CHAPITRE III. — CONES ET CYLINDRES
autre que l'ave du cône. Construire le développement de la section ainsi obtenue.
32. Construire le développement d'une section plane de cylindre de révolution.
33. Un cylindre de révolution, de rayon 5o, est langent au plan vertical le long d'une verticale d'abscisse — go. On le coupe par un cône de révolution admettant pour axe lagénératrice le plus en avant du cylindre, pour angle au sommet un angle droit et zéro pour cote de son sommet. Représenter le cvlindre entaillé par le cône et le développer ensuite sur le plan vertical.
3i. Lin cylindre a pour base un cercle de rayon 6o du plan horizontal, ses génératrices sont de front et inclinées à 4">° sur la ligne de terre. Construire le développement de sa base.
CHAPITHE IV.
SPHÈRK.
EXERCICES RESOLUS
1. Une lentille biconvexe est constituée par la partie commune à deux sphères (O) et (O,) orthogonales au point {a, a') le plus en arrière de la sphère (O). Représenter cette lentille, ainsi que son ombre portée sur les plans de projection, en la supposant éclairée par des rayons lumineux à -\~i° {/ig\ i')).
Intersection des deux sphères. — Celle interseclion esl un cercle projeté horizontalement suivant l'axe radical ab des contours apparents horizontaux. La projection verticale est une ellipse, dont le petit axe est a' 6'. Le grand axe esl la projection verticale du diamètre vertical du cercle, lequel est projeté horizontalement au point c, milieu de ab . On obtient ses extrémités c' et c" , en coupant parle plan de front du point c (n° 30). On peut aussi remarquer que c' c" ■= ab. Les points c' et e" sur le contour apparent vertical de (O) ont été obtenus en coupant par le plan de front oe. En projection horizontale, la lentille est représentée par le segment ab , vu en entier et parles deux arcs de contour apparent aml> et afb., dont chacun limite la portion de l'une des sphères intérieure à l'autre . En projection verticale, l'ellipse est vue en entier, car le cercle est vu sur la sphère (O,). 11 ne reste rien du contour apparent de cette dernière et il reste l'arc c' l' c" du contoui- apparent de (O).
Ombre propre. — La courbe d'ombre propre de la sphère (O) est le grand cercle dont le plan est perpendiculaire aux rayons lumineux. Il se projette suivant deuv ellipses. En projection horizontale, le grand axe esl la projection du diamètre horizontal; il esl donc perpendiculaire à la projection horizontale du rayon lumineux (o/, <>' /'); o/" est la moitié de ce grand axe.
Pour avoir le petit axe, on pourrait couper par le plan vertical ol et faire Haag. — f-.'.reirices, IV. 4
un raballement ou une rotation. On peut aussi employer la méthode classique suivante. Faisons tourner les rayons lumineux autour du diamètre vertical de la sphère, jusqu'à ce qu'ils soient de front; le rayon (o/, o'/') vient en (o/,, o'/', ). Le plan d'ombre propre est maintenant un plan de bout, dont la trace verticale o' g\ est perpendiculaire à o' l\ ; il en résulte que le petit axe de la projection horizontale est ogi. En revenant en place (^,, g\) vient en (g, g')- Le point g est un des sommets du petit axe cherché; quant à g', c'est le point le plus haut de la projection verticale.
Toutes les constructions que nous venons de faire peuvent t'tre répétées pour la projection verticale; mais, cela est inutile, à cause de la symétrie qui existe entre les deux projections (');la projection verticale est u\^e ellipse égale à la projection horizontale, inclinée symétriquement par rapport à la direction de la lif;ne de terre.
Il nous serait facile maintenent de construire par points ces deux ellipses. Mais, nous n'avons besoin que de ce qui appartient véritablement à la lentille. Dès lors, il nous faut chercher les deux points d'intersection du cercle d'ombre propre avec le plan vertical ab. Le plan du cercle étant déterminé par une horizontale et une frontale, on a, en {ih, i h'), la droite d'intersection de ce plan avec le plan ab. ÎVous rabattons maintenant celui-ci autour de l'horizontale (r/Z>, a' 6'). Notre droite se rabat en I/ilI (on a rabattu le point projeté horizontalement en c). Le cercle d'intersection des deux sphères est rabattu suivant le cercle de diamètre ab. Il rencontre le rabattement de la droite en I et II, ([ui se relèvent en ( i, i') et (2, 2).
En projection hoi'izontale, l'aïeul est seul vu ; en projection verticale, il n'y a <|ue le tout petit arc d'-î', que l'on ne peut d'ailleurs distinguer pratiquement, sur la figure, du contour apparent vertical de la sphère.
On a construit la tangente au point i, en rabattant le cercle d'ombre propre autour de son diamètre horizontal of. (Sur la ligure, on a seulement indi(|ué la construction analogue de la tangente au point 3.)
On construit, de la niT-me manière, la courbe d'ombre propre de la portion de lentille qui appailient à la deuxième sphère. On peut, toutefois, apporter fjuelques simplifications de détail, en utilisant les constructions précédentes. C'est ainsi qu'il est inutile de refaire la construction du
(') l>iin» rf;s|>;ia('. les liivons liiiniiietix sont piiriillélcs an |>reiiiit-r hisscctrur : (i«nc, le |)luit parallolf à ce plan nicm- par le ce n tic de la sphère est un plan de sy- Mn'tric pour la courbe d'oinlup propre; il est ensuite farile di" voir que deux points lioinologups dans celle syiiuHrie auraient leurs projeclions de noms cnulrnirr"* sv uii'lrifiues lune de l'autre par lappoil à la ligne de terre, si le centre de la sphère -e trouvait sur itII'' lieue.
SPHERE. 5r
petit axe, si l'on se sert de l'homothétie des deux ellipses dans chaque projection. De même, pour déterminer les points (3, 3) et (4, 4')» i' suffit de construire le point (f, r) et de remarquer que le raballemenl III il\ est parallèle à I/ill.
En projection horizontale, on voit Tare m 3 ; en projection verticale on voit tout l'arc 3'/«'4'. (On n"a pas construit la tangente en 4» parce que ce point est très voisin d'un sommet de l'ellipse. La tangente en m' est parallèle au diamètre conjugué des cordes horizontales et, par conséquent, parallèle à o' o-'. )
La distinction des régions éclairées de chaque sphère étant évidente, il n'y a aucune difficulté à mettre les hachures. Le petit triangle curviligne d'2'e" de la projection verticale est dans l'ombre; mais, il a été impossible de le couvrir de hachures, à cause de son exiguïté.
Ombre portée. — L'ombre portée sur chaque plan de projection comprend trois arcs de courbe, qui sont les traces des cylindres circonscrits aux deux sphères et du cylindre ayant pour base le cercle d'intersection. On peut dire encore que l'ombre portée sur le plan horizontal, par exemple, est la projection, faite parallèlement aux rayons lumineux, des quatre arcs de cercle projetés horizontalement en 3m4, 4^, 2/1, i3. Toutes ces projections cvlindriques sont évidemment des arcs d'ellipses.
Commençons par projeter les points i, 2, 3, 4- Autrement dit, menons une parallèle aux rayons lumineux par chacun d'eux et prenons la trace de cette parallèle sur le plan de projection le premier rencontré. Les points (i, i') et (3, 3') donnent i' et 3' sur le plan vertical; les deux autres donnent 2" et 4' sur le plan horizontal. (Le point 2" n'est pas marqué sur la figure, parce qu'il est caché. Il a été néanmoins construit au crayon, ainsi que sa tangente, afin de guider le tracé de l'arc <■" 2", dont une partie est vue.)
Les tangentes en chacun de ces points sont très faciles à obtenir. Par exemple, la tangente au point 1" est la trace verticale du plan tangent au cylindre circonscrit à la sphère (0) le long de la génératrice 1 1". Or, ce plan n'est autre que le plan tangent en ( i, i') à la sphère ; il est donc perpendiculaire au ravon (01, o'i')et sa trace verticale, c'est-à-dire la tangente cherchée, est perpendiculaire ào'i'. Ceci est la tangente à la projection cylindrique de 1/2. Mais, c'est aussi la tangente à la projection cylindrique de l'arc de cercle i3, car le plan tangent au cylindre projetant cet arc. au point (i. i'), est encore le plan tangent à la sphère (O), puisqu'il contient deux droites de ce plan, à savoir la langerfte au cercle et le rayon lumineux.
Deux autres points importants sont les j^oints de rencontre avec la
ligne de terre. On les a construits en cherchant rinterseclion de cette lisne avec chacun des cylindres circonscrits. A cet effet, on a coupé par le plan parallèle aux rayons lumineux mené par œy (n^iC). Ce plan nesl autre que le premier bissecteur. Pour construire le point c", par exemple, on a pris la liace de ce plan sur le plan d'ombre propre de (O). Cette trace a été déterminée par les points {s, s' ) et {a. li), intersections du premier bisescteur avec les horizontales du plan d'ombre propre passant par les points (o, o) et {g, g'). On a ensuite rabattu ce dernier plan aulour de l'horizontale {os, o' s'); on a pris Tintersection de la droite v«, avec le cercle de contour apparent horizontal, suivant lequel se rabat le cercle d'ombre propre. Un seul point c, correspond à l'arc utile 1/2 : la parallèle à ol menée par ce point rencontre la ligne de terre au point r" cherché. Les tangentes en ce point ont été construites comme les tangentes aux points i", 2", 3", 4". (Il a fallu, pour cela, relever le point r, ; cette construction n'est pas indiquée sur la figure.)
Le point /•" a été construit d'une manière analogue, au moyen du cylindre circonscrit à (Oi). Toutefois, on a négligé de faire le rabattement précédent et l'on s'est boi^é à prendre l'intersection de la droite n'r/' avec l'arc d'ellipse 3' m' 4 ; 'e point /•' obtenu a été ensuite projeté obli- ([uement. en r" , sur a-y. [Le point q' est le point de rencontre du premier bissecteur avec l'horizontale du point {p. p'): le point/?' a d ailleurs été obtenu en se rappelant ([ue o\ />' est parallèle à o if'.]
Les éléments que nous venons de construire suffisent pratiquement pour tracer l'ombre portée. Toutefois, il est utile de savoir déterminer les axes de chacun des arcs il'ellipse qui constiluenl celle ombre. Le -ommet ir , par exemple, est la trace \erticale du rayon lumineux passant par le point ( tr, (»■'), oii la tangente à la courbe d'ombre propre est de front. Le point u' n'a pas été marqué; car, cela eût été inutile, puisque la projection verticale du rayon lumineux jiasse par o'. Quant au point »v, il se trouve sur la ligne de rappel qui passe par le sommet opposé à ^ de la projection horizontale ('), la droite <n»- ayant, d'autre part, une direction symétrique de o' g' par rapport à la ligne de terre.
Kn prenant la trace -" du rayon lumineux (|ui p.isse par ( o, o'). on a le centre de l'ellipse considérée. On en déduit le petit axe, qui est perpendiculaire à z" tr" et a pour longueur le diamètre de la sphère (O). <.)utre le sommet n ", on a construit le sommet rn". projection oblique du point (/?i, m'). La tangente en ce point est m //i . trace du plan langent au c\lindre circonscrit . On n'a cherché aucun élément relatif au petit
( ' ) l'iiisqHC c'est la projection liorizontiile d'iiii des sommets dn petit axe d'- l;i |ii "ijrriion Ncrliralc.
arc l'S', les extrémités et les tangentes en ces points suftisant pour le tracer avec une approximation convenable.
'2. On donne une sphère et un cùne, à base horizontale circulaiie^ de sommet {s, s') sur le grand cercle de front de la sphère. Une génératrice de contour appxrent vertical est la tangente s' d' à ce grand cercle; l'autre est s' v' . Représenter la sphère entaillée par le cane, {/ig. i5).
Eléments de la projection verticale. — Le plan de front os est un plan de symétrie commun des deux suifaces, donc de leur inteiseclion.
j4i chai>ithf: iv.
Connue celle-ci est une biquadralique, sa projection verticale est une conique (n" 10). Cherchons son genre et, s'il v a lieu, ses asymptotes. A cet effet, il nous faut chercher quels sont, parmi les plans de bout, ceux qui coupent les deux surfaces suivant des sections homothétiques. Comme toutes les sections de la sphère sont des cercles, cela revient à chercher les plans cycliques du cône. Nous avons d'abord les plans horizontaux; donc, la ligne de terre est une première direction asymptotique. Pour avoir l'asymptote correspondante, nous prenons l'intersection a' des diamètres conjugués des plans horizontaux (n°10) et, par ce point, nous menons la parallèle A à la ligne de terre.
L'autre direction asymptotique est la direction d' c' antiparallèle à A par rapport à l'angle d's'i'. L'asymptote correspondante B se construit, comme la précédente, au moyen du point de rencontre b' des diamètres s' c' et o' 0' .
En définitive, la projection verticale de l'intersection est une hvperbole, dont nous possédons les asymptotes et un point, à savoir le point s'. Nous pouvons donc, dès maintenant, la construire. Un arc seulement est la projection des parties réelles de la courbe de l'espace; il est limité par les points s' et i', le reste de l'hyperbole étant constitué par des branches virtuelles ( n° 10).
Cherchons les tangentes aux points d'arrêt s' et i'. La tangente en s' est évidemment v'fl?', car cette droite est la trace du plan tangent commun en (.ç, s') aux deux surfaces. Dans l'espace, le point {s, s') est un point double, dont les tangentes sont les génératrices d'intersection du cône avec le plan tangent en {s, s') à la sphère; ces deux génératrices sont confondues avec la génératrice de contour apparent vertical {sd, s' d'). Le point [s. s') est donc un point de rebroussenient, ce qui ne se voit, bien entendu, qu'en projection horizontale.
Au point (i, i'), la tangente est de bout, car les plans tangents en ce |)oint aux deux surfaces sont de bout et distincts. \in projection horizontale, la tangente au point i est perpendiculaire à la ligne de terre. Mais, en projection verticale, il nous faut chercher la trace du plan osculateur (n" 1 ). A cet effet, nous appliquons le théorème de Meusnier ( n" G). Le centre de courbure normale de la sphère est (o, o'). (^uani à celui du cône, il se trouve d'abord sur la normale i' e" (perpendiculaire à s' \') et ensuite sur l'axe e'e" du cercle de section par le plan horizontal du point i', lequel cercle est bien langent à la droite de bout; ce centre de courbure normale est donc le point c' . Le centre de courbure de h cotirbe d'intersection est maintenant la projection de i' sur o' e'' ; par suite, la tangente en i' est perpendiculaire à o' e" .
Nous pouvons profiter de cette construction pour avoir lo centre de
Fis. i'
ici'
couibiire de la projection liorizontale au poiiil i. Il suffit d'appliquer encore une fois le théorème de Meusnier. mais au cylindre projetant horizontalement la courbe. Le centre de courbure de la section droite de ce cylindre se trouve sur l'axe de courbure de la courbe de l'espace, c'està-dire sur o' e ; il se trouve aussi sur la normale au cylindre; cest donc le point (o), o/); o) est le centre de courJMire cherché (').
Construclion d'un point quelconque. — Notre cône possède à la fois des cercles et des droites. Delà résultent deux, méthodes pour construire un point quelconque de l'intersection (n" ko).
