de

/iSi

la parallèle à 5,01 menée par s. Pour avoir le nouveau rayon, on a construit l'homologue d'un des points de rencontre de .ç,Oi avec Tancienne l)a.se.

Le cercle O2 étant tracé, menons une tanjiente commune aa^ aux cercles o et O2; puis, prenons l'iiomologue (ii du point de contact a^ et menons la tangente r/jf, en ce point. Les plans Sa«2 et S,aif, sont deux plans tangents parallèles. Il ne reste plus quà mener la perpendiculaire commune aux deux génératrices de contact Sa et S, «7,. La direction de cette perpendiculaire commune est d'ailleurs la perpendiculaire au plan langent Sia]/,, par exemple. Menons cette perpendiculaire par un point de S,*"/,, par exemple par «,. Sa projection horizontale est perpendiculaire à l'horizontale Oity] c'est le rayon OiO^d. Pour avoir la projection verticale, nous déterminons une frontale (vi^, s, Z>') du plan tangent et nous menons a\d perpendiculaire à s\b'. Nous prenons ensuite l'intersection du plan S,A,D avec la génératrice SA, en coupant par le plan projetant horizontalement cette droite. IS'ous obtenons ainsi le point {/,/'), qni est le pied de la normale commune sur le cône S. Menant par ce point la parallèle à [d, d'), nous avons la normale elle-même et son point de rencontre (ir, ,.?') avec (.^if/,, s\a\) est le pied sur le deuxième cône.

k. Un cane a pour base an cercle (C) dans le plan horizontal. Son sommet S a sa projection horizontale s sur ce cercle. On donne, d'autre part, une droite (D. D' j et l'on demande de mener, par cette droite, un plan coupant le cône suivant une courbe projetée horizontalement suivant une hyperbole équihitcre. Construire les deux projections de cette courbe, en limitant le cône à son somuiet et à sa base {fi g. 7).

Si l'on mène, par le sommet S, un plan Q parallèle au plan P cherché, ce plan doit couper le cône suivant deux génératrices projetées horizontalement suivant deux droites rectangulaires, puisque ces deux droites sont les directions asymj)lotiques de la |)rojection horizontale de la section par le plan I* (11° 20). Pour avoir ces deux génératrices, on doit prendre l'intersection de la base avec la trace horizontale deQ et joindre les deux ])oints obtenus />, e, au sommet S. Les deux droites sh et se doivent être rectangulaires; comme s est sur le cercle (G), la droite be doit être un diamètre de ce cercle. D'autre part, elle doit évidemment passer par la trace horizontale a de la parallèle à (D, D') menée par S. (]'esl donc la droite ac. Si nous menons maintenant la parallèle à celle

CuNES ET CYLINDRES.

droite par la trace horizontale / de (D, D'), nous obtenons la trace horizontale du plan P, qui est, dès lors, déterminé. -

Fis. -.

Il s'agit maintenant de construire la section du cône par ce plan. Commençons par clierciier ses asymptotes. Ce sont les intersections du

CHAPITRK III

plan P avec les plans langenls au cùne le long des génératrices S 6, Se. Les traces horizontales de ces plans langenls sont les tangenles en 6 et e au cercle (C); elles rencontrent la trace horizontale de (P) aux deux points i et /. En menant, par ces points, les ])arallèles io à bs el Jo à es, on a les asymptotes de la projection horizontale. Le point o en est le centre. Remarquons, d'ailleurs, que le centre O de la section dans Tespace se trouve sur le diamètre conjugué du plan Q. Or, ce diamètre passe par le pôle de be par ra])port au cercle (C) (t. IL n° kS't-). Mais, ce pôle est à l'infini dans la direction perpendiculaire à be. Il suit de là que le diamètre SO est une horizontale perpendiculaire à be. Il est ai>é de vérifier, par la Géométrie élémentaire, que so est eflfectivement perpendiculaire à bc, en remarquant simplement que le triangle oij se déduit du triangle sbe par la translation bi. Nous avons maintenant la projection verticale o' du centre, en menant une ligne de rappel jusqu'à la parallèle à la ligne de terre menée par s'. En joignant o' i' et o'j', on a les asymptotes de la projection verticale. (Comme vérification, elles doivent être parallèles aux projections verticales des génératrices S^, Se, projections non construites sur la figure.)

Nous avons immédiatement deux ])oints de la section en g, h. à la rencontre du cercle (C) avec la trace horizontale de (P). Ces points se rappellent en g\ li' , sur la ligne de terre. Nous avons construit la tangente en g, en utilisant les asymptotes {cf. t. 11, n° 541; gk :=: go). En prenant l'intersection de cette tangente avec le diamètre ol conjugué de gli, nous avons le pôle m de g/i. En joignant mh, nous avons la tangente en h. Le point m se rappelle verticalement, en ni' ^ sur o' i \ m' g' el ni' h' sont les tangentes, en g' et A', à la projection verticale.

On a maintenant plus d'éléments qu'il n'en faut pour consliuire, par points, les deux projections (n°1/i.I). Indiquons to-ulefois la conslruclion de quelques autres points remarquables.

Cherchons le sommet de la projection horizontale. L'axe est la bissectrice de l'angle ioj. Il faut prendre l'intersection du cône avec la droite du plan (P) projetée horizontalement suivant celte bissectrice. Celle droite a pour trace horizontale le point //, situé sur//; elle passe, d'autre part, par le poinl {o,o')\ cela suffit à la déterminer. Nous cou])Oiis maintenant le cône par le plan contenanl celle droite et le sommet S el nous cherchons la trace horizontale de ce plan. Cette trace passe d'abord par le poinl n\ en outre, elle est parallèle à so. qui est une horizontale du plan; nous pou\ons donc In Irncer. Elle rencontre le cercle en deux points, dont un seul, />, donne une génératrice rencontrant on. en q. sur la nappe intéressante du cône. Ce poinl ij est le sommet do la brandie fl'hyperbole que nous avons à construire.

