COS
Enfin, éliminons y' et y entre (3), {■>.), (i); il vient, en reprenant la
52 CHAPITRE m.
variable f.
—^ sin-2^ ::= — C05 il. ( !»' — R'-sin'-^)
ou, en posant cns2/ =3 «,
Celle équation du second degré a ses racines réelles si ou
ir<H.
Celle condition est remplie pour le développement de (B), qui nous occupe actuellement; mais, elle ne le sera pas pour le développement de (A), qui ne pourra, par suite, donner aucun point d'inflexion.
Les deux racines de (4) sont négatives; leur produit est égal à i : donc, une seule est comprise entre net — i . U est aisé de se rendre compte qu'il lui correspond un seul point sur l'arc c' d . Avec les données de l'énoncé.
o on a H'*^ - W^ et l'équation (4) devient
La racine acceptable est ( )n en lire \t -=-- r. -^ ^i t^^ 1- F '
ce qui correspond précisément au point e\ donc au |>oint 2, ainsi (|ue
nous l'avions annoncé tout à Iheure.
Développement du cylindre (A). — Nous l'avons développé sur le plan tangent de front rf.5; mais, pour la clarté de la figure, nous avons fait subir à la projection verticale de la courbe transformée une translation égale à o\' parallèlement à xy. Nous avons construit le développement de l'arc (/.c, k'c'). Le point(/>. A') donne 6'. Dans l'espace, la tangenlc en ce point est parallèle à la ligne de terre; dans le développement, elle garde celle direction. Kn raisonnant conime loul à l'heure, pour le point 5, on voit que le centre de courbure esl le point u.
Le point (c, c') donne le point «S , dont l'abscisse (vS a été évaluée en » "-,
mesurant, au moyen d'un rapporteur, l'angle au centre kac et, au moyen d'un double décimètre, le rayon ak. La tangente dans l'espace est verticale et le demeure dans le développement. Le centre de courbure géodosique sur le cvlindre (A) esl le point de rencontre de la parallèle à no menée par m avec le plan tangent en r à ( A 1 : il s'ensnil é\ idemmenl que
le rayon de courbure géodésique et, par suite, le rayon de courbure en 8 sont égaux à la distance de m à ac.
Nous avons construit le point -' . homologue de (A. /*'), l'angle kah étant égal à^- La tangente en ce point a été obtenue au moven de la
sous-tangente ~ t^= hp.
En utilisant ces trois points, la tangente et les cercles de courbure, on peut tracer très exactement l'arc de courbe G'j'S'. On Ta complété par symétrie relativement à b'%'\ il resterait à faire les symétries par rapport aux perpendiculaires à xy ayant pour abscisses, à partir de 6, le quart et la moitié de la circonférence (a).
EXERCICES PROPOSÉS
1. Un cône a pour base un cercle dans le plan horizontal. II est éclairé par un point lumineux P. Construire son ombre propre et son ombre portée sur les plans de projection.
2. Mêmes données. Construire Torabre portée par le cône sur un plan perpendiculaire à la droite PS.
3. On donne un plan P [)ar ses traces et, dans ce plan, une ellipse, de projection horizontale circulaire. Ln cvlindre a pour base cette ellipse; on donne la direction de ses génératrices. Construire ses contours apparents, ainsi que son ombre au soleil (rayons lumineux à 45"). Construire la projection horizontale d'un point du cylindre, connaissant sa projection verticale et vice versa.
'*. On donne un cône à base horizontale circulaire, une droite D et un plan P. Mener une normale au cône s'appuyanl sur D et parallèle à P. (On est ramené à mener un plan tangent perpendiculaire à P.)
5. On donne un cvlindre à base horizontale circulaire et une droite D. Mener à ce cvlindre une normale sappuvant sur D et faisant avec cette droite un angle donné. (La direction de la normale cherchée résulte de l'intersection d'un cône de révolution avec un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre.)
6. On donne un cône à base horizontale circulaire et un cylindre à base frontale circulaire. Construire leurs normales communes.
7. Un cône a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de rayon .5u et de centre (5o, loo, o). Son sommet a pour coordonnées ( — 5o, i5o, loo).
Construire les sections par les plans suivants :
4 j; -h 2 )• -f- 3 c — 320 m o ( i)vperbole) ; 6j? — 2/ + 3s — loo — 20^ ii»=o (ellipse) ; y — ::— i()or=:(i (parabole).
8. Un cône a pour base un cercle dans le plan vertical; on le coupe par le premier bissecteur. Chercher les points de l'intersection qui ont leur projection verticale sur une droite donnée.
9. Mêmes données. (Construire les points les plus hauts et les plus bas, les plus adroite elles plus à gauche des deux projections de Tintersection.