Première méthode. — Coupons par un plan horizontal 11'; il cou|)e la sphère suivant un cercle, de rayon a'V'' et dont la projection horizontale est un cercle égal, de centre o; il coupe le cône suivant un autre cercle de centre (<, i' ) et de rayon if et projeté également en vraie grandeur sur le plan horizontal. Ces deux cercles se coupent en deux points symétriques par rapport au plan de front od\ (3,3') est l'un d'eux.
Les points (4. 4') et (5, 4') du contour apparent horizontal de la sphère ont été obtenus de cette manière.
Pour avoir la tangente en (3, 3'), -on a pris l'intersection de> plans tant^ents, en les coupant par le plan horizontal auxiliaire A, Le plan lan<^ent au cône contient la génératrice (^3, s' 3'), qui est coupée par A au point {j\J')', il contient aussi la tangente au cercle de section par H', laquelle est perpendiculaire au rayon /3; le plan horizontal A coupe le plan langent suivant une parallèle à cette tangente, projetée horizontalement en /7, perpendiculaire à /3. Le plan tangent à la sphère est perpendiculaire au rayon (o3, o'3'). La frontale (3^, 3'A') perce le plan A en (/., /.'); par le point A, nous menons ensuite une perpendiculaire kt à o3 et nous axons la projection horizontale de rinlersection du plan auxiliaire avec le plan langent à la sphère. Cette droite rencontre /t au point t, qui se rappelle en t' sur A. La tangente au point (33') est finalement (3^, 3'^').
Deuxième méthode. — Nous allons construire l'interseclion tie la génératrice {sm, s' m' ) avec la sphère. A cet elVet, nous coupons par le plan projetant horizontalement cette droite ( n° VO) et nous rabattons ce plan sur le plan hoiizontal du centre de la sphère. Le cercle d'intersection a\ec la sphère se rabat suivant un cercle de diamètre n/> et la droite suivant s^/n. Ces deux rabaltements se rencontrent au point 5,. i|ni m; nr»ns intéresse pas et au point 11, qui se rolève en {"?., 2).
( ') L;i li^nc «le lappi'l (>"•<' a t'-lé mililicic sur la liyiuc.
SPIIÈBE. 57
l^our \ariei'. construisons la tangente en ce point pai- la mélliode des normales. La normale à la sphère est (02, o'a'). La normale au cône est projetée horizontalement suivant le rayon iq du cercle de section du cône par le plan horizontal 2' q' . Pour avoir sa projection verticale, nous coupons le pian tangent par le plan de front ru. Ce plan rencontre la génératrice en {^r, r' ) et la tangente au cercle en (//, « );la projection verticale de la normale au cône est la droite 2'r' perpendiculaire à r' u' . Il faut mener maintenant la perpendiculaire au plan des deux normales. En projection horizontale, nous menons la perpendiculaire à riiorizontale ov et, en projection verticale, nous menons la perpendiculaire à la frontale 0' q\
Pour mieux guider la courbe en projection horizontale, on a conslruit un autre point, par la deuxième méthode, entre les points i et 2. En se servant du cercle de courbure au point i, on a pu tracer la courbe avec une exactitude suffisante.
Ponctuation. — Il faut ponctuer la courbe sur la sphère. En projection verticale, tout est vu. En projection horizontale. Tare 5^4 serait caché; mais, il redevient vu comme contour apparent (n" 11. II, c), la portion de sphère qui le cachait étant enlevée par le cône.
L'arc 4^5 du contour apparent horizontal de la sphère et Varc s' h' \' de son contour apparent vertical sont enlevés, parce qu'intérieurs au cône. Le segment s' i.' est seul conservé dans le contour apparent du cône; il est évidemment caché par la sphère.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Construire l'intersection dune sphère avec une droite de profil déterminée par deux de ses points.
2. Construire les pieds des normales abaissées d'un point donné sur une sphère.
3. Conslruiie les pieds des normales abaissées d'un point donné sur la section d'une sphère par un plan donné.
i. On donne un point P à l'intérieur d'une sphère. Construire les deux projections du petit cercle de la sphère ayant pour centre ce point.
3. On donne un point Psur une sphère. Construire les deu\ projections du petit cercle de la sphère qui admet P pour pôle et les deux tiers du rayon de la sphère pour rayon.
5f< CHAPITRK IV.
6. On donne deux splières de rayons respectifs loo et -o et de centres respectifs ( — 5o, loo, loo) et (60,70, 70). Représenter la grande entaillée par la petite.
7. On prend les deux sphères précédentes et l'on en ajoute une troisième, de centre (0, 5o, 5o) et de rayon .5o. Représenter le solide commun aux trois sphères.
8. On donne une sphère de centre (o, 60, 5o) et de rayon 5o et un point lumineux ( — i 10, 170, 160). Construire l'ombre propre de la sphère et son ombre portée sur les deux plans de projection. Construire les foyers de chaque ombre portée en appli(iuanl le théorème élémentaire de Dandelin.
9. On donne une sphère et une droite. (Construire l'angle des plans tangents à la sphère menés par la droite. (Le problème revient à construire la distance du centre de la sphère à la droite.)
10. Mener, par une droite donnée, un plan coupant une sphère donnée sous un angle donné. (Les plans qui coupent une sphère donnée sous un angle donné enveloppent une sphère concentrique.)
11. On donne une sphère S, une droite D et un point P. Mener, par P, une droite rencontrant D et coupant S sous un angle donné. (Les droites qui coupent S sous un angle donné sont tangentes à une sphère concentrique. )
12. Mener, par un point donné, un plan tangent à deux sphères données. (Le plan doit passer par un centre de similitude des deux sphères.) •
V.]. Construire les plans tangents communs à trois sphères données.
\ï. Construire les plans tangents communs à deux cônes de révolution de même sommet. (On se ramène à 1?.. en inscrivant des sphères.)
l'i. (Construire les normales communes à deux cônes de révolution.
16. < Ml donne un cylindre (luelconcjue à base horizontale circulaire et une droite D. Mener au cylindre une normale s'appuyant sur Del faisant avec ct'tle droite un angle donné. ((Chercher il'abord la direction de cette normale par l'irjtersection d'un cône de révolution et d'un j)lan perpendiculaire il I). )
17. Mener, p;\r \ine droite h. un plan coupant un cône de révolution donne suivant une parabole {cf. Lxercice proposé n" IV du ("hapitre 111).
18. Même queslion, la conique devant être une lij'perbole dont les asymptotes font un angle donné ou une ellipse semblable à une ellipse donnée. (Les plans coupant suivant une conique satisfaisant à la condition imposée sont parallèles aux plans tangents dun cône de révolution.)
19. On donne un cône de révolution et une droite D. Mener une normale au cône coupant D sous un angle donné.
20. Un cône de révolution a pour sommet le point (lo, i5o, i4o)' Son axe passe par le point ( — loo, 6o, 70). Enfin, l'angle au sommet est 80'. Construire l'ombre propre et les ombres portées sur les plans de projection, les ravons lumineux étant à 45°-
21. Construire Taxe d'un cylindre de révolution, connaissant une génératrice, le rayon et sachant que le cylindre est tangent au plan horizontal.
22. Construire l'axe d'un cône de révolution, connaissant deux génératrices SA et SB et sachant que le cône est tangent à un plan horizontal. (On peut construire la génératrice de contact avec le plan horizontal par l'artifice suivant. Soit C un point de cette génératrice. Portons, sur les génératrices données, les longueurs SA =: SB =: SC La droite AB rencontre le plan horizontal en un point P tel que PA.PBzirPC . On en déduit la construction du point C par l'intersection d'un cercle de centre S avec un cercle de centre P.)
23. Construire une sphère passant par trois points donnés et tangente au plan horizontal. (Le point de contact se construit par un artifice analogue au précédent.)
24. Construire une sphère passant par deux points donnés A et B et tangente aux deux plans de projection. (Le point de contact avec chaque plan de projection se trouve sur un cercle ayant pour centre la trace de AB sur ce plan.)
25. On donne un cercle C dans le plan horizontal et un cercle C dans le plan vertical. Construire une sphère orthogonale à ces deux cercles. (Le centre se trouve sur la lig-ne de terre et dans le plan radical de deux sphères quelconques passant respectivement par les deux cercles donnés.)
26. On donne une sphère, de centre (o, 90, 90) et de ra) on 90. Un cylindre a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de rayon 7.5 et de centre ( — 35, 70, 0). La génératrice issue du point de contact de la
6o ciiAPiTRi: IV. — si'Iikhi:.
base avec la ligne de terre passe par le poinl (o, 90, i35). Représenter la sphère entaillée par le cylindre.
27. Une sphère a pour rayon 32 et pour centre ( — 100, 60, joo). Un cône de révolution, de sommet ( — 35, 90, i:^5), a pour base un cercle de rayon ôo dans le plan horizontal. L'ensemble des deux solides est éclairé par des rayons lumineux de front, venant de gauche et inclinés à 45° sur .ry. Représenter les deux solides avec leurs ombres propres, l'ombre portée par la sphère sur le cône et les ombres portées sur le plan horizontal. ^
28. Un cylindre a pour base, dans le plan horizontal, un cercle de centre ( — 35, 90,0) et de rayon 5o. Ses génératrices ont p'our paramètres directeurs (i, o, i). On considère le rayon de la base qui a pour angle polaire 120° et l'extrémité a de ce rayon. Sur la génératrice issue de ce point, on prend le point de cote io5 et Ton considère une sphère tangente en ce point au cylindre et tangente au plan horizontal. Représenter le solide commun.
29. On donne une sphère de centre (0, 100, 100) et de rayon 100 et une surface de vis à filet carré (t. II, n" 610) admettant pour axe le diamètre vertical de la sphère et dont le pas est égal à 70. Une génératrice de cet hélicoïde est la demi-droite de cosinus directeurs (1, o, o) issue du point le plus bas de la sphère. Représenter la sphère entaillée par l'hélicoïde.
SLUFACES DE RÉVOLUTION.
EXERCICES RESOLUS
1. On donne, dans le plan horizontal, un cercle de rayon i2 et de centre (12, 80,0) el, dansle planvertical, un autre cercle de même rayon et de centre (18, o, 20). On considère la courbe de l'espace qui se projette suivant ces deux cercles. On la fait tourner autour de l'axe vertical qui a pour trace horizontale le point (o, 80 — i2\/3, o) {fig 16).
Construire ses contours apparents et ponctuer la courbe génératrice.
La courbe génératrice G est une biquadratique. dont la projection horizontale est l'arc de cercle dce, limité par la ligne de rappel dd tangente au cercle du plan vertical. De même, la projection verticale est l'arc de cercle c' d c" .
La trace horizontale o de l'axe se trouve sur la tangente en b au cercle du plan horizontal et 1 on a
60 = 1 2 \ 3 ^= ab\' o .
Il en résulte que l'angle oaù est égal à 60°; coiiime lepoint /■ est. daprès les données numériques, au milieu de ab, oa passe par d.
Commençons par construire les points remarquables de la méridienne principale.
Les points les plus hauts et les plus bas sont donnés par les parallèles des points (/, /'), (/', /"), {g, /'), (g, J"). Les traces de ces parallèles sur le plan de front F de l'axe sont respectivement les points ( 5;, 5'), (5, 9 ), (3, 3'), (3, II') et, bien entendu, leurs svmétriques par rapport à o' z' . Cherchons les tangentes et les rayons de courbure en ces difTérenls points.
La tangente en (/*, /') à G coïncide avec la tangente au parallèle qui passe par ce point. On se trouve donc dans le cas d'exception de la détermination du plan tangent (t. II, n" 363). Pour trouver ce plan, appli-
quons le ihéorème de Meusnier à la courbe G. Le centre de courbure normale de la courbe considérée comme tracée sur le cylindre C qui la projette horizontalement est le centre {a, a') de la section droite de ce cylindre. Si Ton considère maintenant la courbe comme tracée sur le cylindre C qui la projette verticalement, son rayon de courbure normale est donné par la formule dl^uler (l, 11, n° 339). La tangente à la section droite du cylindre est parallèle à la ligne de terre; elle fait un angle de 3o° avec la tangente à G; on a donc
I cos'^ 3o" 3 I
pi 12 /| X 12 i6
Dès lors, le centre de courbure normale se projette verticalement en p' , à iG""» au-dessous de /'. L'axe de courbure de G, qui passe par les deux centres précédents, a pour projection verticale a' />'. 11 rencontre l'axe de révolution au point ii\ qui est le centre de courbure normale de G sur la surface, puisque G est tangente au parallèle (t. II, n° 363). Il suit de là que la normale en 5' à la méridienne principale est 5'«'; en menant une perpendiculaire, on a la tangente 5' t'.
Lé point 5' est à la fois le point le plus haut et le plus à droite de la méridienne principale; il en résulte que c'est nécessairement un point de rehroi/ssement et le parallèle qu'il engendre est un parallèle de rebroussement (*).
La tangente en 9' se déduit de la précédente par symétrie, car le plan horizontal passant par le centre /«' du cercle vertical est un plan de symétrie pour G, donc pour la surface.
La tangente à G au point (^, /') est une horizontale projetée horizontalement en s^o; elle ne coïncide pas avec la tangente au parallèle; donc, le plan tangent en ce point est horiconlal. Il en résulte ([ue la tangente en 3' est parallèle à xy. Cherchons le centre de courbure.
A cel eflet, nous allor;s chercher le rayon de courbure normale correspondant à la tangente ^'O. Ce rayon est le même que le rayon de courbure normale de la courbe G considérée comme tracée sur le cylindre C. Comme le plan de front ah est un plan de symétrie à la fois pour la courbe et pour ce cylindre, ce rayon de courbure est le même qu'au
C) Tous les [loiiits (If rc parallclf suiil iloiic des points siii;;iilicis de la surface de révoliiiioii. On peut alors ohjecler (|iic le llicurèinc de Meusnier ne leur est plus applii-.abic <t mellre ru doute la eonstruction préeédcnte de la tangente. En réalili'. on peut admettre la validité de relte ronsirurlion, en reniar(|nant qu'elle rsl valable [tOHT un point infiniment voisin.
Fi g. .6.
poinl symétrique i/,J'), soil J'p'. Le centre de courbure u' de la
méridienne principale au point 3' a donc même cote que le point p' .
Un a tracé une partie du cercle de courbure et Ion a fait de même pour
le point symétrique i i .
11 y a, sur G, deux autres points à tangente horizontale: ce sont les
points (c. c') et ( c, c"), où la tangente est de bout, d'ailleurs distincte de
la tangente au parallèle. Le plan tangent en chacun d'eux est horizontal;
donc, les tangentes aux points 4' et lo' de la méridienne sont parallèles
à ./•>•. Cherchons le centre de courbure du point 4 • Le rayon de courbure
est le deuxième rayon de courbure principale. Le premier est infini,
car la normale en ce point est paiallèle à Taxe et, par conséquent, le
rencontre à l'infini. Dès lors, si U désigne le rayon cherché et si r désigne
le rayon de courbure normale de G, on a. en vertu de la formule d'Euler
et en observant que les tangentes à G et à la méridienne font entre elles
/^ /\ un angle x = cas ^ coh, dont la tangente est -^^j
I cos- y. 3
donc, H = — • Reste à trou\er r. Sur C, le centre decouibure normale
de ("r est (<7, h'); sur G', il est à l'infini sur la normale cm'; Taxe de courbure de G est donc la parallèle à c' m' menée par //'; il rencontre la normale à la surface de révolution en un point symétrique de c' par rapport à c'. Donc, r z=z c' c". l-"inalement, le rayon de courbure de là méridienne au point 4' est égal aux| de c' c" et dirigé vers le haut. On a tracé la partie utile du cercle de courbure et Ton a fait de même pour 10'. Cherchons maintenant les points les plus à droite et les plus à gauche de la méridienne principale. Les parallèlesmaximaelminimasont engendrés par les points (/, y"), (/,./")» l/f, (^')-: (^, ^')- Les deux premiers redonnent les points 5' et 9'. Les deux autres donnent respectivement i' et S , En chacun des points {d, cl) et (<?, e), la tangente à G est verticale; il en est de même des tangentes à la méridienne. Le ravon de courbure normale pour C est infini, puisque c'est le rayon de courbuie de la génératrice. Comme la surface de révolution est tangente en [(i,d') à ce cylindre et, par suite, admet la même normale, elle admet aussi la même courbure normale; il résulte de là (|ue la méridienne principale a un ravon de courbure inlinl au point 1' (').