CÔNES ET CVLIXDRES. 23

Cherchons maintenant le point le plus haut de la projection verticale. Il se trouve d'abord sur le diamètre conjugué o' L' des cordes horizontales. En outre, le plan tangent en ce point au cône doit avoir une trace horizontale parallèle à gh; comme cette trace doit être tangente au cercle, son point de contact doit être sur le diamètre cl perpendiculaire à gh\ l'extrémité v de ce diamètre seule convient; elle se rappelle en c' sur xy. En joignant 5' r' et prenant son intersection avec o' l\ on a le point w' cherché. En projection horizontale, yc rencontre, de même, ol en (ï', où la tangente est parallèle à gh.

Le point s appartient évidemment à la projection horizontale de l'hyperbole, le point correspondant de l'espace étant l'intersection du plan (P) avec la génératrice verticale du cône. La projection verticale/' de ce point a été obtenue en coupant (P) par le plan vertical de trace 50; l'intersection passe par le point {u, u'), qui est sa trace horizontale et par le point (0, o'). La droite o' u' coupe s.s' au point /!. La tangente en s est la tangente sf au cercle, car le plan tangent au cône en R est vertical. En prenant son intersection / avec g/i et rappelant, en t', sur xy, on a la tangente t' r' en /•'.

Cherchons enfin le point sur le contour apparent vertical. Coupons le plan (P) par le plan SaS. La trace horizontale de l'intersection est le point y où a3 rencontre gh. En utilisant, de même, le plan horizontal auxiliaire s'a', on obtient le point ô (sd parallèle à ap et 00 parallèle à gh). La droite yo rencontre sy. au point £, qui se rappelle verticalement au point î' cherché, sur s' oc' .

Les points et tangentes obtenus dans les deu\ projections suffisent amplement pour construire les deux branches d'hyperboles.

En projection horizontale, tout est vu. En projection verticale, le point /i' est caché; il en est donc de même de l'arc h'-', l'arc s' g' étant, au contraire, vu.

3. Un -cylindre a pour base un cercle (C) dans le plan vertical. Construire une de ses sections droites et le représenter, en le limitant à cette section et à sa base {fig. 8).

Prenons le point {OiO') sur l'axe du cylindre et menons, par ce point, un plan (P) perpendiculaire aux génératrices, au moyen de l'horizontale {h, h') et de la frontale (/,/'). C'est ce plan que nous prenons comme plan de section droite.

Le plan de bout passant par l'axe du cylindre est évidemment un plan de symétrie; il en résulte que son intersection avec le plan ( P) est un axe de la section droite. Le deuxième axe est perpendiculaire au premier;

c''est donc la fronlale {/.,/')■ Ces deux axes se projeltent verticalement suivant les axes de la projection verticale de la section, car ils demeurent à la fois diamètres conjugués et rectangulaires. (On peut aussi remarquer que la droite c'o' est un axe de symétrie de la projection verticale.)

Fie. S.

->^rf

Les extrémités de Taxe de front ne sont autres que les points (a, a') et (6, b') situés sur le contour apparent vertical. La tangtMite en 6 à la projection horizontale est la projection hori/.ontalo bd i\e rinlersection du plan (P) avec le plan tangent de bout, de trace verticale />>/'.

Pour avoir les «'xlréniilés de Tautre axe, coupons par le plan de bout qui le contient. Dans le plan (P), nous obtenons une droite qiri passe par O et qui est parallèle à la tangente {bd, b'd'), Elle rencontre, ]>ar exemple, la génératrice issue du point (/, /') au point (e, e'), qui est un des sommets cherchés; l'aulre sommet (;,', g') s'en déduit [)ar svmélrie.

En projection hori/.ontale, ab et eg sont deux diamètres conjugués. On pourrait en déduire les axes par la construction classique (n" 142). Mais, cela n'a pas d'utilité pratique.

Cherchons les points sur le contour apparent horizontal. On obtient le point /??, en coupant par le plan projetant verticalement la génératrice issue du point (y, y'); l'intersection avec le plan (P) est une droite dont la projection horizontale km est parallèle à bd et rencontre la projection horizontale de la génératrice au point m. Par symétrie par rapport à o, on obtient ii.

En portant kpz= — km, on obtient un autre point de la projection horizontale, la tangente en ce point étant /)^, puisque oA" est diamètre conjugué de ink. De même, on déduit q de n, avec la tangente qs.

Nous avons maintenant assez de points et de tangentes pour tracer la projection horizontale. Quant à la projection verticale, elle a été tracée par le procédé de la bande de papier.

La ponctuation ne présente aucune difficulté; la demi-ellipse men est seule cachée, en projection horizontale; on le voit, par exemple, en coupant mentalement le cylindre par la verticale du point e; on trouve un point d'intersection au-de.ssus du point (e, e').

6. Un cylindre (G) a pour base tin cercle dans le plan vertical; ses génératrices sont horizontales. Un deuxième cylindre (C,) a pour base un cercle dans le plan horizontal: ses génératrices sont de front. Représenter le second cylindre entaillé par le premier {fig- 9).

Les plans auxiliaires sont parallèles aux génératrices des deux cylindres; leurs traces horizontales sont donc parallèles aux projections horizontales des génératrices de (C) et leurs traces verticales sont parallèles aux projections verticales des génératrices de (Ci).