10. On donne, dans le plan horizontal, un triangle équilatéral ahc^ dont le sommet a a pour coordonnées ( o, 200, o) et dont le côté bc est parallèle à la ligne de terre et a pour éloignement 5(». Un cône de révolution a pour base le cercle circonscrit à ce triangle; son sommet S a pour cote 200. Une pyramide a pour base le triangle; son sommet se trouve sur la verticale de S et a pour cote 100. lieprésenter le solide commun.
(Les sections planes sont des paraboles. Ueniarquer la svmétrie ternaire de la projection horizontale; c/. Exercice résolu n° 1 du Chapitre II.)
1 1 . On considère des rayons lumineux à '15° et un cercle ayant son plan perpendiculaire à ces rayons et son centre sur la ligne de terre. Construire les ombres portées sur les deux plans de projection.
12. On reprend lellipse du n° 3. Un cône a pour base cette ellipse et pour sommet un point de projection horizontale donnée, mais de cote inconnue. Déterminer cette cote pour que la trace horizontale du cône soit une parabole et construire cette parabole.
13. Même question, la trace horizontale devant ('-tre une hvperbole dont les asvmplotes fassent un angle donné. De plus, on supposera que la projection horizontale du sommet se trouve au centre de la projection horizontale de l'ellipse de base ou bien n'importe oii sur cette projection.
14. On donne un cène à base horizontale circulaire et une droite !>. Mener par cette droite un plan coupant le ç\^\\\:^. sui>ant une parabole.
15. On donne un cône à base horizontale circulaire, (-onslruire un plan
CÔNES ET CYF.IXDRES. 45
cyclique non horizontal. (On peut chercher directement la section antiparallèle en faisant tourner ou rabattant le plan vertical passant par le sommet et par le centre de la base. On peut aussi couper le cône par une sphère de rayon nul ayant son centre au sommet; le plan cyclique demandé est déterminé par le sommet et par l'axe radical du cercle de base et de la trace horizontale de la sphère précédente. Enfin, on peut couper par une sphère quelconque passant par le cercle de base et chercher le plan du deuxième cercle d'iolersection, en coupant par des plans liorizontaux.)
IG. Un cône, de sommet (5o, 60, i5o), a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de centre ( — .5o, 5o, o) et de rayon 5o. Un deuxième cône, de sommet ( — 80, 3o, i5o), a pour base, dans le plan horizontal, un cercle tangent extérieurement au précédent et de centre (70, 100, o). Représenter l'ensemble des deux solides.
17. Un cylindre, dont les génératrices sont de front et inclinées à l^b"^ sur la ligne de terre (de gauche à droite, en montant), a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de rayon 60 et de centre (0,60,0). Un plan, dont la trace verticale est parallèle aux génératrices précédentes et coupe la ligne de terre au point d'abscisse — 90, est tangent au cylindre cidessus. Un second cylindre, à génératrices horizontales, est tangent au plan précédent et au plan horizontal; sa base dans le plan verlical est un cercle dont le centre a pour abscisse 60. Représenter le second cylindre entaillé par le premier et limité à un plan de front d'éloignenient I40.
18. Un triangle rectangle isoscèle a son hypoténuse verticale et égale à 120. L'extrémité inférieure de celte hypoténuse a pour coordonnées ( — ri, 60, o). Ce triangle, en tournant autour de son hypoténuse, engendre un double cône. Un cylindre, dont les génératrices font, avec jy, 60" dans les deux projections, en montant de gauche à droite, a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de 4-^ ^^^ rayon et de centre ( — .jo, 160,0). Représenter le double cône entaillé par le cylindre.
19. Un cône a pour sommet le point ( — 80, 160, .>.5) et pour base, dans le plan vertical, un cercle de centre ( — 17, o, 90) et de -9. de rayon. Un cylindre a ses génératrices de front et inclinées à qo" sur la ligne de terre, en montant de gauche à droite. Sa base est un cercle du plan horizontal, de rayon 55 et de centre ( — 75,80,0). Représenter le solide commun.
20. Un cylindre a ses génératrices de front et à 45° sur a^f (en montant de gauche à droite). Sa base dans le plan horizontal est un cercle
^6 CHAPITRE Ml.
de centre ( — loo, 60. o) et de rayon Go. Un c<>ne a pour sommet le point ( — 5o, i5o, 100). Sa base dans le plan vertical est un cercle passant par la projection verticale du sommet elayantpour cenlrele point (3o, o, i5o). Représenter le cône entaillé par le cylindre. On déterminera, en particulier, la ligne des points doubles apparents dans chaque projection, ainsi que les points les plus hauts et les plus bas de la projection horizontale.