{' ) r.iiiiinie ce point n'c^t pas à visil)lr iiillexioii, le coiilacl île \,\ courlu' ;ivcc sa laii^eiiti- est au moins du Iroisiènie ordre ((. il, n* 21'.)). Il x'rail facile, au iiio>i-n
il.- I.i l'.i'iiiiil'' ({'KuliT, (lr i.ilriiliM- le rayon de coui-liurr au pniui S'.
SURFACES DE REVOLUTION
Pour bien préciser la courbe, on a encore construit les points 2', 6' et 7', fournis respectivement par {Ii, h'), (;, h') et (y, ./')•
Jonction des points. — Partons d'un point ([uelconque de G. Suivons cette courbe et, chaque fois que nous rencontrons un point ayant donné un point de la méridienne principale, numérotons celui-ci. Observons d'ailleurs que, pour suivre la courbe G, il faut appliquer la mélliode indiquée au n° 31 pour la jonction des points dans une intersection de cylindres, les deux, cylindres étant ici C et G'.
Partons, par exemple, du point {d, d'), qui donne (i, i'). Le sens de parcours en projection horizontale est imposé par le plan limite; en projection verticale, choisissons le sens des aiguilles d'une montre. JNous rencontrons (/i, //'), d'où (2, 2'); (^, /'), d'où (3, 3'); (c, c'), d'où (4, 4'). Nous rebroussons alors chemin en projection verticale et nous rencontrons (/,/), d'où (5, .V); {i, II'), d'où (6, 6'); (y,/), d'où (7, 7'); (e, e'), d'où (4, 8'). Nous rebroussons chemin en projection horizontale et nous rencontrons (/,/"), d'où (5.9'); {c, c")., d'où (4, 10'). Nous rebroussons chemin en projection verticale et nous rencontrons {g, f"), d'où (3, II'); (A, //'), d'où, (2, 12'); nous retombons enfin sur notre point de départ {d, d'), donc sur (i, i'). Il ne reste plus qu'à joindre les points dans l'ordre des numéros.
Ponctuation. — En projection horizontale, la nappe engendrée par l'arc de méridienne i' 2' 3' 4' 5' est seule vue. Les parallèles de contour apparent engendrés par ( 1 , 1') et (5, 5') sont donc vus, tandis que le parallèle engendré j)ar (4, 8') est caché. Quant à la courbe G, elle n'a, sur la nappe ci-dessus, que l'arc {dhcf, d' h'c'f'), puisque c'est cet arc qui donne naissance à l'arc i'2'3'4'5' de la méridienne. On en conclut que l'arc d/if doil être tracé en trait plein et Vaicfe en pointillé.
En projection verticale, la seule nappe vue est engendrée par S'S'g'. Cet arc et son symétrique sont donc les seuls à tracer en trait plein. Nous avons maintenant, pour compléter le contour apparent, les parallèles engendrés par les points (5, 5'), (5, 9''), (4, 4')î (4) lo')- Les deux premiers seuls sont vus. Quant à la courbe G, elle a sur la nappe vue Vavc {fef, f'e'/''). L'arc /'e'/" de sa projection verticale est donc seul à tracer en trait plein.
2. Ombre d'un tore à axe vertical, éclairé par des rayons lumineux à 4>^° {/Îq- 17)-
Le contour apparent horizontal du tore se compose de ses deux parallèles maximum et minimum. Le contour apparent vertical se compose IIaag. — Exercices, IV. b
66 CH.U>ITBE V.
des deux cercles méridiens de fronl et des deux parallèles le plus haut el ie plus bas.
H s'agit maintenant de conslruire la cour]>e d'ombre propre, c'està-dire la courbe de contact du cylindre circonscrit dont les génératrices sont parallèles à la direction (o7, o'/'). Commençons par conslruire ses points remarquables.
Points sur les contours apparents. — Sur le contour apparent horizontal, nous avons les points (5, 5' ), (i3, i3'), (22,22'), (3o, 3o'), dont les projections horizontales sont les points de contact des tangentes aux deux cercles de contour apparent parallèles à la projection horizontale des rayons lumineux.
Sur le contour appaient vertical, nous avons les points (3, 3), (24, 24 )» (32, 32'), (li, II'), dont les projections verticales sont les points de contact des tangentes aux cercles méridiens de front parallèles à o' i . Sur les parallèles le plus iiaut et le plus bas, il n"y a évidemment pas de points d« Ja courbe, puisqu'en chaque point de ces parallèles, le plan tangent est horizontal el ne saurait être, par conséquent, parallèle à (0/, o' l').
Parallèles limites. — Ce sont ceux qui passent par les points de contact des rayons lumineux tangents à la section du tore par le plan méridien de symétrie ol. Pour avoir ces points, faisons une rotation amenant ce plan à être de front. La nouvelle direction des ravons lumineux est (o/,,o'/, ). .Nous menons des tangentes aux méridiens de fiont parallèJennenl à celle direction; les points de contact pour le cercle <i \ par exemple, soûl les extrémités c'^ el d\ du diamètre perpendiculaire à o'/,. Les parallèles passant par ces deux points sont les parallèles limites. Si 1 on fait la rotation inverse de la rotation précédente, les points {Cy^c\) et {di, d^) viennent en (i, 1 ) et (1^6.26'). On a, de même, le* ]>oints (9.9') el (iS, 18'), au ujoyen de l'autre cercle méridien ou, plus simplement, en prenant les symétriques des points précédents par rapport au centre (o, o' ) du tore, qui est évidemment un centre de svmétrie pour la courbe.
Nous avons maintenant tous les points remarquables. Comme la courbe à tracer est de forme très compliquée, il est nécessaire d'en chercher d'autres points. Nous pouvons d'aboid prendre les svmélriques des points sur le contour apparent vertical par rapport au plan méridien de svmétrie ol. Nous obleiions ainsi les points situés dans le jilan méridien de profil : (7, /), (i5, i5'), (20, 20'), (28, 28').
(.Iierchons maintenant les points situés dans le plan horizontal il'. (Construisons d'abord les points situés sur le parallèle qui passe par {s, s'). l^ cône circonscrit le long de ce parallèle a pour sommet (o, ^'). Par ce
SLIiFACES DK RÉVOLUTION. 67
point, nous menons la paralKle aux ia\ons lumineux et nous prenons la trace {a, li ) de celte droite sur M'. t>e ce point, nous menons les tangentes au parallèle considéré. Les points de contact (21, 21') et (3r, 3i 1 sont les points cherchés.
Nous avons maintenant, dans le plan 11', un second parallèle, qui passe par (/, t'). Le cône circouscrrit qui l'admet comme cercle de contact est évidemment parallèle au précédent. Donc, les génératrices de contact des plans tangents à ce cône parallèles aux rayons lumineux sont parallèles aux génératrices analogues du cône précédent. En outre, si on les oriente du sommet vers la hase, elles ont des orientations opposées sur les deux cônes. Si l'on remarque enfin que la projection horizontale commune des deux sommets est o, on déduit du point (21, 21') le point (r4, i4 ) et du point (3r, 3r') le point(4, 4').
Une symétrie par rapport au centre du tore nous donne ensuite les points (29, 29'), (6, 6'), (28, 28'), (12, 12').
Cherchons enfin les points situés dans le plan méridien MN. Par(/, /'), menons une parallèle aux ravons lumineux et une perpendiculaire à à .AI\; elles percent respectivement .MN au point (0,0') et en un point projeté horizontalement en c et ayant même cote que /'. Il faut maintenant mener aux cercles méridiens du plan M\ des tangentes parallèles à la droite joignant ces deux points, ce qui se tait au moven dune rotation amenant .M\ à être de front. Le point {0,0') ne bouge pas; »' vient en <'i, qui se rappelle en t[. sur /'/,, .\ous menons alors les diamètres des cercles méridiens de front perpendiculaires à o' v[ et nous faisons faire à leurs extrémités la rotation inverse de la précédente. Le point (fï'i,"','), par exemple, nous donne, de la sorte, le point (2,2) et Ion construit de mémo (25, 25'), (33, 33'), (10, 10' j.
Lne symétrie par rapport au plan vertical 0/ nous donne ensuite les points (16,16'). (27,27), (19,19'), (8,8').
Nous avons maintenant suffisamment de points pour tracer la courbe avec une exactitude convenable. Toutefois, nous allons encore construire, à titre d'exemple, les tangentes aux points 5'. i3', 22', 3o' de la projection verticale, en appliquant le théorème de Dupin (n° 08).
Comnaençons par le point (5, 5). La tangente en ce point est le diamètre conjugué de la direction des rayons lumineux par rapport à l'indicatrice d'Euler. Pour faire la construction, amenons le point considéré en (e, o), par une rotation, afin que le plan tangent soit de front et que les figures que nous devons y tracer se projettent verticalement en vraie grandeur. Les rayons de courbure principaux sont/' a' et/'ô'; ils sont de même sens; donc, l'indicatrice est une ellipse. Prenons comme unité de longueur /'o' ; nous avons le demi-grand axe de cette ellipse. Le demi-
68 chapitur v.
petit .ixe a pour loni;iicur \ f l>' ou, en rendant liomogène (l. II, n° 3), \J f b' .f o' . On construit cette loniiueur par une moyenne proporlionnelle, soit/'^, que nous reportons ensuite en o' h. Dans la position actuelle, la direction des rayons lumineux a pour projection verticale o'l\. Nous construisons son diamètre conjugué par rapport à l'ellipse dont les demiaxes sont o'f et o'h. Cette construction se fait au moyen du cercle principal (t. 11, n" 539). On construit le rabattement o' i^ de l\o' i, en se servant du point i àa f h. f|ui se rabat sur la droite à 45° menée par y. Puis, on abaisse la perpendiculaire f'j\ sur o'/, ; on la relève en f'jB et l'on fait enfin la rotation qui ramène la figure en place. Le point/' vient en i3', de sorte que 5i3 est précisément la tangente en i3 . la tangente en 5' lui étant parallèle.
Pour construire la tangente au point (22, 22'), nous procédons d'une manière analogue. Celte fois, les rayons de courbure principaux sont/i'o' et W h' . Ils sont de sens contraires; donc, Tindicalrice est une hyperbole. Si l'on prend k' o' pour unité de longueur et pour demi-axe transverse, la valeur absolue de l'ave non transverse est moyenne proportionnelle entre A'o' et k' b\ soil k' ni. Les asymptotes de l'hyperbole sont donc o' m et la droite symétrique par rapport à o' :■' . Construisons la droite o' q conjuguée harmonique de l\n' n par rapport à ces deux asymptotes (en portant np z=l pq parallèlement à la seconde asymptote; t. 11, n° 132); nous obtenons la direction de la tangente cherchée. Il ne reste plus maintenant qu'à faire la rotation ramenant la figure en place, au moyen du point (/•,, r'j), par exemple, qui vient en (/■, /'). Finalement, les tangentes en 22' et 3o' sont parallèles à n' r' .
Jonction des points. — Partons d'un point d'un parallèle limite, par exemple du point (i, i'). Imaginons qu'on balaie le tore d'une manière continue par un parallèle variable et numérotons les points rencontrés, en ne prenant chaque fois qu'un seul point, choisi de manière que le méridien qui le contient tourne toujours dans le même sens, par exemple dans le sens des aiguilles d'une montre en projection horizontale. Nous rencontrons ainsi successivement les points 1, 2, ..., 10, iG et le point I- se confond avec le point de départ. Nous avons donc obtenu une courbe fermée. Mais, il nous reste encore des points non numérotés, (|ui sont sur les parallèles de ravon inférieur à o' a' . Partons du point iS et procédons comme précédemment (on a tourné cette fois dans le sens inverse en projection horizontale). Nous rencontrons successivement les points 18,19, ..., 32,33 et le point 34 coïncide avec le point de départ. \ous avons maintenant épuisé tous les points et la ligne d'ombre se coujpose finalement de deux courbes fermées, situées respectivement sur la nappe extérieure et sur la nappe intérieure du tore.
Fi?.
Ponclualion. — En projection horizontale, les points vus sont ceux, qui sont au-dessus du i)lan de Téquateur, c'est-à-dire dont la projection verticale est au-dessus de f'o'. On en déduit immédiatement que les arcs vus sont i3 i 5 et 22 18 3o.
En projection verticale, les points vus sont ceux qui se trouvent à la fois sur la nappe extérieure du tore et en avant du plan méridien de front. On en conclut d'abord que la plus petite des deux courbes est cachée, puisqu'elle est sur la nappe intérieure. Quant à la grande, ceux de ses points qui sont vus ont leur projection horizontale en avant de /b/i ; ils constituent l'arc 3'4' • • • 1 1'-
Hachures. — Prenons, par exemple, le point (/, 5 ). Si on le fait tourner, en même temps que les rayons lumineux, pour l'amener en (/,, 5,), on reconnaît tout de suite qu'il est dans l'ombre, car le rayon lumineux qui passerait par ce point rencontre auparavant le tore. Toute la-réi,Mon qui comprend ce point et qui est limitée à la courbe d'ombre propre est donc dans l'ombre. Pour bien se représenter cette région, il est commode d'imaginer un demi-plan méridien variable qui balaie le tore, en partant, par exemple, du demi-plan ol. On obtient, dans chaque position, un cercle méridien, dont un arc est éclairé et l'autre dans l'ombre; ces deux arcs sont séparés par les points de rencontre du demi-plan considéré avec la courbe d'ombre propre; on les distingue aisément, en suivant simplement la projection horizontale de cette dernière courbe et se rappelant, au départ, que l'arc i /f?6 est dans l'ombre. On voit ainsi qu'en projection horizontale, il faut mettre des hachures entre i3 i 5 et le grand cercle de l'équateur et entre 22 18 3o et le petit cercle de l'équateur. .Si l'on legardait le tore par le dessous, on ne verrait, au contraire, de la lumière qu'entre 3o 26 22 et le petit cercle de l'équateur et entre 5 9 i3 et le grand cercle de l'équateur. Mais, au point de vue des hachures de la projection horizontale, cela ne nous intéresse pas.
En projection verticale, il faut mettre des hachures dans toute la région qui est au-dessous de l'arc 3'^'. . . 1 1'.