Plans limites. — '1 y a deux plans limites : a' y.a^a-i et b''^byb.i. Ils sont tous deux limites pour (C); on peut donc prévoir qu'il y aura pénétration de (C) dans (Cj). Les génératrices issues des points a' et r/,, par exemple, se rencontrent en un point projeté verticalement en 5' et rappelé horizontalement en 5 sur la projection horizontale de la génératrice de (C,). D'après le théorème des surfaces limites, la tangente en ce point est la génératrice de (Ci). On a de même les points (i3, i3')^ (', i'), (9.9').

Points sur les contours apparents. — Le contour apparent horizontal de (C) est constitué par les génératrices issues des points i' et h', où la tangente à la base est verticale. Les plans auxiliaires i'r^g^g-i et h' rs^fxt\

26 CHAPITRE m.

donnent les points (6, 6'), (1/4, '4') et (2, 2'), (10, 10'), obtenus chacun en projection horizontale, puis rappelés verticalenient sur i' k' .

On construit, d'une manière analogue, au moyen des plans auxiliaires dioe'd' et e^sg'/', les points (7, 7'), (3, 3') et (11, 11'), (i5, i5') du contour apparent horizontal de (Cj) et, au moyen des plans auxiliaires f'ihji. et A'diii^, les points (4, 4'), (12, 12') et' (8, 8'), (16, 16') du contour apparent vertical de (C). Quant aux génératrices de contour apparent vertical de (C,), elles sont en dehors de linlervalle des plans limites et ne rencontrent pas la courbe.

Considérons, par exemple, le point (i5, i5'). Sa projection horizontale seule nous intéresse, en tant que point remarquable. Toutefois, nous avons construit sa projection verticale, afin d'avoir, un point de plus dans cette projection. La tangente au point i5 est la génératrice e,i5 de contour apparent horizontal (n''2). La tangente au point i5' s'obtient en considérant ce point comme un point courant, c est-à-dire en prenant l'interseclion des plans tangents. Or, le plan tangent à (C,) est de front; la tangente en i5' est donc parallèle à la trace verticale du plan tangent à (C), c'est-à-dire à la tangente en g' à la base. (Jn a, de même, construit les tangentes aux points 11', 3', 7' et aux points 4, 12? 8, i6; mais, elles n'ont pas été reproduites sur la figure.

Jonction des points. — On a maintenant suffisamment de points pour tracer la courbe. Pour efTectuer leur jonction, partons de b' et de Aj. c'est-à-dire du point (i, i'). Parcourons, par exemple, la base de (C) dans le sens des aiguilles d'une montre et nécessairement aussi la base de (Cl), puisque le sens inverse nous est interdit par le plan limite. \ous rencontrons successivement les points 2, 3, 4) 5. Arrivés au point 5, nous sommes en Oy sur la base de (Ci) et nous rencontrons un plan limite; il nous faut rebrousser chemin sur cette base, en continuant, au contraire, à parcourir (C) dans le même sens. Nous rencontrons alors les points 6, 7, 8 et revenons au point i ; nous venons d'obtenir une première courbe fermée. Mais, il nous reste encore des points.

Parlons alors du point (9, 9'), c'est-à-dire de 0' et de b^. Tournons toujours dans le même sens sur (C) et nécessairement dans le sens inverse sur (C^,). Nous rencontrons 10, 11, 12, i3; puis, nous rebroussons chemin sur(C|); nous rencontrons i4, ii>, 16 et revenons au point 9, en fermant une deuxième courbe- Nous avons maintenant épuisé tous les points cl nous avons tracé l'intersection complèlo. On voit bien ([u'/Z y <i pcnct/ation , ain^i que nous l'avions prévu.

/Agnes des points doubles apparents. — L'épure montre quil y a deux

CONES ET CYLINDRES.

points doubles apparents dans chaque projection (n" 8). l'^n projection verticale, ils doivent se trouver sur la projection verticale de Tintersection des plan diamétraux conjugués des cordes de bout, c'est-à-dire des plans contenant les contours apparents verticaux.

Pour le premier cyiindpe, nous avons le plan vertical /' / 16 et, pour

ï. > ' Xi , 1 11 , VA, \ i'

le second, nous avons le plan de front Ci /. Ces deux plans se coupent suivant la verticale {l, i). Les points doubles apparents /<', p' se trouvent sur /'. On construit, d'une manière analogue, la ligne des points doubles en projection horizontale, qui est la droite de bout m.

Ponctuation. — Appliquons les règles du ii" 11. II.

Nous commençons par ponctuer la courbe sur (C,). En projection horizontale. le point 5, par exemple, est sur la génératrice vue a, 5; donc, il est vu, ainsi ([ue tout l'arc S-^-S-ô-j. L'arc 7-8-1-2-3 est, an contraire, caché. Toutefois, la portion ^7 de cet arc redevient vue quand on enlève la portion de (C, ) intérieure à (C), car on supprime ainsi tous les points de (G,) qui étaient situés au-dessus de 177. De même, l'arc I i-i9.-i3-i4-i5 est vu et l'arc 1 5- 16-9-10-1 1 est caché, sauf r 16-1 5, qyi devient vu pour la même raison que 77.

En projection verticale, toute la boucle qui contient 9' est vue. L'autre boucle est, au contraire, cachée; toutefois, l'arc n' o' p' devient vu quand on enlève (C).

Les segments 8-7 et i i-i5 du contour apparent iiori/.onlal de (Ci ) sont enlevés, comme intérieurs à (C). Les segments 2-10, 6-i4 du contour apparent horizontal et ^'-12', 8'-i6' du contour apparent vertical de (C) sont seuls conservés, comme intérieurs à (Ci); ils sont, bien entendu, cachés.

7. Un cylindre C a pour base le cercle (O) du plan horizontal. In cône, de sommet {s, s'), a pour base le cercle (Oi) du plan /inrizontal. Construire le solide commun (Jig. 10).