21. On donne deux cercles dans le plan horizontal, ayant pour rayons respectifs 60 et 40 et pour centres les points ( — 60. 60, o) et (.")o, 80, o). Le premier est la base d'un cône de sommet (5o, 120, 70) et le second est la base d'un autre cône de sommet ( — 60, 120, 160). Représenter l'ensemble des deux solides. On déterminera, en particulier, les tangentes au point double.
22. Un cône a pour sommet le point S( 10. 100, 200). Sa base dans le plan horizontal est un cercle de rayon jo et dont le point le plus à droite est la projection horizontale de S. Un autre cercle, tangent extérieurement en ce point au premier, a pour rayon 35. Un cylindre admet ce cercle pour base; ses génératrices sont parallèles à la droite qui joint S 1 au centre de similitude externe des deux cercles. Représenter le solide ■ commun. (On remarquera que l'intersection se décompose eu deux coniques.)
23. On donne dans le plan horizontal deux cercles C et Ci, tangents extérieurement en un point de coordonnées ( — 25, ^5, o); la ligne des centres est parallèle à la ligne de terre ; les rayons du cercle de gauche et du cercle de droite sont respectivement 5o et 76. I n cône a pour base le cercle C (de gauche) et pour sommet un point S projeté horizontalement au point le plus en avant de Ci et de cote 210. Un deuxième cône a pour base Cl et pour sommet un point projeté horizontalement au point de contact des deux cercles et de cote 140. Représenter l'ensemble des deux solides.
2ï. Un cercle de rayon 35 est tangent en o à .ry, dans le plan hori- 1 zontal. Un cône a pour base ce cercle et pour sommet le point (o. o, 90). In deuxième cône a pour sommet (35, o, 180) et pour base un cercle double du précédent, langent à jc y au point d'abscisse — 35 et situé dans le plan horizontal. Solide commun. (On cherchera, en pailiculier, la tangente au point de rebroussement et les asymptotes.)
25. I>eu\ cercles, de même rayon 5i) et tangents extérieurement, sont tracés dan-< le plan vertical, tangentiellement à la ligne de terre; leur
CÔNES ET CVLINDRBS. 47
point de contact a pour abscisse — 25. Deux cônes ont pour bases ces deux cercles ; le sommet de chacun d'eux se projette verticalement au centre de la base de Tautre; le sommet le plus à gauche a pour éloignement 9.^0 et l'autre a pour éloignement iio. Ensemble des deux solides. (On cherchera les asymptotes des branches virtuelles de la projection horizontale, en portant les deux cônes au même sommet et remarquant que le plan vertical est déjà un plan de sections homothétiques. On cherchera aussi les tangentes aux points d'ai'rêtde la projection horizontale, au moyen du théorème de Meusnier.)
26. Uu cône a pour base, dans le plan horizontal, un cercle C, de 70 de ravon et de centre ( — 70, 70, o) ; son sommet est le point (o, 210, i4o)- Un cylindre a pour base, dans le plan vertical, un cercle égal et tangent au précédent; ses génératrices ont pour paramètres directeurs (i, i, i). Représenter le cvlindre entaillé par le c<')ne,
27. On donne dans le plan hoiizontal deux cercles C et Ci. de ravon commun 4o et de centres respectifs ( — 20, 100, o) et {9.0, 60, 0). Un cône a pour base G et pour sommet (— 20, 220, 90). Un autre cône a pour base C, et pour sommet ( — 20, 140, 45). Ensemble des deux cônes.
28. Dans le plan horizontal, on donne une livperbole équilalère. de centre ( — 5<>, 100, o) et d'axe transverse parallèle à .ly et de longueur 100. Cette hyperbole sert de base à un cylindre dont les génératrices ont pour paramètres directeurs (i, — i, i ). Un cône a pour sommet le point (25, 5o, 75) et pour base le cercle concentrique et bilangent à l'hyperbole précédente. Représenter le cylindre entaillé par le cône.
29. On reprend le cylindre précédent et Ion remplace le côue par un cylindre admettant la même base et dont les génératrices ont pour direction la bissectrice de langle que fait une génératrice du premier cylindre avec le plan horizontal. Solide commun. (Le point à l'infini sur les génératrices du second cvlindre est un point double de l'intersection.)
30. Un cône a pour sommet ( — 5o, 5o, 80) et pour base un cercle du plan horizontal, de centre ( — 100, 100, o) et de rayon 3o. On lui fait subir la translation (140, — 5o, 80). Représenter le nouveau cône entaillé par l'ancien.
31. Un triangle équilatéral, de côté 100, tourne autour d'une de ses hauteurs et engendre ainsi un cône de révolution. On coupe ce cône par un plan perpendiculaire au plan du triangle mené par une hauteur