3. On considère un paraboloïde de révolulion à axe vertical. On le coupe par le plan horizontal ah' cl par le plan de front ab et l'on conserve la portion de surface qui est au-dessous du premier plan et en arrière du deu.viènie. Un disque circulaire se trouve dans le plan horizontal a' h et a pour centre le point (O, O) tel que aO=:ao. Le tout est éclairé par des rayons lumineux à 4'j"- f-es surfaces étant supposées infiniment minces et opaques, on demande de lés représenter en figurant les ombres {fig. 18).
SURFACES DE RKVOLITIOX. JM
Les régions non éclairées du paraboloïde sont limitées, d'une part, par les ombres portées par le bord parabolique et par le bord demicirculaire, d'autre part par Torabre portée par le disque circulaire. 11 n'y a pas à s'occuper de la courbe d'ombre propre, qui n'est séparatrice que pour la surface extérieure et non pour la surface intérieure (•), qui est la seule vue dans l'épure actuelle.
Ombre portée par le bord parabolique. — Elle est limitée par la courbe d'intersection du paraboloïde avec le cylindre parallèle aux. rayons lumineux et s'appuyant sur lare de parabole [aob. a'o'b').. Les deux surfaces étant du second degré et ayant une première conique commune, le reste de leur intersection est une autre conique, qui coupe la première aux deux points de contact des deux quadriques (t. II, n° 491, l\). L'un de ces deux points est le point à l'infini sur la verticale: l'autre est le point (cl, d') de la méridienne principale où la tangente est à 45°. 11 s'ensuit que la conique cherchée est une parabole à axe vertical et passant par le point {d, d'). 11 nous suffit d'en chercher un nouveau point pour que son plan soit déterminé. Construisons, par exemple, le point qui se trouve sur la génératrice du cylindre issue du point {a, a'). Nous appliquons la méthode générale du n° 6i. c'est-à-dire que nous coupons par le plan projetant verticalement cette droite. La conique de section se projette horizontalement suivant un cercle, dont le centre est la trace horizontale du diamètre conjugué du plan sécant par rapport au paraboloïde. Or, ce diamètre n'est autre que la verticale {d, d'i'). Donc, le centre du cercle est d. Comme {a, a') est déjà l'un des points d'intersection, ce cercle passe par a. Il rencontre la droite à 45° menée par a au point i, situé sur la ligne de rappel de d. Donc, le point cherché est (/, i'). Il suit de là que le plan de notre parabole est le plan de profil passant par d.
L'arc {ad, a'd') de la méridienne principale est le seul qui soit rencontré en premir lieu par les ravons lumineux, comme on le voit aisément sur la projection horizontale. Donc, l'ombre que porte cette méridienne sur l'intérieur du paraboloïde se réduit à Tare de parabole projeté suivant les deux segments de droites {di, d' i').
Ombre portée par le bord demi-circulaire. — En raisonnant comme
(') D'une manière générale, si Ton considère un fragment de surface comexe éclairé par une source lumineuse extérieure, les régions infiniment voisines de la courbe d'ombre propre, prises du côté interne de la surface, ne sont pas éclairées, car ]r rajon lumineux passant par un point d'une telle région es-t arrêté soit par le point lui-même pris du côté externe, .-^oit par un point infiniment voisin, se trouvant, par rapport au premier, du ci">lé d'où vient la lumière.
72 CIlAI'lTHli V.
tout à l'heure, on voit que cette ombre est limitée par une conique, rencontrant le cercle aux deux points de ce dernier où le plan tangent est parallèle aux rayons lumineux. On pourrait construire ces deux points par la méthode générale du cône circonscrit (n" 06). On peut aussi procéder comme il suit.
Faisons une rotation autour de l'axe du paraboloïde amenant le rayon {oe, 'j'e') à être de front, en {oci, o-'e',). Le plan diamétral conjugué des rayons lumineux est alors un plan de profil passant par le milieu ,i,''i de la corde «'/', parallèle à c'e'i. Ce plan coupe le plan horizontal a' b' suivant une droite de bout projetée verticalement au point h\. Faisons maintenant la rotation inverse; cette droite de bout devient une horizontale projetée horizontalement en /A/.. Les points / et A' sont les points cherchés. Le premier appartient seul au demi-cercle non enlevé; c'est pourcjuoi on la seul rappelé verticalement en /'.
Menons maintenant ci'/\ parallèle àa'e',. Le point {f\,f\) est, après la rotation, le point le plus bas de notre conique. La rotation inverse l'amène en {/,/')■ La projection horizontale de la conique est, dès lors, le cercle jj'k.
On peut obtenir ce cercle d'une autre manière. Observons d'abord que la conique passe par le point déjà construit (/, i'). Considérons maintenant le rayon lumineux qui passe par le point (/, /'). Comme ce point appartient à l'ombre portée par la méridienne principale, le rayon considéré perce le paraboloïde en un point de cette méridienne, dont on a immédiatement la projection horizontale en ni. Le rayon issu du point /, donnerait un point analogue, qui est évidemment symétrique de m par rapport kd. On en conclut que le cercle y/A" a son centre sur id\ comme il passe par «et /n, il est entièrement déterminé (').
L'arc ij est seul utile, car il correspond à l'arc aj\ qui seul est rencontré le premier par les rayons lumineux.
La projection verticale de cet arc (/est un arc d'ellipse i'/'. 11 ne serait pas difficile de construire deux diamètres conjugués de celte ellipse, car on connaît un point à tangente horizontale/'; on construirait l'autre de la même manière que le premier et l'on aurait le diiimèire conjugué des cordes horizontales. Quant au diamètre horizontal, sa projection horizontale est la parallèle à //, menée par u) ; sa projection verticale passe par le milieu du diamètre déterminé précédemment; on con>truirait ses extrémités en coupant par un plan horizontal. Mais, pratiquement, toutes ces constructions sont inutiles, étant donnée la petitesse de l'arc
I ') l»cs propiiilcs qui vicnmnt dilrc inisrs en évidence. i>n |)tiil con' liiio (|ue <o cercle est syni<'lri<|ue du «erclc ajlt par lupporl ày'Â.
SURFACES DE nEVOLlTION. 73
Utile i' /' . Bornons-nous simplement à clierclier les tangentes aux extrénoités de cet arc.
La tangente en i' est a' i' , car cette droite est contour apparent vertical du cylindre dont nous prenons l'intersection avec le paraboloïde.
Pour la tangente en y", appliquons la méthode des normales. La normale au paraboloïde passe par le point {o, p'), obtenu en portant la sous-norniale q'p' égale, comme on sait (t. Il, n° 5V3), au paramètre d'à de la parabole méridienne. La normale au cylindre de révolution qui projette horizontalement l'ellipse est l'horizontale (y«, /'«'). La droite {on. p'n') est une frontale du plan des normales; donc, la tangente cherchée est perpendiculaire à p' n' .
O/nbre portée par le disque circulaire. — 11 s'agit de construire l'intersection du cylindre parallèle aux rayons lumineux ayant pour base ce disque avec le paraboloïde.
Commençons par chercher les points remarquables.
Observons d'abord que le plan méridien oO est un plan de svmétrie pour chacune des deux surfaces, donc pour leur intersection. En projection horizontale oO est un axe de svmélrie. On peut aisément con<-lruire ses sommets. Il suffit, pour cela, de chercher les points de rencontre du paraboloïde avec les deux génératrices issues des points (A, A) et (B, B ). Pour la première, par exemple, la section par le plan de bout A' a' se projette horizontalement suivant le cercle de centre d et de ravon dy.; ce cercle rencontre Ao en deux points, dont un seul est utile, à savoir le point I, qui se rappelle en i'. sur A'a'. On construit de même le point (7. 7). Dans l'espace, les tangentes en ces points sont perpendiculaires au plan de symétrie. En projection horizontale, elles sont perpendiculaires à Oo; en projection verticale, elles sont horizontales.
Cherchons maintenant les points sur le contour apparent horizontal du cvlindre. Les génératrices qui constituent ce contour apparent ont même projection verticale que les génératrices précédemment considérées; donc, nous utilisons les mêmes plans auxiliaires. Le cercle jS, par exemple, rencontre la génératrice issue de D au point 4, qui se rappelle en 4'. On a le point (10, 10') par symétrie par rapport au plan méridien Oo. La tangente en 4 est D4. Pour avoir la tangente en 4', appliquons encore la méthode des normales. La normale au cvlindre est l'horizontale (4^:, 4'-^'); '^ normale au paraboloïde passe par le point z' tel que y' e' :=^ do. Une frontale du plan normal a pour projection verticale £\r'; la tangente en 4' Ini est perpendiculaire. Le point (10, 10') n'appartenant pas à la partie utile de la courbe, 00 n"a pas construit sa tangente.
ClIAPlTRli V,
Cherchons maintenant les points sur le contour apparent vertical du cylindre. Pour la génératrice issue de (F, 1*"'), par exemple, nous coupons par le plan de bout F' 9' et nous obtenons, en projection horizontale, le cercle de centre d et de rayon d(o\ ce cercle rencontre FH au seul point utile 6, qui se rappelle en 6'. La tangente en 6' est F'6'; la tangente en 6 est la tangente au cercle 96, car le plan auxiliaire F'o' est surface limite pour le cylindre; son intersection avec le paraboloïde est donc tangente à l'intersection du cylindre et du paraboloïde (n° 7).
On peut construire de même le point (11. 11').
Cherchons encore les points situés sur les génératrices issues des points 11 et G. On utilise le plan auxiliaire déjà considéré a' c' et le cercle de centre d et de rayon de donne les points 3 et 9, qui se rappellent en 3' et 9'. Il est à remarquer que ces points sont les symétriques de (11, II') et de (6, 6'); on aurait donc pu les déduire de ces derniers ou vice versa.
Nous avons encore construit les points (2, 2') et (12, 12') situés sur les génératrices issues des points I et J oii la circonférence du disque rencontre le parallèle supérieur du paraboloïde. En projection horizontale, les points 2 et 12 se trouvent sur le cercle ///. ; ils se rappellent sur les projections verticales des génératrices.
Comme exemple de construction de la tangente en un point quelconque, construisons la tangente en (2, 2'). Nous employons toujours la méthode des normales. La normale au paraboloïde rencontre l'axe en s' tel fiue r' s' =z d'o. La normale au cvlindre a une projection horizontale 2t perpendiculaire à l'horizontale Iti' du plan tangent. Pour construire sa projection verticale, nous déterminons une frontale i rir, r'n') de ce plan et nous menons 2' u' perpendiculaire à v'iv'. Il nous reste à mener maintenant, par (2, 2'), la perpendiculaire au plan des deux normales. En projection verticale, nous menons la perpendiculaire à la frontale s' t' et, en projection horizontale, nous menons la perpendiculaire à Ihorizonlale ou.
Construisons enfin un point quelconque ]>ar la méthode générale du n" Go. INous coupons par le cvlindre ayant pour base le parallèle de centre (o, AI'). La base de ce c\lindre dans le plan du disque est un cercle égal au parallèle et ayant pour centre (N, N'). Elle coupe Ja circonférence du discjne au point (K, K'), par exemple. La yénéralrice issue de ce point rencontre le parallèle en (5, 5'), d'abord construit en projection verticale.
Nous avons maintenant assez d'élémenls pour construire les deux projections de l'ombre portée par le disque. La jonction des points ne présente aucune difficulté; il suffit de suivre la circonférence du dis(|ue,
FiiT. .s
76 CHAPITHE V,
en luimérotanl les ombres portées par les points successifs A, 1, H, . . ., J, A. En projection horizontale, la courbe doit être arrêtée à ah. Les points d'arrêt se rappellent sur la méridienne principale.
Ponctuation et hachures. — Tout est vu dans les deux projections. Quant aux. hachures, il faut en mettre à Tinlérieur de Tombre portée par le disque et à l'intérieur du quadrilatère curviligne {adij. a' d' i' j').
\. Dans le plan de front ao, on donne un segment hyperbolique, limité par la corde II'G'. En tournant autour de son axe a' o' . il engendre un segment d'hyperboloïde à deu.r nappes. Un cylindre de révolution a pour axe {oÇ^, o'Q') et passe par le milieu (i, i') de la corde II'G'. Représenter le solide commun {fig. 19).
Nous allons tout de suite construire l'intersection des deux surfaces par la méthode générale du n° 66, c'est-à-dire en coupant par des sphères de centre (o, o'). Commençons, comme d'habitude, par chercher les points remarquables.
Nous avons une sphère limite, f|ui a pqnr rayon le ravon du cylindre. Elle est inscrite dans le cylindre le long du parallèle CD et coupe rhyperboloïde suivant le parallèle AB. Les projections verticales de ces deux parallèles se rencontrent en 3'. Pour avoir la projection horizontale des points correspondants, nous coupons la sphère par le plan horizontal qui passe par 3' et nous obtenons un cercle de rayon EF, qui se projette horizontalement en vraie grandeur, suivant un cercle de centre o. Ce cercle rencontre la ligne de rappel de 3' en 3 et 7, qui sont les points cherchés.
La tangente au point (3, 3'), par exemple, est la tangente au parallèle AB, d'après le théorème des surfaces limites ( n° 7). En projection verticale, c'est donc la droite AB. Pour avoir la projection horizontale, nous construisons l'inlerseclion du plan de bout AB avec le plan tangent à la sphère en (3, 3'). A cet elfel, coupons par le plan horizontal s' t' . Il coupe le plan AB suivant la droite de bout t' t. Il coupe la frontale (3.v, S'.v') du plan langent à la sphère (3',s' est perpendiculaire à o'3') au point (.ç, s') ; par ce point, nous menons st perpendiculaire à o3 et nous avons l'intersection du plan auxiliaire avec le plan langent à la sphère. Cette droite rencontre la droite de bout précédente au point / qui, joinl à 3, donne la tangente cherchée.
Les méridiennes principales se rencontrent en un seul point utile : le point (5, r»'). La tangente en 5 est perpendiculaire à la ligne de terre. La tangente en .">' s'obtient par la méthode habituelle des normales (n" 67). Les points de rencontre des norniales aux dt'ux
SURFACES DE RÉVOLITIOX. ^y
surfaces a\ec leurs a\es respectifs sont p' et 7'; la langenle en 5' est perpendiculaire k p' q' .
La droite p'cj' est Taxe de courbure de la courbe de l'espace; elle rencontre la normale au cylindre projetant horizontalement la courbe au centre de courbure 1 /•, /■') de la seclion droite de ce cylindre; de sorte que /• est le centre de courbure de la projection horizontale au point 5 (n° 67). On a tracé la partie du cercle de courbure qui avoisine 5.
Cherchons maintenant les points situés sur le parallèle H'G', f|ui limite le segment d'hyperboloïde. 11 suffit d'appliquer la méthode générale, en prenant la sphère auxiliaire qui contient ce parallèle. On obtient le parallèle IJ sur le cylindre, qui rencontre H'G' au point 1', pratiquement situé sur la lii;ne de rappel de o'. En coupant la sphère par un plan horizontal, on obtient un cercle dont on reporte le rayon l'V, de part et d'autre de o, sur la ligne de rappel de ce point. On a ainsi les projections horizontales i et 9 des points cherchés.
Construisons la tangente en (i, i'). La normale au cylindre est (i </, i u'); la normale à Ihyperboloïde est (i r, l'r'). le point c' avant été construit au moyen de la normale en II' à Ihyperbole méridienne. En projection verticale, la tangente en 1' est perpendiculaire à n'v'. Pour la projection horizontale, nous déterminons une horizontale (ctr, (>'tv') du plan normal, en coupant par le plan horizontal du point (c, c'). [On n'a pas coupé par le plan horizontal du point (r, i'), comme il a été indiqué au n° 66, parce que cela aurait donné une construction en dehors des limites de l'épure.] La tangente en i est perpendiculaire à nr. La tangente en 9 s'en déduit par symétrie par rapport à oa.