Par le sommet du cône, menons la parallèle aux génératrices du cvlindre et prenons sa trace horizontale <7. Les traces horizontales des plans auxiliaires passent toutes par ce point.

Plans limitf'S. — On obtint leurs traces en menant, du point a, les tangentes aux deux bases. L'une de ces tangentes aaai est commune aux deux cercles. Le plan correspondant est donc langent à la fois aux deux cônes et le point (i, i') est un point double de l'intersection. l*our avoir les tangentes en ce point, on a appliqué la méthode du cône d'erreur (n" G). Pour que la construction se fasse dans les limites de l'éfkure, on a cherché la base de ce cône dans le plan horizontal II'. Ce plan coupe le cylindre et le cône proposés suivant deux cercles, de centres respectifs (/?, p') et iq, q'), sur les diamètres conjugués des plans horizontaux par rapport aux deux surfaces. La base du cône d'erreur est une conique passant par les quatre points de rencontre de ces deux cercles. C'est donc un cercle appartenant à leur faisceau et avant, par conséquent, son centre sur la droite /^.y. Pour déterminer ce centre, il suffit de construire deux points du cercle. Or, on a mené le plan il par urj point (5, 5') ullérieuiement conslruil de l'interserlion ; le point 5 est donc déjà un point du cercle. < >i) en a construit un second, enjoignant (i, 1 ) à un autre

CONES ET CVI.lNnRES.

point (3. 3') de rinterseclion et en prenant la trace (r, r' ) de la droite obtenue sur H'. La perpendiculaire au milieu de 5/coupe/?^ au centrer clierché. La base du cône d'erreur est, dès lors, le cercle de centre c et

Fis.

— ,*/;'4--/--tt'-

commun sui-

de rayon rr. D'autre part, le plan II' coupe le plan langent coi vant la droite {nul. n'ut'), qui rencontre le cercle précédent aux poinls {t, l') et («, "'). Il ne reste plus qu'à joindre ces points au point (i. i ) pour avoir les tangentes au point double.

Le deuxième plan limite a pour trace horizontale s/.y/.,. H est limite

3o CHAPITHE MI.

pour le cône el donne les deux points (6, 6') et (i/j, i4'); 'es lanîjentes en ces points sont les génératrices (./6, /'6') et {I: \f\, k' \^') du cylindre, en vertu du lliéorème des surfaces limites (n° 7).

Points sur les contours apparents. — Sur le contour apparent horizontal du cylindre, on a les points 2 et 10 fournis par le plan auxiliaire (jbiibi, (On n'a rappelé verticalement que le point 2, en 2', sur la projection verticale // 2' de la génératrice du cylindre.) Sur le contour apparent liorizontal du cône, on a les points 9, 16, 5, i3, fournis par les plans auxiliaires (rfedi et ailigi et qui ont tous été, sauf le point 9, rappelés verticalement sur les génératrices du cylindre. Sur le contour apparent vertical du cylindre, on a les points 8' et 4', fournis par le plan auxiliaire (jgfxCx el dont on a construit d'abord les projections horizontales 8 et 4- Enfin, sur le contour apparent yertical du cône, on a les points 3', 12', 7', i5', fournis par les plans auxiliaires adccx et anil/ii (') ; on les a rappelés horizontalement sur les génératrices du cylindre.

Jonction des points. — Les points précédemment obtenus sont suffisamment nombreuv pour qu'on puisse facilement en opérer la jonction.

Partons du point double (i, i'). c'est-à-dire des points a et «i sur les bases : et décrivons celles-ci dans le sens Irigonométrique. \ous rencontrons successivement les points b et ^,. qui donnent (2, 2), puis c et C|, qui donnent (3. 3'), puis g et Cj, qui donnent (4- 4 )> puis h et gi, qui donnent (5, 5'), puis / et /,,, qui donnent (6, 6'). Nous sommes arrivés dans un plan limite pour le cône et nous devons rebiousser chemin sur la base du cylindre, tout en continuant à tourner dans le même sens sur le cône. Nous rencontrons alors /et A,, qui donnent (7, 7'), puis^et /",, qui donnent (8, 8'), puis eet c?,, qui donnent (9, 9) (^ ), puis 6 et 1,, qui donnent (10, 10'), puis a et a,, qui nous ramènent au point double, avec le n" 1 1 . Nous pouvons continuer à tourner dans le même sens sur les deux hases et nous rencontrons successixement t/ et c,. qui nous donnent (12, 12'), puis < et ^1, qui nous donnent ( i3, i3'). puis A et /.,, qui nous donnent ( i4, i4') î nous rebroussons chemin sur le cvlindrc seulement et rencontrons m et A,, qui nous donnent ( i5, i5'). puis/et</,, qui donnent (16. 16') et enfin a et «,. qui nous ramènent au point de départ, avec le mèma sens de parcours sur les deux bases. Nous avons maintenant rencontré tous les points el terminé leur jonction.

Ponctuation. — Appliquons les règles du n" 11, lli. V.n projection

(') Les Iij;nc9 de rappel Hes points r et / sont pratii|ucmcnl confondues. (') F. es points <»' el lo' n'onl pas él(? inari|ués .sur la ligure. i|ui eût ct»5 trop confuse.

CÙNES ET CVLIXDRES. 3l

liorizonlale, Parc 5-6-7-8-9 et, en projection verticale, l'arc 4'-5'-6'-7' sont seuls cachés à la fois sur les deu\ surfaces. Des contours apparents, il ne reste que les segments 2-10, 5-i3, 9-16, en projection horizontale et les segments ^'-S', 2'- 12', 7'-! 5', en projection verticale.