\ous avons maintenant trois points et leurs tangentes en projection verticale; comme celle-ci est une conique (n° 68), elle est plus que déterminée. Nous allons néanmoins chercher ses directions asvmptoliques et, s'il y a lieu, ses asymptotes.
Pour avoir les directions asymptotiques, circonsci i\ons à la sphère limite de tout à l'heure un cône parallèle au cône asymptote de lliyperboloïde. A cet effet, il suffit de mener au contour apparent de la sphère des tangentes //'/' et s;' ni' respectivement parallèles aux asymptotes a'c' et a' b'. Les directions asymptotiques cherchées sont les diagonales h'g' et l'm'.
Pour avoir l'asymptote parallèle à sf' h' , par exemple, nous prenons les diamètres conjugués de cette direction par rapport aux deux méridiejines principales. Pour le cylindre, nous avons l'axe. Pour l'hyperboloïde, nous avons la droite a'/', qui passe par le milieu du segment déterminé par a' b' et a'c' sur s;'h'. Ces deux droites se rencontrent en /.', Par ce
7^ cnAPiTRn V.
point, nous menons la parallèle à i:' h' et nou« avons la première asymptote. La deuxième se con>truil d'une manière analogue.
Nous pouvons maintenant construire, à la manière habituelle (n" 141), l'arc dliyperbole l'o'.
Nous pouvons ensuite en déduire les points sur les contours apparents horizontaux, qui seraient difficiles à déterminer directement.
I^es génératrices de contour apparent horizontal du cvlindre ont même projection verticale que l'axe. Celte projection ne rencontre pas l'arc d'hyperbole précédemment tracé: donc, il n'y a pas de points sur le contour apparent horizontal du cylindre.
Le contour apparent horizontal de l'hyperboloïde est une hyperbole, dont le plan, diamétral conjugué des cordes verticales, est un plan de bout, avant pour trace verticale la droite a' d' , conjuguée harmonique des cordes verticales par rapport aux asymptotes a' b' et a' r' .
Cette droite rencontre l'arc d'hyperbole i'5'au pointa', pratiquement et fortuitement situé sur la ligne de rappel de o' . Pour avoir la piojeclion horizontale des points correspondants, nous considérons le parallèle LK du cvlindre, dont la projection verticale passe par 2'. et la sphère auxiliaire qui contient ce parallèle. Nous coupons cette sphère par le plan horizontal du point 2' et il ne nous reste plus qu'à porter la longueur ,>/M, sur la ligne de rappel, de part et d'autre de o; nous obtenons ainsi les points 2 et 8.
Les tangentes en ces points sont, celles de l'hyperbole de contour apparent (n° 2). On les a construites (elles n'ont pas été reportées sur la figure) au moyen des asymptotes de cette dernière courbe. <^)uant à ces asymptotes, elles sont l'intersection du cône asymptote avec le plan de bout o' d' . La trace de ce plan sur le plan de bout II'G', pris pour plan de base du cône, est une droite de bout, de trace verticale e' . En rabattant le plan de base autour du diamètre de front, on a. ou r,, le rabattement de la trace d'une des génératrices cherchées. En portant te^=. if ^=^ e' e^ et joignant ae et at\ on a les asymptotes du contour apparent horizontal de l'hyperboloïde.
Pour préciser la forme de la courbe en projerlion horizontale, on a encore construit les points l\ et 6, en parlant de leur projection verticale commune 4 • On ^ déterminé les éloignements .t'i et .r6, en considérant la section droite du cylindre, supposée rabattue autour du diamètre de front CD. La distance NP donne les éloignements en (|uestioi).
On peut maintenant tracer ,ivic exactitude la courbe i, 2. 3, ..., R, fj. !^a jonction des points ne présente aucune difficulté, si l'on s'aide de la projection verticale.
"ig. ny.
So CHAPITRE V.
On a ensuite construit l'arc 3^8 de l'hyperbole de contour apparent horizontal, au moyen des asymptotes précédemment déterminées et du point d.
Il reste enfin à construire la section du solide commun par le plan de bout II'G'. La projection \erticale est le segment i'W. En projection horizontale, on a deux arcs d'ellipses.
Le premier if'g provient delà section du cylindre. Il a pour centre le point Q et pour petit axe RS égal au diamètre du cylindre. On a construit les tangentes iT et 9T, au moyen du cercle homographique (t. II, n° 539). On a construit également le cercle de courbure en i, au moyen
de la formule R— - (t. IL n° 532).
Le deuxième arc d'ellipse i Hg provient du parallèle de l'hyperbo-
loïde. Il a pour centre /et un grand axe égal à H'G'. On a construit le
cercle de courbure en II et l'on a constaté qu'il passait pratiquement
par I et 9. Il peut donc remplacer l'arc d'ellipse.
Ponctuation. — En projection verticale, tout est vu. On ne conserve, du contour apparent du cylindre, que le segment i' 0' .
En projection horizontale, les arcs 12, 89, 1II9. 1/9 sont cachés à la fois sur les deux solides, donc sur le solide commun. L'arc 2.58 est, au contraire, vu, parce qu'il est vu sur l'hyperboloïde. Le contour apparent du cylindre est entièrement enlevé: celui de l'hvperboloïde est limité à l'arc 2 dSi.
5. Solide commun à .deux tores à axes verticaux, ayant en commun un cercle méridien de front {Jîf(. 20).
L'intersection complète de deux tores quelconques est une courbe du seizième degré. Chacune des deux surfaces admet le cercle de l'infini comme cercle double (t. Il, n° 589); cette ligne doit donc être comptée quatre fois dans l'intersection (chaque nappe du premier tore coupe chaque nappe du deuxième tore suivant ce cercle); elle tient lieu, par consé»|uent, d'une courbe du huitième degré. Le reste de l'intersection constitue donc aussi une courbe du huitième degré. Dans le cas particulier actuel, cette courbe comprend déjà le cercle méridien commun. Comme les deux surfaces se raccordent le long de ce cercle, il doit être compté deux fois (t. Il, n° .V89), c'est-à-dire comme une courbe du quatrième degré. En définitive, il reste seulement à construire une courbe du quatrième degré. Cette courbe doit d'ailleurs se projeter hori/.ontalemenl et verticalement suivant une conique, parce que le plan des équateurs et le plan des axes en sont des plans de symétrie. Nous
Fig. 20.
IIaag. — Exercices, \\
g2 CHAPITRE V.
allons le vérifier, d'une manière élémentaire, sur la conslriiclion d'un point quelconque.
Coupons par un plan horizonlal a' h' . Nous obtenons deux parallèles sur chaque tore. M faut les associer de manière qu'ils se coupent en des points réels et n'appartenant pas au méridien commun. Une seule combinaison convient; c'est celle des cercles de rayons ka et B 6, qui donnent le point {m, m') et le point sjmétri<ine par rapport au plan des axes.
Construisons la tani,^enle en {m, m'), par la méthode des normales. Le plan des axes coupe le plan normal suivant la frontale (AB, cV/'); donc, la tangente en m' est perpendiculaire à c'f/'. Si nous coupons maintenant le plan normal par le plan horizontal c'e', nous obtenons une droite projetée horizontalement en \e; donc, la tangente en m est perpendiculaire à Ae.
Montrons maintenant que le lieu du point m' est une ellipse, de grand axe kl'. Appelons a et ^ les distances \o et Bo. Ecrivons que le point tu' a même puissance par rapport aux deux parallèles :
( a — r'ni'y-—{a -+- r'b'y^= ( b -f- r' ni' )-—(b -h r' b' i^;
d'où
Il suit de là que le lieu de m' est une ellipse, dont le cercle homographique est le cercle méridien commun aux deux tores.
En vérité, la moitié de gauche de celte ellipse convient seulement, l'autre moitié constituant une branche virtuelle, obtenue en associant les deux autres parallèles.
Cherchons mainlenanl le lieu du point m. Nous avons
m I! — 1)1 \ = \>b — Va = \'>o — Ao.
Donc, le lieu de m est une branche d'hyperbole, de foyers A et B et d'axe transverse égal ix h — a. En réalité, l'arc por/ seul convient, le reste de l'bvperbole étant constitué par des branches virtuelles.
On peut arriver au même résultat, en construisant un point quelconque en coupant par une sphère contenant le cercle niéridien commun (n°09). En projection hori/onliile, le contour apparent de celte sphère est un cercle passant par ii et ^• et ayant pour centre un point quelconque / de oo'. Cette sphère coupe le premier tore suivant un deuxième cercle méridien symétrique du premier par rapport au plan vertical \i, qui est un plan de svmélrie pour le tore et pour la sphère. Ce deuxième cercle méridien se projette horizontalement sur la droite \/. De même, la sphère coupe le deuxième lore suivant un cercle méridien projeté
SURFACES DE RÉVOLUTION. 83
sur B^. Ces deux cercles se rencontrent en deux points symétriques par rapport au plan des équateurs et projetés horizontalement en n.
]*our trouver le lieu de ce point n, considérons le cercle de centre «et de rayon io. 11 est inscrit dans le triangle «AB, puisque A«, par exemple, esl symétrique de \o par rapport à A/. On a, dès lors,
nB — /? A = y B — /i A = o I > — o A. =^ b — a,
ce qui démontre une nouvelle fois que le lieu de /i est une hyperbole.
Ponctuation. — Tout est vu dans chaque projection. Des contours apparents, il ne reste que les arcs de cercles /JCiy el purj.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Une surface de révolution a pour axe la verticale dont la trace liorizontale a pour coordonnées (o, i5o, o). La courbe génératrice est un cercle, situé dans un plan de proiil, de rayon 40 et décentre (80, 190, 5o). Construire les contours apparents de cette surface.
2. On reprend l'axe précédent; mais, la courbe génératrice est une ellipse, située dans le plan de bout qui passe par les points (120, o, o) et (o, o, 120) et dont la projection horizontale est un cercle, de rayon 5oet de centre (60, 180, o). Construire les contours apparents. Construire le point qui a pour projection horizontale (70, i4o, o) et celui qui a pour projection verticale (90, o, 5o). Construire les plans tangents en ces deux points.
3. On reprend Taxe précédent. La courbe génératrice esl une parabole, située dans un plan de front d'éloignement 80 et dont la projection verticale admet le point (o, o, 10) pour point à tangente horizontale et le point ( — 60, o, 70) pour point à tangente verticale. Construire les contours apparents, ainsi que la section par le plan : c — ,r := 70.
U. Un tore a pour axe la droite
:: — .r = ino. )■ == i3o.
Son cercle générateur a pour rayon 40 et pour centre (80, i3o, ^o). Construire ses contours apparents, ainsi que son ondjre propre, en le supposant éclairé par des i ayons lumineux parallèles à la ligne de terre et venant de droite.
5. Un tore a pour axe la verticale qui passe par le point (o, iio, o).
Son cercle générateur a pour rayon 45 et pour centre le point (60, iio, 70). Ueprésenter ce tore, en le supposant éclairé par le point ( — iod, i 10, i5o).
6. Un ellipsoïde de révolution a pour axe la droite 2 :; — X = 100, }■ = 60.
Son centre a une abscisse nulle; Taxe porté par l'axe de révolution a pour longueur 200; le rayon de ré([uateur est 5o. Représenter cet ellipsoïde, en le supposant éclairé par les ravons à ^5° habituels.
T. Même question pour un paraboloïde, admettant l'axe précédent et tangent au plan horizontal en un point d'abscisse — 5o.
8. Même question pour un hyperboloïde à deux nappes, admettant toujours le même axe, admettant le plan horizontal de cote 100 pour pian asymptote et dont l'axe transverse a pour longueur 80.
9. On reprend l'ellipsoïde du n° C. Construire ses points brillants pour un observateur à l'infini sur une verticale ou sur une droite de bout. (On appelle point brillant pour un observateur donné tout point tel que le rayon qui se réfléchit sur la surface, en admettant ce point pour point d'incidence, aille passer par l'œil de l'observateur. Si la source lumineuse et l'observateur sont à l'infini, on connaît la direction de la normale et, par conséquent, du plan tangent en un tel point.)
10. Construire la section d'un tore à axe vertical par un de ses plans bitangents de bout. Déduire de la construction d'un point quelconque une démonstration élémentaire du théorème de \ illarceau (I. 11, n° 589). Démontrer (|ue la projection horizontale de chacun des deux cercles qui constituent l'intersection admet pour foyer la trace horizontale de l'axe.
(Soit ni' la projection verticale d'un point de l'intersection. (.>n pourra calculer ses coordonnées, dans le plan sécant, en fonction du demiangle au centre correspondant à la corde déterminée, dans le cercle méridien de front, par le plan horizontal auxiliaire ayant servi à con>truire m'. Pour démontrer que la trace de l'axe est foyer, il suffit de cheicher les axes d'une des ellipses et de calculer ensuite sa dislance focale.)
11. Un tore à axe vertical admet pour rayons des cercles de l'équateur K et 3 H. Construire sa section par un plan de front d'éloignemenl H et démontrer que cette section est une lemniscate de Hernoulli (t. II,
SURFACES DIC IIEVOIATIO.V.
12. On coupe une c[uadriqiie de révolution à axe vertical par un jDlan quelconque. Construire les points de la section dont la tangente passe par un point donné, soit en projection hori/.onlale, soit en projection verticale. [On peut se ramener à une section plane de cône à base liori/onlaie circulaire, en considérant le cône qui s'appuie sur la section et qui a pour sommet un ombilic de la quadrique {cf. n" Ç>k).^
13. On donne un ellipsoïde de révolution à axe vertical. Construire un plan passant par une droite donnée et coupant cet ellipsoïde suivant une ellipse semblable à wne ellipse donnée [cf. Cliap. W , Exercice proposé n" 18).
li. Trouver une sphère passant par un cercle donné et tangente au plan horizontal (intersection d'une droite et d'un paraboloïde de révolution; cf. Cliap. IV, Exercice proposé n° 23).
15. Construire le lieu des centres des sphères passant par deux points donnés et tangentes au plan horizontal (section plane d'un paraboloïde de révolution). On peut en déduire, d'une manière élémentaire, que la projection horizontale d'une telle section est un cercle {cf. Chap. I\ , Exercice proposé n^ 2V).
16. On donne un ellipsoïde de révolution, dont Taxe est vertical et perce le plan horizontal au point (o, loo, o). Les sommets situés sur cet axe ont pour cotes o et 200. Le rayon de l'équateur est 65. On mène la tangente à la méridienne principale, dont les paramètres directeurs sont (i, o, 2) et dont le point de contact a une abscisse négative. Cette tangente est une génératrice d'un cône dont le sommet a pour cote 200 et dont la base dans le plan horizontal est un cercle avant pour centre la trace de l'axe de l'ellipsoïde. Représenter le cône enlalllé par l'ellipsoïde. (Il y a un poitit double, dont on pourra construire les tangentes. On pourra aussi construire les a'^ymploles des branches \irtuelles, en remarquant que le plan horizontal est déjà un plan de section hnmoihélique. )
17. Un paraboloïde de révolution a pour sommet et fo3er les points (o, i5o, o) et (o, i5o, 60). On en conserve seulement une calotte limitée au plan horizontal de cote 60. Dans ce plan, on décrit un cercle sur le rayon de front et de gauche du parallèle comme diamètre. Ce cercle est opaque, ainsi que la surface de la calotte. Le tout est éclairé par des rayons à 45°. Représenter l'ombre.