8. O/i donne un cercle (O) dans le plan horizontal. On mène les deux tangentes g a parallèle à la ligne de terre et ab inclinée à 45° sur cette ligne. Puis, on mène bc et bd respectivement parallèle et perpendiculaire à xy. On considère l'ellipse tangente en h au cercle, passant par c et d et tangente à a a. Un cône a pour base ce cercle et son sommet S se projette horizontalement à l'intersection de ao et de ac. Un deuxième cône a pour base l'ellipse ; son sommet se trouve sur la droite {s<j, s' 7')., 5, se trouvant en même temps sur la parallèle à ac menée par b. Représenter Vensemble des deux cônes {Jig- i 1).

Construction de l'ellipse. — Cherchons d'abord le point de contact avec !7a. A cet effet, appliquons le théorème de Desargues (t. Il, n^.aOo) au faisceau déterminé par le cercle et l'ellipse et à la droite la. Le point de contact a du cercle est un point double de Tinvolution ; le point e et le point à l'infini sur bc sont, d'autre part, deux points homologues, comme appartenant à la conique dégénérée bd. bc. 11 suit de là que le point de contact de Tellipse, qui est le deuxième point double et qui, par conséquent, doit être conjugué harmonique de a par rapport à tout couple de points homologues, est le point / symétrique de a par rapport à e.

Un axe de l'ellipse est la droite bo, car elle est évidemment le diamètre conjugué des cordes parallèles à cd, lesquelles cordes sont perpendiculaires à bo. La droite /V est, d'autre part, le diamètre conjugué des cordes parallèles à bc ; elle rencontre donc bo au centre o^ d^ l'ellipse. On en déduit le deuxième sommet // de l'axe 60, en prenant le symétrique de b par rapport à o,. (On peut remarquer que h se trouve, en vertu de cette construction même, sur la droite ce, qui est parallèle à //et lui est homolhétique, par rapport à b et dans le rapport 2.)

Pour construire le grand axe, on peut mener Oj 9 perpendiculaire et /o parallèle à boi ; si l'on observe que/cp est la polaire de 5. on voit que OiC est moven proportionnel entre o, 9 et 0,0 (').

Construction de l'intersection. — La trace de la ligne des sommets

(') On peut remari[uer aussi i|ue 6 appartient au cercle de Monge (t. II, n'^ 530) : donc, o, a = Oj 0 — Oj/y", ce qui se construit par un triangle rectangle.

32 CHAPITRE m.

sur le plan des deux bases esl le point a. Parce point, passent deux, tangentes communos: <zb et r:fa\ il en résulte que les deux cônes sont bitangents et, par suite, leur intersection se décompose en deux coniques (n° 35). Ces deux coniques se rencontrent aux deux points de contact. L'un de ces points est h ; l'autre est le point à Tinlini sur {sa, s' a'), car la droite bf est parallèle à ca et. par suite, coïncide avec s,/. L'une des coniques passe par d et l'autre par c. Le plan de la première a pour trace horizontale bd ; c'est donc un plan de bout; sa trace verticale est la parallèle à s'a' menée par b'. Si l'on mène le plan parallèle par {s, s'), on obtient un plan de trace horizontale «m ; les directions asymptotiques de la première conique sont donc sa et sm, en projection horizontale. Il s'ensuit que cette conique est une hyperbole. On obtient ses asymptotes ep et np, en prenant les intersections de son plan avec les plans tangents le long de sa et de sni. Cherchons les points de celte hyperbole où la tangente est perpendiculaire à oy. Dans l'espace, les tangentes en ces points doivent être de bout, puisque le plan de Ihyperbole est un plan de bout. 11 en résulte que chacun de ces points doit appartenir à la fois aux contours apparents verticaux des deux cônes. Effectivement, les génératrices (^i^, s'i^') et {s/\ i'./ )i P^'" exemple, se rencontrent, car il

est facile de prouver que la droite gj passe par c. I On peut montrer, par exemple, que les rapports ~- el -j sont tous deux égaux a -■ I

Leur point de rencontre (i, i) est le seul qui nous intéresse, car l'autre appartient aux nappes supérieures des deux cônes. (Comme vérification, le point I doit se trouver sur le diamètre ywry conjugué des cordes parallèles à bd.)

Cherchons les tangentes en b et d. Pour avoir la tangente en b, prenons l'intersection du plan bb' i' avec le plan tangent (i/^c, s'b'a). A cet effet, coupons par le plan horizontal qui passe par le point de {sb, s' b') projeté horizontalement en /. . Ce plan coupe le plan tangent suivant une droite projetée horizontalement en La. parallèle à ^c. Il coupe le plan bb' \' suivant une droite de bout projetée horizontalement en ia. (En effet, le point de sb projeté en /.• a même cote que le point àcsn projeté en c, lequel a même cote que le point de ep projeté en / . ) Ces deux droites se rencontrent au point a ; donc, ab esl la tangente en b. (On peut aussi démontrer que la direction ab est conjuguée harmonique de j>b par rapport à pe, pn ou que les directions parallèles 5G ('), si, sa,sm

(') nh el.^G sonl parallèles, parce (|uc r<' sont les polaires respectives ilu |>niiit 7 et du point de renr.ontrc de bc avec jo.v.

CONES ET CYLINDRES.

forment un faisceau harmonique; or, cela résulte de ce que G est le pôle de bc par rapport au cercle.)

Le point de rencontre /■ de ba et de pq est le pôle de bd par rapport à l'hyperbole; donc, rd est la tangente en d.

Il est maintenant aisé de tracer Tare d'hyperbole bid, qui se projette verticalement suivant le segment 6'i'.

Ha.\g. — Exercices, IV. ^

Passons à la deuxième conique. Son plan a pour trace lioii/onlale hc\ il esl donc parallèle au plan langent {san , s' a' &) et, par suite, la coniqne est une parabole, de direction asymptolique {sa, s'a').

Cherchons le point à tangente horizontale. Dans l'espace, cette tangente doit être parallèle à la ligne de terre, puisque le plan de la parabole esl parallèle à celte ligne. Nous devons donc mener aux cônes les plans tangents parallèles à a:y. Il v a d'abord le plan tangent commun saa. qui donne le point à l'infini et. par conséquent, ne convient pas. Nous avons ensuite les plans tangents le long de s/u et de s^t. Ces deux génératrices se rencontrent au point cliejrché (2, 2'). (On peut vérifier, par des considérations élémentaires, que les points m et / sont bien en ligne droite avec 7. On peut vérifier aussi que le point 2 se trouve sur le diamètre conjugué ei des cordes parallèles à bc.)

En prenant le point u. symétrique de i par rapport à 2, on a le pôle de bc, qui se rappelle en a' sur s'a'. En joignant iib. iic; u' b' , 11' c', on a les tangentes en b, c, b' , c' . [On peut vérifier que bu passe par m, en coupant, par exemple, le plan tangent sb(j et le plan sécant par le plan auxiliaire sam ; on obtient, d'une part, la droite 5cr, d'autre part, une parallèle a sg ; il en résulte que la tangente en b est parallèle à ivr ; or. bm jouit précisément de cette propriété. On peut aussi se rappeler (n° 30) que les tangentes au point double b sont conjuguées harmoniques par rapport aux génératrices bs et bsi ; or, bs et 65, ont pour bissectrice la première tangente ba ; la deuxième tangente est donc la deuxième bissectrice bm.]

On a maintenant suffisamment d'éléments pour tracer l'arc de parabole {b2C, b'2'c'). toutefois, à titre d'exercice, cherchons les sommets des deux projections.

En projection hori/ontale, la tangente au sommet est perpendiculaire à sa, donc parallèle a bsA. Nous devons mener le plan langent au premier cône, par exemple, autre que sa'7, parallèle à la droite du plan sécant projetée horizontalement suivant bk. A cet efl'et, il faut mener une parallèle à cette droite par le sommet du cône et prendre sa trace horizontale. Cette trace T doit appartenir à tja ; c'est donc le point de rencontre de hsk et de g a. \Je ce point, on doit ensuite mener les tangentes à la base du cône; un premier point de contact est a: le deuxième peut être construit au moyen Ae la polaire de T; or, cette polaire passe par le pôle A de b/i ; en joignant a \, on a, en (r, le poini de contact cherché. I.a tangente en ce point rencontre br en B, qui appartient à la langenle au sommet; cette tangente esl donc la parallèle à bk menée par H ; elle rencontre stv au sommet 4 cberclié.

En projection verticale, la langenle au sommet est perpendiculaire à

CÔNES ET CVLINDRKS. 35

s'a'. La droite (cD, c'D') est une droite du plan sécant dont la projection verticale est parallèle à celte tangente. Il faut, comme précédeiunient, mener le plan langent, autre ([ue saa, parallèle à celle droite. Son point de contact avec la base est en z, sur la polaire du point de rencontre de aa avec la parallèle à cD menée par s] cette polaire est d'ailleurs obtenue en joignant a au pôle E de la parallèle précédente, lequel pôle est à Fintersection du diamètre perpendiculaire à cD et de la polaire de s, qui est la perpendiculaire à os menée par A. Nous construisons ensuite l'interseclion de {sz, s' z') avec le plan sécant, au moyen, par exemple, du plan auxiliaire sgFz. Nous obtenons ainsi le point (5, 5') ; 5' est le sommet de la projection verticale.

Ponctuation. — En projection horizontale, tout <•>• \u. Les deux cônes n'ont pas de contours apparents. On doit enlever il.- i Uaque base la portion intérieure à l'autre.

En projection verticale, le segment l' d' est \u, car il est vu à la fois sur les deux cônes. L'arc b' l' v' est caché, car il est caché sur le premier cône. Les segments de contours apparents l'y' et i'3' sont enlevés, parce (jue chacun d'eux est intérieur au solide limité par le cône dont il ne fait pas partie. Les portions restantes de contours apparents sont toutes vues, à l'exception de 'i' g' , qui est caché par le premier cône.

9. Un cylindre a pour base V hyperbole équilatère (H, H'). Ses génératrices sont de front et inclinées à 45° sur la iigne de terre. Un cône a pour base un cercle tangent aux deux axes de F hyperbole ajix points a et g. Son sommet {s, s') se projette horizontalement au centre de V hyperbole et a une cote au-dessus de II' égale au demi-axe transverse sa. Représenter la surface du cylindre^ supposée opaque et entaillée par le cône {fig. li).

Les deux surfaces ont une génératrice commune {sa, s'a'). Le reste de leur intersection est donc une cubique gauche (n° 35),

Asymptotes. — Nous avons un premier point à l'infini, qui est le sommet du cylindre (ii° 35). La tangente en ce point est la génératrice (A, A'), autre que {sa, s'a'), suivant laquelle le cylindre est coupé par le pJan langent au cône le long de {sa, s' a').

Pour avoir les deux autres points à l'infini, nous menons par le sommet du cône des plans parallèles aux plans asymptotes du cylindre. Leurs traces horizontales sont les droites ae el ag. Elles coupent la base du cône aux points e et ^ et les points cherchés sont les points à l'infini sur les génératrices se et sg. L'asymptote parallèle à se est l'intersection du

36 CIIAPITIIK III.

plan langent sef avec le plan asymptote de trace se. Les traces horizontales ef et se de ces deux plans se rencontrent au point (/. /'). En menant par ce point la parallèle à la génératrice {se, s'e'), on obtient l'asymptote (B, IV).