18. Intersection d'une quadrique de révolution à axe vertical avec un cône à base horizontale circulaire et dont le sommet est un des ombilics
86 CH.M'ITRE V.
de la quadrique. (L'inlerseclion comprend les génératrices isotropes du cône, donc une autre conique.)
19. On reprend l'ellipsoïde du n° 16. Un disque elliptique opaque est situé dans un plan vertical et a pour sommets les points ( — -5, i20, 120) et ( — 5, 190, r2o); en outre, son petit axe a pour longueur 70. Le tout est éclairé par les rayons habituels à 4">''- Représenter l'elHpsoïde avec ses ombres. (Remarquer que le cylindre limitant l'ombre portée par le disque a une base horizontale circulaire.)
20. On reprend toujours le même ellipsoïde. Un cône a pour sommet le point le plus en avant de Téquateur et pour base un cercle déduit de cet équateur par la translation (65, o, — 100). Représenter l'ellipsoïde entaillé par le cône.
21. Un paraboloïde de révolution a pour sommet et foyer les points («>, 100. i5o) et (o, 100. 120). Un cylindre a pour base, dans le plan horizontal, le cercle de centre ( — 65. i3o. o) et de rayon 80. Ses génératrices sont parallèles à la droite qui Joint le centre de la base au point (o. 100, io5). Représenter le paraboloïde entaillé par le cylindre et limité aux deux plans de projection.
22. Deux cônes de révolution ont leurs axes parallèles à la ligne de terre. Leurs sommets respectifs ont pour coordonnées ( — 80, i4o, i^o') et (o, 140, 170) et leurs angles au sommet sont respectivement égaux à 60° et 120°. On les limite par le plan de profil d'abscisse 80. Représenter le solide commun; (La projection verticale est une parabole, dont on pourra construire le sommet, en parlant de la construction de la tangente en un point quelconque et cherchant à déterminer le plan sécant auxiliaire pour que cette tangente soil horizontale, ce qui peut se faire en observant que la condition ainsi imposée fait connaître le rapport des rayons des deux parallèles.)
23. Un cône de révolution à axe vertical a pour sommet le point (.'^o, i5o, 200) el pour demi-angle au sommet \o°. Une sphère, de rayon 60. a pour centre le point ( — 90, i5o, i5o). Le tout est éclairé par des rayons lumineux de paramètre* directeurs (i, o. — i). Représenter l'ombre portée par la sphère sur le cône.
2V. Une sphère a pour rayon 80 et pour centre (o. 90, 90). Un cône de révolution a pour sommet (—80, 90, 280). Son axe passe par le point (25, 90, 90). l'ne de 5e>f génératrices est la tangente non verticale menée par son sommet au cercle de contour apparent vertical de la sphère. Représenter le cône entaillé par la sphère et limité aux deux
SURFACES DE RÉVOLITIO.V. 87
paralièles qui passent par les poinls où la deuvièrae génératrice de front du cône rencontre le contour apparent vertical de la sphère. (E. C. 1890.)
25. Une sphère a pour rayon 80 et pour centre (o, 100, 100). Vn cône de révolution contient le diamètre vertical de celte spl)ère; il est, en outre, tangent à la sphère à Textrémité du ravon dont les paramètres directeurs sont ( — i, o, i). Le tout est éclairé par les rayons habituels à 45". Représenter Tenserable des deux solides, en ne gardant du cône que la nappe iaférieure limitée à la sphère.
26. Un cône de révolution à axe vertical a pour sommet ( — 10. 100. 210) et pour trace horizontale un cercle de rayon 80. Un ellipsoïde de révolution allongé a pour axe la perpendiculaire à la génératrice de front et de gauche du cône menée par le point { — 10, 100, 80). Son centre est à une distance de ce dernier point égale à 25 et à gauche. Les longueurs des axes de Tellipse méridienne sont 220 et 120. Représenter l'ensemble des deux solides, en supprimant les parties de 1 ellipsoïde extérieures aux deux plans tangents de bout du cône. (E. C. 1896.)
27. Un paraboloïde de révolution a pour sommet et fover les points (70, 55, i5o) et (70, 55, g3). Un cône de révolution admet pour section méridienne la parallèle à la ligne de terre menée par le sommet du paraboloïde et une verticale d'abscisse — 5o. La courbe d'intersection de ces deux surfaces sert de directrice à un second cône ayant même sommet que le paraboloïde. Représenter le solide commun aux deux cônes, en lelimitant par le plan horizontal de cote 96. (E. P.. 1896.)
28. Un tore à axe vertical a un cercle générateur de rayon 60. Les tangentes communes intérieures des deux cercles méridiens de front sont rectangulaires. Le parallèle inférieur a pour cote i5 et le point le plus en arrière a pour éloignement i5. Parmi les quatre points de contact des tangentes communes précédentes, on choisit celui qui est le plus élevé et le plus à droite comme centre dune sphère tangente extérieurement au cercle méridien de gauche. Représenter le tore entaillé par la sphère.
29. Un hémisphère repose par sa base sur le plan horizontal; son rayon est 100 et son centre a pour coordonnées (o, 100, o). Un tore à axe vertical a pour centre (o, 170, 5i); les cercles de l'équateur ont pour rayons 21 et 119. Représenter l'hémisphère entaillé par le tore. (E. C 18-8. La sphère est bilangente au tore et le coupe, par conséquent, suivant deux cercles.)
88 CIIAP1TRI-: V.
30. Un tore a pour centre le point (o, 120, 120). Les paramètres directeurs de son axe sont (2. o, i). Les cercles de Téquateur ont pour rayons 4o et 120. Une sphère contient le cercle méridien de front le plus bas; son centre a pour éloignement i5o. Représenter le tore entaillé par la sphère.
31. Par le point O ( — 4o, 110, 200). on mène une verticale et une droite de paramètres directeurs (2, o. — 1). On fait tourner successivement autour de ces deux droites un cercle situé dans leur plan, de centre C(20, iio, 5o) et de rayon 40. On obtient ainsi deux tore>. Représenter le premier entaillé par le second. (La projection verticale de l'intersection est une ellipse: on peut le démontrer élénientairement, à partir de la construction du point courant, en calculant léquation par rapport à deux diamètres conjugués, dont l'un est CO et laulre parallèle à la droite joignant m' au milieu de la corde interceptée par la sphère auxiliaire sur le cercle générateur.)
32. On donne un losange ABCD, dans le plan horizontal de cote 3o. Le côté AB est dans le plan vertical ; la diagonale AC issue du sommet le plus à gauche a pour longueur 200 et la diagonale BD a pour longueur 120. Le losange, en tournant autour de AC, engendre un double cône. Le cercle qui passe par C, D et par le centre du losange engendre un tore, en tournant autour de AB. Représenter le double cône entaillé par le tore et limité au plan horizonlal. (E. P., 1878.)
33. Un tore à axe vertical a pour centre le point (o^ i35, 5o). Les parallèles maximum et minimum ont pour ravons i3o et 40. Un cône a pour sommet (o, i35, i35) et pour directrice la section du tore parle plan de profil qui passe à 85 à droite de Taxe. Représenter le tore entaillé par le cône (E. C, 1896). — (Le reste de l'intersection est sur la sphère inverse du plan de base du cône par rapport au sommet de ce cône, la puissance d'inversion étant celle qui transforme le tore en lui-même. On est donc ramené a une intersection de sphère et de tore.)
34-. Un tore à axe vertical a pour centre (o, 120, 80). Le centre de son cercle générateur décrit un cercle de ravon 80. Le rayon de son parallèle maximum est i3o. Un cône de révolution a pour sommet (80, 200, 80). Son axe est de bout et son angle au sommet est droit. Représenter le tore entaillé par le cône. (Couper par des sphères passant par le cercle méridien qui admet pour axe l'axe du cône.)
3.>. On coupe un tore à axe vertical par le cvlindre circonscrit le long d'un cercle méridien de front. Démontrer ((ue la projection hoiizonlale
SLBFACES DE lUCVOLlTlOX. î<9
de l'intersection est une paral:)ole admettant pour fover la traco horizontale o de l'axe du tore et pour sommet la projection horizontale du centre du cercle méridien. (Couper par un plan horizontal et montrer que la dislance mo est égale à la dislance de ni à la directrice.)
36. Gonslruire une droite s'appujant sur deux droites données et faisant avec elles des angles donnés. (On cherche d'abord la direction de la droite, au moyen de rintersection de deux cùnes de révolution de même sommet.)
SURFACE GAUCIIK DE RÉVOLUTION
EXERCICES RÉSOLUS
I. On donne une surface gauche de révolution^ de cenlre (o, o'), à axe vertical et dont les génératrices sont inclinées à 45° sur le plan horizontal. In cône de révolution a son sommet [s, s') sur la tangente au cercle de gorge parallèle à la ligne de terre et de plus grand éloignement. Son axe est la tangente à ce cercle au point le plus à droite. Sa base dans le plan de front F qui contient l'axe de l'hyperboloïde est un cercle A' double du cercle de gorge. En supposant que l'hyperboloïde est plein à l'intérieur du cercle de gorge, représenter le solide commun, en le limitant au plan de front qui passe par le point le plus en arrière du cercle de gorge et au plan symétrique par rapport au sommet du cône {fig ?-i).
Nous avons afTaire à deux surfaces de révolution: mais, leurs axes ne sont pas dans un même plan. Pour construire un point quelconque, nous prendrons rintersection d'une génératrice de l'Iiyperboloïde avec le cône ou, ce qui revient au même, nous couperons par un plan auxiliaire passant par le sommet du cône et par une génératrice quelconque de Tliyperboloïde (n°82).
Considérons, par exemple, la génératrice qui passe par le point (B, H') du cercle de gorge et par le point (D, D') pris sur le parallèle II, le(|uel a été déterminé au moyen du point (3, 3') d'une génératrice de front. Clierclioiis la trace du plan (.vHD, 5'B'D') sur le plan de base I' du cône. Cette trace contient d'abord la trace (E, K') de la génératrice; en outre, elle est parallèle à la fj-ontale {sG, s'G')\ sa projection verticale est donc E'K'I^' parallèle à 5'G'. l^lle rencontre le cercle A' aux deux points Iv' et L'. Les génératrices s'K' et s'L' du cône rencontrent B'D aux points 2' et 10", qui appartiennent à la projection verticale île l'intersection et (|ui se rappellent en ?/el 10, sur BD.
Construisons, par exemple, la tangente au point (10, lo"), en prenant
SURFACE GAUCHE DE REVOLUTION. f) I
rinterseclion des plans lani;enls. Pour construire celle iaterseclion, nous coupons par le plan auxiliaire F. Le plan tangent au cône est coupé suivant la tangente L' l' à la base A'. Le plan tangent à riiyperboloïde est déterminé par les génératrices (BD, H'D') et (MX, M'iN') issues du point (fo, lo"). Prenons leurs traces (E, E') et (N, M') sur F; la droite E'N' est la projection verticale de la trace du plan tangent à riivperboloïde. Elle rencontre la trace du plan langent au cône en t' , qui se rappelle en /. La tangente cherchée est la droite {iot, lo'/').
Points remarquables. — Nous avons d'abord les points sur les contours apparents horizontaux, en coupant par le plan du cercle de gorge. Xous obtenons seulenienl les points i et 4. qui se rappellent en i ' et 4'. Dans l'espace, les tangentes en ces points sont veilicales; elles se conservent en projection verticale; mais, en projection horizontale, nous nous trouvons dans le cas d'exception (n" 1) et il nous faut prendre, pour chaque point, la trace horizontale du plan osculateur. A cet effet, nous appliquons le théorème de Meusnier (n° G).
Pour le point (1, i'), le centre de courbure normale est (6, 6') relativement à l'hvperboloïde. C'est le centre de courbure de l'hyperbole méridienne en son sommet et Ton sait que le rayon de courbure en ce point est égal au demi-axe transverse (t. Il, n° 532); donc b' est symétrique de o' par rapport à i'. Le centre de courbure normale relativement au cône est le point de rencontre (c. s') de la normale avec l'axe. La droite {bc, b's') est l'axe de courbure de la courbe d'intersection. Le plan osculateur, qui lui est perpendiculaire, a donc une trace horizontale perpendiculaire à bc; telle e^t la direction de la tangente en i .
Si l'on prend l'intersection de l'axe de courbure piécédent avec la normale au cylindre projetant verticalement la courbe, on obtient le point (6, b')\ b' est le centre de courbure de la projection \erlicale en i' (n°67).
Procédons de même au point (4, 4')- Le centre de courbure normale pour riiyperboloïde est projeté horizontalement en d, symétrique de o par rapport à 4- Le centre de courbure normale pour le cône est projeté horizontalement en «, car [\a est perpendiculaire à 4 '• L'axe de courbure a pour projection ad. La tangente en 4 est perpendiculaire à cette droite et le point e' est le centre de courbure de la projection verticale en 4'.
Les points sur le contour apparent vertical de Ihyperboloïde sont à l'intersection du cercle A' avec l'hyperbole méridienne. Un calcul facile de géométrie analytique montre que l'abscisse de ces points par rapport à o' est égale au double du rayon du cercle de gorge; cela permet leur
()2 <:" VI'ITHE \ I.
construction exacte et très simple (la droite 6'6' est perpendiculaire au milieu du rayon qui aboutit au point le plus à droite de A'). Les lan- ;4entes en ces points sont celles de riivperbole méridienne; elles ont des directions symétriques de o'6' et de o'6" par rappoil à la direction des asymptotes.
Les points (3, 3), (3, 3"), (7, 7'), (7, 7 ") sont donnés par Tinlersection des génératrices issues du point (/, o') avec le cercle A' concentrique à A' et de rayon double.
Les points 8 et 12 ont été construits par l'intersection de la droite /./ avec riivperbole qui constitue la projection horizontale et dont nous allons tout à l'heure indifiuer la détermination des asymptotes. On a appliqué la construction du n° 5V1 du tome II, en se servant du point 4 comme point déjà connu. Des lignes de rappel donnent ensuite 8', 8", 12', 12", sur le cercle A".
Les points (5,5'), (5,5"), (11, 11'), (11,11") ont été obtenus en coupant par le plan de profil de (5, .s') et rabattant ensuite ce plan sur le plan du cercle de gorge, la charnière étant par conséquent l'axe du cône. Les génératrices du cône se rabattent suivant les génératrices de contour apparent horizontal sh, si. Une génératrice de l'hyperboloïde se rabat suivant la droite /«, inclinée à 45° sur as. Les points \ et XI sont les rabattements des points (5, 5') et (11, 11'), dont le relèvement est évident. L'autre génératrice de l'hyperboloïde donnerait les points symétriques (5, 5") et (i I, 1 1").
Cherchons enfin les points situés dans le plan de profil du point (i. i'). Considérons une des génératrices issues de ce point et coupons par le plan qui la contient, en même temps que (5, s'). La parallèle à cette génératrice menée par {s, s') perce le plan de front F au point (a, iv'), tel que s' iv' = sa =1 s' o' . La trace du plan auxiliaire sur F est i'«r'; elle rencontre A' au point ^'. La génératrice s' œ' rencontre la verticale de 1 au point 9", qui est la projection verticale d'un des points cherchés. La projection horizontale 9 s'obtient en portant i 9 = i'9". L'autre génératrice issue du point (1, i') donnerait le point symétri(|ue (9, 9').