Le plan langent au cône le long de sg esl de profil ; il coupe le plan as^'mptole sd suivant la troisième asymptote (C, C) de la cubique.

Point courant. — Les traces horizontales des plans auxiliaires passent par le point fixe a. Soit ar l'une d'elles. Elle rencontre les deux bases aux points /• et u. Les génératrices issues de ces points se coupent au point (8, 8'), qui est un point quelconque de la cubique.

Pour avoir la tangente eli ce point, nous prenons rinterseclion des plans tangents. Les traces horizontales de ces deux plans se rencontrent au point (^, l'). qu'il suflil de joindre à (8, 8').

Points remarquables. — Les points sur les contours apparents sont tous à l'infiiii. à l'exception du sommet du cône, qui appartient au conloiii- apparent vertical du cylindre. Pour avoir la tangente en ce point nous prenons Tinterseclion du cône avec le plan tangent au cylindre le long de (5*7, s'a') ( n° 35). La trace horizontale ac de ce plan rencontre la base du cône au point h\ h'] est la tangente cherchée, en projection horizontale. En projection verticale, la tangente est a'']'.

En esquissant la cubique, on se rend compte qu'elle possède un point double apparent en projection horizontale, qui semble très voisin de c. La ligne des points doubles (n°8) passe d'ailleurs rigoureusement parce point. En effet, le plan diamétral conjugué des cordes verticales par rapport au cylindre a pour trace horizontale l'axe non trans\ erse de l'hyperbole ; le plan analogue pour le cône a pour trace horizontale ag . Ces deux traces se rencontrent en g. D'autre part, la génératrice {sa., s'a) esl parallèle à la fois aux deux plans diamétraux. L'intersection de ces deux plans, c'est-à-dire la ligne des points doubles esl donc la parallèle à sa menée par g, soit gc ; elle passe bien par c. On esl alors conduit à se demander si le point c n'est pas exactement le point double apparent.

Pour nous en rendre compte, coupons par le plan auxiliaire ap, p étant la Irace horizontale d'une des génératrices du cvlindre dont la projection horizontale pa>se par c. Nous obtenons, dans le cône, la génératrice su. Il s'agit de voir si cette droite passe par c. en projection horizontale. Or, en se servant de l'èqualion de l'hyperbole rapportée à ses axes, on voit aisément (|ue /)C =: as( \/2 — i). Donc, si n' désigne le point de rencontre de af> avec se, on a

n s as

CÙNES ET CYLINDRES. ^7

D'autre part, si l'on appelle li le point de rencontre de se avec le cercle, on a

Fig. li.

En comparant (i) et (2), on voit que les points n' et n" coïncident entre eux et, par suite, avec le point n.

cii\i>rntE III.

Finalement, le point c appartient à la projection horizontale de la cubique el, comme il est sur la ligne des points doubles, c'est bien le point double apparent. D'ailleurs, on vérifierait, comme précédemment, qu'il est donné également par le plan auxiliaire anv.

En projection verticale, il lui correspond les deux points 5' el ii'. Les tangentes (5 7, 5'^') et ( 12 a-, 12 'r') sont obtenues comme la langenle au point courant.

Gomme point remar(|ual)le. signalons encore le point (2, 2'). oii la tangente est horizontale. Le plan auxiliaire correspondant hini doit couper les deux bases en deux points / et m. où les tangentes sont parallèles (n° 8). En traitant la question par le calcul, on trouve que le coefficient angulaire de la droite //n doit être v\ 5 — 2 = 0,486.

Les deux bases se rencontrent au point (4, 4')- On a construit la tangente en ce point par la méthode habituelle, avec cette seule particularité qu'on a coupé par le plan auxiliaire ai/' pour obtenir le point k de la tangente. (On n'a pas reproduit la projection verticale de cette dernière, parce qu'elle est trop voisine de la courbe.)

Pour bien guider la courbe, on a encore construit les points i, 3. 6, 9, 10, II, i3.

Jonction des points. — Faisons tourner le plan auxiliaire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, en parlant du plan de front sa. Le point courant vient de l'infini sur (A, A'), passe par les positions (i, i'), (2, 2'), (3, 3') et \a à l'infini sur (B, B'), la trace du plan auxiliaire étant alors ae. On a une première branche de la cubique. Puis, le point courant part de l'infini sur l'autre extrémité de (B, B'), rencontre successivement (4, 4'), (5, 5'), (6, 6'), (7, 7'), (8, 8'), (9, 9') et va à l'infini sur (C, C), la trace du plan auxiliaire étant alors 5^. On a une deuxième branche de la cubique. Enfin, le point courant part de l'infini sur l'autre extrémité de (C, C), passe par (10, 10'). (11, 11'), (12, 12'), (i3. i3') et \a à l'infini sur (A, A'), le plan auxiliaire étant revenu à sa position primitive. On a la troisième et dernioie branche de la cubi(|iie.

I^onclmitinn. — Nous devons ponctuer la courbe sur le cvUndre.

I'>n projection hori/.onlale, la nappe qui contient <i est vue ; il en est donc dt' même de la branche 4» ^' • • • ' 9- • • •• '!"' *^ trouve sur cette iiapp»'. La deuxièiiu' nappe serait enlièremenl cachée pai* la première, si celle-ci subsistait iiilégralemenl. M;iis, les portions de pénératiices qui sont il droite de l'arc 7. . . ., <j, . , . et celles <|ui sont à gauche île I arc 7, .... 4, • . . sont enlevées, parce (|u'intérieures au cône. Il s'ensuit que

l'arc 12, II. 10. ... esl seul caché. Quant à la génératrice scf, elle est entièrement vue.