Asymptotes. — Nous pouvons remplacer riiyperboloide par son cône asvmptole (n"!)). Cherchons d'abord les directions asymptotiques. en construisant l'intersection du cône proposé avec le cône de même sommet parallèle au cône asymptote de la surface gauche. A cet elVet, nous coupons les deux cônes par une sphère ayant pour centre leur sommet commun (n"()6), par exem|tle, par la sphère (|ui contient le cercle A'. ï..e rayon de cette sphère est .çi. Fn le reportant en s' m' sur une droite â 45°, puis menant l'horizontale du point m', nous avons la projection verticale d'un des parallèles suivant lesquels le second cône est coupé
par la sphère auxiliaire. Celle droite renconlre A' en n' el p' qui se rappellenl en n el p. sur F. Finalement, les àvoiles (sn. s' /i') el {sp^s'o') sont deux des directions asvmptoliques ciiercliées, les deux autres élanl syniétrif|ues des premières par rapport au plan horizontal.
Cherchons Tasymplole correspondant à la direction {sn, s' n'). C'est l'inlerseclion des plans tani;enls au cùne proposé el au cône asymptote le long des génératrices parallèles à celle direction. Pour construire celle intersection, coupons par le plan de gorge. La tanj:enle en {n, //') à la base du cùne donné perce ce plan en (y. /jr'); en joignant (sq, s^q'), on a la trace du premier plan langent sur le plan de gorge. Quant à la trace du plan langent au cône asymptote, cesl évidemment la perpendiculaire {or, o' /•') menée par (o, o') à la direction horizontale projetée en sn. Elle renconlre la première trace en (/•, /'). En menant, par ce point, une parallèle à {s/i, s' />'), nous avons l'asymptole cherchée.
On détermine de même, au moyen du point {u., ^^'), rasymptole parallèle à {sjy, s'p'). Les deux autres asymptotes sont symétriques des deux premières par rapport au plan de gorge.
Degrés des projections. — La courbe de l'espace est une biquadratique. Elle admet le plan de gorge pour plan de symétrie, puisque ce plan est plan de svmélrie pour chacune des deux surfaces. Il suit de là que la projection horizontale esl du second degré, donc une hyperbole, puisqu'elle possède deux asymploles. Quant à la projection verticale, c'est une courbe du quatrième degré, admettant os' comme axe de symétrie.
Jonction des points. — Elle ne présente aucune difficulté, en partant de la projection horizontale. A l'arc 821, correspond 3'i'3"; l'arc i 4 (non tracé sur la figure) esl virtuel; l'arc 4^67 donne 7'4'7"; enfin, à l'arc 8 9 10 u 12, correspondent les deux arcs S'g'i'.î' el 8"9"r:>".
Sections par les plans de Jront limites. — La section par le plan gli se compose de deux, génératrices pour l'hyperboloïde el du cercle A*" pour le cône. On ne doit conserver que la portion de chacune de ces sections qui esl intérieure à l'autre, à savoir les segments 3'o'- " el .^"o'j' €l les arcs de cercle 3'8'7' et 3'8"7 ". (Uemarquer que les angles situés dans la partie solide de riiyperboloïde sont Z' o' ']' el 00'']".)
La section par le plan /,/ se compose des deux arcs de cercle 8'r.i' €t 8"i'.î" pour le cône el des deux arcs d'hvperbole 8'1*' 12' el8"P"ii" pour la surface ;.'auclie. [Les sofnmels 1'' el F' ont été obtenus en construisant les projections verticales des deux points de rhvperboloïde projetés horizontalement en V ( n" 80, 1). < >n a construit aussi les
SURFACE GAUCHK DU fiÉVOLUTION. 9f>^
points R' €t R", en portant i'R'i= i'R"r=: oP. Enfin, les asv m ploies sont les mômes que pour la méridienne principale, c'esl-à-dire -'o'3" et ~"o'o'. Elles ont permis de construire les lani;entes (non reportées sur la figure) aux points 8', 8", 12', ij'.J
/Ponctuation. — En projection horizontale, iQule la courbe esl vue^ parce que la partie qui est au-dessus du plan de gorge est certainement vue sur le cône, 11 en est de même pour les projections 3 7 et 8 12 des arcs de cercles des plans limites.
On ne conserve des contours apparents que le segment i 4 ^^^ cône et l'arc 1/4 du cercle de gorge. Ce dernier esl d'ailleurs caché. (Le cercle de gorge d'une surface gauche à axe vertical n'est vu que lorsque cette surface esl creuse, contrairement à Ihypotiiêse actuelle.)
En projection verticale, les arcs S' 12', B'ia", 6'4'6" sont en avant du plan F; il sont donc vus sur l'hvperboloïde et, par suite, sur le solide commun. L'arc S'i'o" serait caché à la fois sur les deux solides, si ceux-ci étaient conservés en entier. Mais, il devient vu sur le cône quand on enlève la partie de la nappe antérieure qui esl intérieure à l'hyperboloïde. 11 en va de même pour les arcs 6'"' et 6" 7". Finalement, toute la courbe est vue en projection verticale.
Les arcs de cercle et l'hyperbole du plan /./ le sont évidemment aussi.
Dans le plan g/i, les arcs de cercle 3'8', 3" 8", 7' 12', 7" 12" sont seuls vus; les segments de génératrices 3' 7" et 3" 7' sont cachés.
On ne conserve du contour apparent de la surface gauche que l'arc 6'.s'6" de la méridienne principale, qui esl intérieur au cercle A'; il est vu. (Il serait, au contraire, caché, si l'hyperboloïde était creux.)
Une fois la ponctuation terminée, on peut se rendre compte que le solide représenté se compose de trois morceaux. Deux appartiennent à la nappe antérieure du cône et sont svmétriques l'un de l'autre par rapport au plan de gorge. Le troisième appartient à la nappe postérieure du cône,
11. Soit un cube, dont une face {abcd, a' b'c'd') est de front. IS avcie {ab, a' b') est verticale. Le sommet {a, a'), qui est le plus baSy le plus à gauche et le plus en avant, a pour coordonnées (o, 36, ^Q>). IJarHe du cube a pour longueur 20.
On fait tourner autour de {ab,-a' b') la diagonale de la deuxième face de front du cube qui se projette verticahment suiiant a'c'. On obtient ainsi un hyperboloïde IL On fait ensuite tourner autour de {bd, b'd) l'arête de cette deuxième face qui se projette verticalement suivant c' d' . On obtient un hyperboloide II'. Représenter le solide commun, en le limitant au. r plans Iiorizontaux de cotes \ et 68
96 CHAPITBE VI.
{on suppose que chaque liyperboloïde est plein dans la région qui comprend son axe) {fig. 22).
La perpendiculaire commune à Taxe et la génératrice donnée de II a pour pieds sur ces deux droites (a, a') et (e, a'). Le cercle de gorge se projette donc liorizontalemenfsuivanl le cercle de centre a et de rayonne et verticalement sur l'iiorizonlaie a' d' . La «léridienne principale est une hyperbole équilalère a3ant pour asymptotes les projections verticales a' h' et a' h" des génératrices de front. Le demi-axe transverse est a' d' .
Les deux plans horizontaux qui limitent la surface sont équidistanls du plan de gorge. En prenant la trace (/*, h') d'une des génératrices de front sur le plan inférieur, par exemple, on a un point du parallèle suivant lequel ce plan coupe H. Le parallèle du plan supérieur est symétrique du premier par rapport au plan de gorge et a, par conséquent, la même projection liorizonlale. Les traces [g, g'), {g, g"), (H, H'), (II, H ) de ces deux parallèles sur le plan de front ac donnent les points extrêmes de la méridienne principale. La tangente en g', par exemple, a été construite au moyen de la normale g' />:' , le point A' étant le point de rencontre de l'axe avec la perpendiculaire en h" à a' h" (cette perpendiculaire est la trace du plan normal à une quelconque des génératrices de front de projection verticale a' h"). On aurait pu aussi la construire en se servant des asymptotes.
La perpendiculaire commune à Taxe et à la génératrice donnée de II' a pour pieds sui- ces deux droites {d, d) et (/, d'). Le cercle de gorge se projette verticalement sur la droite d'D' perpendiculaire à d' b'. Son rayon df est égal au rayon du cercle de jiorge précédent, de sorte que les deux liyperboloïdes sont égaux. Pour faire les constructions relatives à II', il sera commode de prendre comme plan horizontal auxiliaire de projection le plan de son cercle de gorge. Si l'on prend comme plan vertical le plan de front des axes, la ligne de terre sera xy pour H et .r, )'| pour II'. Dans le deuxième système, le cercle de gorge de II' se projette horizontalement suivant le cercle de centre d' et de ravon d' a' .
\jC contour apparent vertical de H' est sa méridienne principale, c'està-dire une hyperbole équilatère admettant pour asymptotes d'c' et /l'a' et pour demi-axe Iransverse d'D'. VA\e rencontre les plans horizontaux limites aux points (L, L') et (M, M'), symétriques l'un de l'autre i)ar rapport à (d, d'). Poui- construire L', par exemple, le plus simple eût été de construire ( t. Il, n" ."iVl ) le point de rencontre de l'hyperbole méridienne, délinie par ses asymptotes et son sommet D', avec la droite a' "'• <!»• est parallèle à une des asymptotes. A titre d'exercice, nous avons indiqué une autre construction, qui consiste à chercher le point de renconlie de l'hyperboloïde avec la droite (i,'ll, g'ii), qui a déjà son point à l'inllni
SURFACE GAUCHE DE RÉVOLUTIOX. 97
en commun avec la surface. Suivant la méthode indiquée su n" 80, IV, coupons par le plan contenant celte droite et la génératrice parallèle (3"2", d'à'). Prenons la trace de ce plan sur le plan de gorge, en utilisant le deuxième système de projection. La trace de ,a''1I' a ses deux projections confondues en F, sur ^'i/i. La trace de la génératrice est le point (J,, d') du cercle de gorge. La trace du plan auxiliaire est donc (l'J,, l'd'). Elle rencontre le cercle de gorge en un point de projection horizontale K,. La génératrice issue de ce point et située dans le plan auxiliaire se projette horizontalement suivant la tangente en K, au cercle de gorge; cette tangente rencontre .r,^, en L,, qui se rappelle, en L', sur ^'11'.
Les plans horizontaux limites sont parallèles à un plan tangent au cône asymptote; ils coupent donc la surface suivant deux paraboles, d'ailleurs symétriques Tune de l'autre par rapport au centre {d, d') de la surface. En projection horizontale, ces paraboles ont pour axe commun jry et pour sommets respectifs L et M. Elles passent par les points 3 et 3', considérés comme les projections horizontales des points de rencontre des plans horizontaux limites avec les deux génératrices verticales de la surface. Cela suffit pour les déterminer. Observons, en outre, qu'elles passent respectivement par les points 4, 4 et 7, 7", qui seront construits tout à l'heure. Bien entendu, nous n'avons tracé que les arcs de ces paraboles qui sont intérieurs au cercle de diamètre ^H.
Le contour apparent horizontal de H' se réduit aux deux points 3 et 3 ', traces des génératrices verticales (n^SS).
Construction de la courbe d'intersection. — Nous avons affaire à deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent au point (6, b'). Pour construire un point quelconque de l'intersection, nous coupons donc par une sphère ayant pour centre ce point (n° 66). Appliquons la méthode à la recherche des points situés sur les parallèles extrêmes de H. Cherchons, par exemple, les points situés sur le parallèle g'W. Nous coupons par la sphère qui contient ce parallèle. Elle coupe H' suivant deux parallèles, qui passent par les points de rencontre de la sphère avec la génératrice verticale (/, d'c'). Pour construire ces points, nous coupons par le plan de front ef. Ce plan coupe H suivant deux génératrices, dont l'une rencontre la sphère auxiliaire au point (A, h ). Il coupe donc la sphère suivant un cercle passant par. ce point et dont la projection verticale est. par suite, le cercle de centre b' et de rayon b' h' . Ce cercle rencontre de' en i' (et en un autre point, qui conduirait à des points imaginaires). Le parallèle de H' qui passe par ce point est projeté verticalement suivant la perpendiculaire à b d\ laquelle rencontre i?'H' en 7'. Haag. — Exercices, IV. 7
9^ eu \ PITRE VI.
rappelé liorizontalement en ^ ou -'. Les points (-, j') el (-', 7') sont les deux points cherchés.
Construisons la tangente en (7, 7'), par la mélliode des normales. La normale à il rencontre l'axe en k' précédemment déterminé. Pour aroir la normale à H', considérons le point i' du même parallèle qui se trouve sur la génératrice verticale donnée. Le plan normal à cette génératrice est un plan horizontal, qui rencontre l'axe h'd' âu point l'. La droite kl' est la projection verticale dune droite de front du plan normal; la tangente en 7' est donc perpendiculaire à cette droite. La frontale ci-dessus rencontre le plan horizontal g'iV en m', rappelé en m. sur ff\l. La droite -/n est la projection horizontale d'une horizontale du plan normal. La tangente en 7 est donc perpendiculaire à cette droite.
On a opéré de même pour construire les points (4, 4 ) et (4'. 4) et la tangente en l'un d'eux.
La splière limite est celle qui est tangente en (/. c') à la génératrice \erlicale (/. cl' c'). Elle a pour rayon />/= h' d' . Il s'ensuit qu'elle contient le cercle de gorge de 11. Ce cercle rencontre le parallèle c'a' de 11' aux points (2, 2') et (2", 2'). En chacun d'eux, la courbe est tangente au cercle de gorge de II, d'après le théorème des surfaces limites (n" 7). (En projection horizontale, on peut aussi remarquer que les points appartiennent au contour apparent horizontal de H.)
Le cylindre projetant horizontalement la courbe et Ihvperboloïde II sont tangents en (2. ■?.'): donc, en ce point, le centre de courbure normale est le même pour les deux surfaces. Or, pour 11. c'est le centre du cercle de gorge. Il s'ensuit que la projection horizontale de ce cercle est le cercle de courbure en 2 à la projection horizontale de la courbe.
La sphère limite coupe II suivant un second parallèle, qui n'est autre que le parallèle passant par (y, c'), point de rencontre des génératrices données des deux surfaces. Il rencontre le parallèle de H' aux deux points (6, 6') el (6', ()'), en chacun desquels la courbe est, comme tout à l'heure, tangente au parallèle de II.
Les points (2, 2') et (6, 6') auraient pu aussi être obtenus en coupant les deux surfaces par le plan de front ef. Les sections sont, en elVel. des génératrices projetées verticalement suivant a' h\ a' li', pour II et suivant d' c\ d'à', pour II'. Cette méthode nous donne en même temps le point (3, 3'). Il est facile d'avoir la tangente en iî à la projection horizontale. Cette tangente est t'\idemment la trace horizontale du plan tangent en (3, 3') à H'. Or, ce point est symétrique de (6, 6') par rapport au point (/, d'), (|i\i est le point central de la génératrice (3, 3'<y). Donc les plan» tangents en ces deux points sont symétriques par rapport au plan central ou, ce qui revient au niiMue, par
SL'ftFACE GAICHE DE RÉVOLUTION. 9«J
rapport au [dan asymptote (t. II, n° 368). Comme ce plan asymptote est le plan 33", contenant les deux génératrices verticales et comme nous connaissons déjà le plan tangent en (6,^'), puisque nous avons la tangente en 6 à la projection horizontale, on en déduit que la tan^renle en o est symétrique de la tangente en 6 par rapport à Zcl. Comme cette dernière tangente est inclinée à !\h° sur 3^/, la première n'est autre que le rayon 3a. (Le point 3 ou 6 est un point double apparent en projection horizontale.)