En projection verticale, les demi-nappes situées en axant du plan de front sa sont vues ; donc, il en est de même de la branche 1 1', 12', i3' et de la demi-branche -',..., 4 , .... La demi-branche 7', .... 9', ... et la branche l's'S' sont, au contraire, cachées, car elles se trouvent derrière des régions non enlevées de la surface du cylindre.

Enfin, le contour apparent vertical du cylindre subsiste intégralement.

Remarque. — Pour la ponctuation, on a supposé les plans de projection transparents.

10. On donne deux cylindres de révolution ayant pour bases respectives le cercle (A) du plan horizontal et le cercle ( B) du plan ver^

tical. Le rayon du premier est dans le rapport — = avec le rayon du

second. On développe les deux cylindres. Construire les développements de leur courbe d'intersection {/ig. i3).

Le plan de profil ab' , le plan horizontal passant par b' et le plan de front passant par a sont plans de symétrie pour les deux cylindres et, par suite, pour leur intersection. Dès lors, il suffit de construire un huitième de chaque développement et de compléter par symétrie.

Développement du cylindre (B). — Nous le développons sur le plan tangent horizontal A' 6', et nous construisons la projection horizontale du développement. La base du cylindre, que nous choisirons comme courbe de référence ( n" 37), se développe suivant une droite projetée en xy. Construisons maintenant le développement de l'arc de courbe projeté horizontalement suivant l'arc de cercle cd et verticalement suivant l'arc de cercle c' d' . Le point (c, c') donne le point i, dont labscisse 01' est égale à la longueur du quart de cercle k' c' (celte longueur a été obtenue en mesurant le ravon b' k' au double décimètre, multipliant le nombre de millimètres trouvé par —, à la règle à calcul, et

reportant le nombre de millimètres donné par ce produit en o\') et qui a même ordonnée que c. Dans l'espace, la tangente en (c, c') esl verticale, donc perpendiculaire aux génératrices de (B); dans le développement, la tangente en i est, par suite, perpendiculaire à l'i, c'est-à-dire parallèle à xy.

On peut avoir aisément le rayon de courbure en ce point. C'esl. comme on sait (n° 38), le rayon de courbure géodésique de la courbe de l'espace,

considérée comme tracée sur le cylindre (B). D'après le théorème de Meusnier (t. II, n° 335), l'axe de courbure joint les centres de courbure normale de la courbe, considérée comme tracée successivement sur les deux cylindres. Sur (A), ce centre est à l'infini dans la direction ca, car la section normale est la génératrice. Sur (1>), la section normale est un <'ercle, dont le centre est {m, ni'). L'axe de courbure est donc la parallèle à CCI menée par m. Il faut prendre son intersection a\ec le plan tangent à (B), lequel esl le plan de profil passant par c. il résulte manifestement Ai^ là que le ravon de courbure géodési(|ue cherché se déduit de ani

par la translation ac. Comme sa longueur et son sens seuls nous intéressent, il suffit, pour avoir le centre de courbure en i, de porter le vecteur I <i équipollenl à atn. Le ceicle, de centre 7 et ravon r/ i est le cercle de courbure.

Le point {d, d' ) donne le point '.), construit comme le point i . Dans l'espace, la tangente est parallèle à la ligne de terre, donc encore perpendiculaire aux génératrices de (B) ; dans le développement, la tangente en .5 est donc encore parallèle à .2:}'. Le centre de courbure normale sur (A) esta; il est sur la génératrice de (B), donc, dans le plan tangent à (B); par suite, c'est le centre de courbure géodésique sur (1»). On en déduit le centre de courbure /• au poFntj; tl'oii le cercle de courbure.

Nous avons encore construit les points 2, 3, /î, correspondant à (e, e), (/, /' ). (^, ^'), les points e', /' , g' ayant été pris respectivement au^, au milieu et aux | de l'arc c d\ de sorte que l'a', i'3' eli'^' sont égaux respectivement à 5, k et f de i'5'.

Xous avons construit la tangente au point 2, au nio\en de la sous-tangente 0.' s, qui est égale à c' n' . Nous allons voir d'ailleurs que le point 2 est un point d'inilexion.

En utilisant les cinq points construits, les cercles de courbure et la tangente d'inilexion, on peut tracer très exactement l'arc de courbe i23/|5. 1! resterait à le compléter par des symétries par rapport aux axes successifs i i'. ."^5' et ar.

Recherche des points d'inflexion. — On pourrait chercher le> points de la courbe de l'espace où le ravon de courbure géodési(|ue sur (B) esl infini. Mais, il paraît plus simple de se servir tout simplement de l'rqitalion de la liansformcc.

Prenons comme axe des .r la droite ar et comme axe des )■ la droite ao. Appelons / l'angle polaire du point e', par exemple, considéré comme un point (|uelconque, sur le cercle (/>'), le rayon origine étant h' k' . vSi W désigne la longueur de ce rayon. l'abscisse du point 2 est .cr^z \\ l. Sou ordonnée V est celle fin point c, ( )r, cette ordonnée doit être liée à

CÔNES ET CYLINDRES. 4l

l'abscisse .2;'=^R siiW de ce même point par l'équation du cercle {a), c'est-à-dire, en appelant lî le rayon de ce cercle, par

On en déduit que l'équation cherchée est

Fiff. ..i.

l'our avoir les points d'inilexion, il faut annuler la dérivée seconde de / par rapport à w. Dérivons léquation (i )

R'cos ^-, sin 777 -I- yy' = o.

Dérivons une nouvelle fois, en inlioduisant loul de suite l'hypo thèse v':^ o,