A titre d'exercice, nous avons indiqué une construction directe du plan tangent en (3, 3') à H'. Il faut chercher la seconde génératrice issue de ce point. Utilisons le second système de projections. La nouvelle projection horizontale du point considéré est 3,. La seconde génératrice est projetée horizontalement suivant la tangente 3, n^ au cercle de gorge. Le point de contact n^ se rappelle en //'. sur 0Cij\. puis en n dans l'ancien système de projection. Le point {n. n') appai'ient au plan tangent cherché; donc 3n est la trace horizontale de ce plan. On vérifie graphiquement et Ton peut démontrer par des raisonnements de géométrie élémentaire (jue celte droite coïncide bien avec 3a.
Les points sur les contours apparents verticaux sont les points de rencontre i' et 5' des deux méridiennes. Ils ne peuvent être construits à la règle et au compas. En projection horizontale, ils se rappellent en i et 5, sur a-y et donnent les sommets de cette projection.
Les tangentes en i' et 5' se construisent par la méthode habituelle des normales. Par exemple, la tangente en 5' est perpendiculaire à la droite o' r' , projection verticale de Taxe de courbure. Le point de rencontre (5, s') de cette droite avec le plan horizontal de 5' donne le centre de courbure .v de la projection horizontale. On a construit de même la tangente en l'et le centre de courbure / en i.
Asymptotes. — Les directions asymptoliques sont les génératrices d'intersection des deux cônes asymptotes, celui de II', par exemple avant subi une translation amenant son sommet en (a, a'). Pour construire ces génératriôes, coupons par la sphère de centre (<7, a') et de rayon a' c' . Nous obtenons des parallèles projetés verticalement suivant c' v' et u' v' . Ils se rencontrent au pointai', r') et en un point symétrique. La direction (ac, a'r') est une direction asymptotique.
Cherchons l'asymptote correspondante, en prenant l'intersection des plans tangents aux deux cônes asymptotes, pris dans leurs positions véritables, le long des génératrices parallèles à la direction considérée. Pour avoir un point de cette intersection, coupons par le plan horizontal auxiliaire c' b' . Il coupe le plan langent au premier cône suivant la
tangente tu' à la base. Pour avoir l'intersection avec le plan tangent au second cône, utilisons le deuxième système de projection. Si nous prenons comme plan de base A'B', nous avons, en (Bj, B'), la trace de la génératrice. En revenant à l'ancien système de projection, ce point devient (B, B'). D'autre part, le plan .rj/i coupe le plan auxiliaire c' b' suivant la droite de bout C'C, et le plan tangent au cône suivant une droite dont la projection horizontale d'Ci est perpendiculaire à «i'B,. Le point (C,, C) est un second point de l'intersection du plan auxiliaire avec le second plan tangent. Dans l'ancien système, il vient en (C. C). La droite CB rencontre finalenient <hp en tv, qui est la projection horizontale du point cherché. En menant par ce point la parallèle à ar, on a une asymptote de la projection horizontale. On en a une deuxième par symétrie par rapport à .i\v.
En projection verticale, u- se rappelle en u', sur b' c' et l'on a une asymptote de la projection verticale en menant par ce point une parallèle à a'i'.
La seconde direction asvniptotique de la projection verticale s'obtient en prenant le deuxième parallèle d'intersection de lun des cônes avec la sphère auxiliaire. Il est facile de voir que l'on obtiendrait ainsi la bissectrice intérieure a'D' de l'angle c'a'd', de même que a'i' en était la bissectrice extérieure. En projection horizontale, les directions asymptotiques sont imaginaires, de sorte qu'en projection \erticale, nous avons la direction asymptolique d'une branche virtuelle. Pour construire l'asymptote correspondante, nous appliquons la méthode générale du n" 10. Les diamètres conjugués par rapport à H et H' sont, en direction, respectivement symétriques de a'D' par rapport à a'c', soit a' A' et par rapport à d' a\ soit d' E' . Ils se rencontrent en F' et la parallèle à a'D menée par ce point est la seconde asymptote cherchée.
En réalité, toutes ces constructions n'ont été faites qu'à titre d'exercice, car elles auraient pu être considérablement simplifiées, en remarquant que la projection verticale de la courbe est une hyperbole, dont on connaît un diamètre a'c' et, par suite, le centre C/. En menant par ce centre les parallèles à a'c' et a'D'. on aurait eu les asymptotes de la projection verticale. En utilisant le point u ' et la tangente en-, on aurait eu ensuite une asymptote en projection horizontale.
Jonction des points . — Nous avons maintenant assez d'éléments pour construire la courbe avec exactitude. On commence par la projection verticale, en utilisant ses asymptotes. Puis, on trace la projection horizontale, en s'aidant de la projection verticale pour lajoiiclion des points.
Ponctuation. — En projection verticale, tout est vu, car la moitié du solide comiiuin qui se trouve en avant de ./rest entièrement vue.
Fig. 22.
( IIAI'ITKK VI.
En projection horizon laie, tout est caché sur II, à part le parallèle supérieur. Mais, sur II', tout ce qui est à droite du plan asymptote 33" est vu. (On s'en rend compte en coupant par des plans de profil. Les sections sont des paraboles dont la concavité est tournée vers le bas ou vers le haut, suivant que le plan sécant est à droite ou à gauche du plan asymptote. Gomme la piirtie solide est précisément du côté de cette concavité, on en conclut que, dans le premier cas seulement, la parabole est vue.) Il en résulte que les arcs 6 5 6", 3 4, 3" l\' sont vus. Il en est de même pour les arcs de parabole 3 4 et 3"4". Quant à la parabole - L 7" du plan supérieur, elle est évidemment vue en entier. L'arc de cercle 4o'4 > bien que primitivement caché sur II, devient vu quand on enlève ce qui est extérieur à M'.
EXERCICES PROPOSÉS
1. On considère le plan tangent en un point quelconque M d'une génératrice de front d'une surface gauche de révolution à axe vertical. Consiruire l'angle plan du dièdre formé parce plan tangent etpar le plan méridien de front. Vérifier, au moyen de cette construction, la formule de Chasles (t. II, n° 368) et calculer le paramètre de distribution. (Si K désigne le rayon du cercle.de gorge et a l'angle des génératrices avec le plan horizontal, le paramètre de distribution est égal à H tanga .)
2. On donne trois droites A, B, G. Construire les points de raccordement des deux surfaces gauches engendrées par G en tournant successivement autour de A et de IL [Ce sont les points doubles de deux divisions homographiques ( t. 11, n" 146). On construira, par exemple, les homologues I et .1' des points à l'infini, en prenant les points de contact du plan asymptote de chaque surface avec l'autre; puis, on construira deux points homologues quelconques, V et P', au moven d'un plan tangent quelconque ; il restera à construire les points M tels que LM. J'M n: IP. J'I*', ce qui est un problème élémentaire classique.]
3. On donne une droite quelconque G el une droite de front A. On considère rhypeibolf)ïdt' Il engendré par la rotation de G autour de A. Détcrjuiner son cercle de gorge el sa méridienne principale. Construire la projection hori/.onlale d'un point, connaissant sa projection verticale. Construire le contour apparent hori/onlal. Construire le point de contact d'un plan quelconque passant ])ar G. ( Le plus simple est de faire un changement de plan hori/onlal amenant \ à être verticale. Pour la deuxième construction, <»n peut aussi uliliser une sphère auxiliaire
suiiFACE i;auche de kévolltion. io3
contenant le parallèle qui passe par les points ciiercliés (n° i8). Pour le contour apparent horizontal, chercher tout de suite le plan diamétral conjugué des cordes verticales, en utilisant les asymptotes de la méridienne principale. Pour la dernière question, utiliser le changement de plan; ou bien, remarquer que l'on connaît la direction de la normale, qui doit, en outre, s'appuyer sur G et A.)
4. On donne une surface gauche de révolution à ave vertical. Construire le parallèle de contact du cône circonscrit ayant pour sommet un point donné de Taxe. (Chercher le point de contact du plan tangent déterminé par ce point et par une génératrice quelconque, qu'on pourra prendre, par exemple, de front.)
5. Même question, l'axe étant seulement de front. (Même méthode, en faisant un changement de plan.)
6. On donne une surface gauche à axe vertical, une verticale A et une droite de bout B. Construire une droite tangente à la surface et s'appuyant sur A et sur B. (Intersection des plans tangents menés par A et par B.)
7. On donne deux droites A et B et un point P. Construire l'axe d'une surface gauche de révolution contenant ces deux droites et ce point. Faire l'épure en supposant A verticale et B de front. (Construire la génératrice G qui passe par P et s'appuie sur A et B, en M et N. L'axe doit se trouver dans le plan perpendiculaire à AMG, mené par la bissectrice de cet angle.)
8. Construire l'ombre propre dune surface gauche à axe vertical, les rayons lumineux étant de front et inclines à 45° sur le plan horizontal. On supposera successivement que l'angle au sommet du cône asymptote est 60", 90°, 120°.
9. On donne une surface gauche de révolution, dont l'axe est vertical et dont le centre a pour coordonnées ( — 5o, 120, t5o). Le rayon du cercle de gorge est 40 et l'angle des génératrices avec l'axe est 3o°. On limite la surface aux plans horizontaux de cotes 20 et 1 5o. La surface étant supposée opaque et éclairée par les rayons lumineux à 45° habituels, représenter son ombre, ainsi que l'ombre portée sur le plan horizontal. (C/. Chap. V, Exercice résolu n» 3.)
10. On donne une surface gauche de révolution à axe de bout. Le centre a pour coordonnées (o. 120, 160). Le cercle de gorge a pour ravon 40 et les génératrices font '\ô'' avec Taxe. On enlève toute la partie
de la surface qui se trouve au-dessus du plan tangeiil horizontal le plus élevé. En outre, on la limite aux plans de front déloignements 20 et 220. La surface étant supposée opaque et éclairée par les rayons lumineux à 45'' habituels, la représenter, en figurant les ombres.
11. Une surface gauche de révolution a pour centre le point (o, iio, 100). Son axe est de front et fait So" avec la verticale; ses génératrices font 60" avec cet axe. Le rayon du cercle de gorge est 4o. Un cube concentrique à l'hyperboloïde a une face dans le plan horizontal; une diagonale de celte face est de bout. L'hyperboloïde étant supposé solide dans la région qui contient l'axe, représenter la partie de ce solide qui est intérieure au cube.
12. Une surface gauche de révolution a son axe vertical. Son centre a pour coordonnées (o, io5,85). Son cercle de gorge et sa trace horizontale ont pour rayons 8 et gS. On considère les quatre sphères dont les centres sont dans le plan de gorge et qui sont tangentes au plan horizontal aux extrémités des diamètres de front et de bout du parallèle situé dans ce plan. Représenter les parties de la surface de l'hyperboloïde intérieures aux quatre sphères et coniprises entre les plans horizontaux de cotes o et 171. (E. C, 1882.)
13. Une surface gauche de révolution a son axe parallèle à la ligne de terre. Son centre a pour coordonnées (o. 100, 100). Son cercle de gorge a pour rayon 3o et ses génératrices font ^5° avec l'axe. Un cylindre de révolution, de rayon 60, a pour axe la droite joignant les points ( — 20, 100, 100) et (o, 100,60). Représenter l'hvperboloïtle entaillé par le cylindre, en le limitant aux plans de profil j)assant à 100 de part et d'autre du centre.
14. Une surface gauche de révolution a son axe vertical. Son centre a pour coordonnées (o, i5o, 120). Son cercle de gorge a pour ravon 4o et ses génératrices font 54° avec le plan horizontal. On prend la sphère nscrite le long du parallèle de cote i4«N puis un cône circonscrit à cette sphère, ayant pour angle au sommet 60° et dont le sommet a pour cote 1 5o et se trouve dans un plan méridien de l'hyperboloïde faisant So" avec le plan vertical. Solide commun.
15. On donne un hyperboloule de révolution à axe vertical, de centre (0,51,70). Le cercle de gorge a pour rayon i3 et les génératrices font 45" avecl'axe. On considère la génératrice de front de plus grand éloignement et dont la trace horizontale est à gauche du point de rencontre avec le cercle de gorge. On prend sur cette génératrice un point A, de cote i(>
SlUFACE GAUCHE DE RÉVOLUTION. Io5
el un point B, de cote 140. Un deuxième hyperboloide se raccorde au premier en ces deux points. Son axe est de front; il a deux génératrices verticales; enfin, l'angle au sommet du cône asymptote est i35°. Représenter le solide commun, en le limitant aux deux plans de projection.
16. Un cube, de i.5o de côté, a des arêtes verticales et des arêtes de bout. Dans la face postérieure, on considère l'arête de gauche, l'arête inférieure et le sommet situé à l'intersection des deux autres arêtes. La diagonale du cube issue de ce sommet engendre, en tournant successivement autour des deux arêtes considérées, deux hvperboloïdes. Représenter le solide commun, en le limitant aux faces du cube (E. P. . 1890). (L'intersection se compose de deux droites et d'une hyperbole.)
17. l n hyperboloide de révolution à axe vertical a pour centre le point (0.80, 65). Son cercle de gorge a pour rayon 4o et sa trace horizontale est tangente à la ligne de terre. On le limite au plan horizontal de cote )20. Soit G la génératrice dont la projection horizontale fait 3o° avec la ligne de terre et dont la trace horizontale est à gauche et en avant de Il trace de l'axe, l n cylindre a ses génératrices parallèles à G et a pour base, dans le plan de gorge, un cercle passant par le centre de l'hyperboloïde, de rayon j5 et dont le centre est à droite et à 8 en avant du centre de Ihvperboloide. Hyperboloide entaillé par le cylindre.
18. Ln hyperboloide à ave vertical a pour centre ( — jo.So.i^o). Son cercle de gorge a pour rayon 70 et ses génératrices font 4o° avec l'ave. In cône a pour sommet ( — 140,1.50,140) et pour base, dans le plan méridien de front de Ihyperboloïde, un cercle égal au cercle de gorge et dont le centre est au point le plus à droite de ce dernier. Représenter le cône entaillé par l'hyperboloïde, en le limitant au plan de front d'éloignement 10.
19. On considère un hyperboloide H, à ave vertical, de centre (o, 100,90) et dont une génératrice (i a pour é([uations -.y ^=: 70, ; = 2^:". l'n second hyperboloide de révolution H' se raccorde à H le long de G; son cercle de gorge est double de celui de H et se trouve du même côté par rapport au plan de front qui passe par G. Représenter le solide commun aux deuv hyperboloïdes, en le limitant aux plans horizontauv de cotes o et 220. [On démontrera que tous les hvperboloïdes de révolution ((ui se raccordent à H le long de G ont pour aves les génératrices du second système du paraboloïde des normales (t. 11. Chap. XX\ 1, Exercice proposé n" i). Il faut prendre celle de ces génératrices dont l'éloignement est i3o. L'intersection des deux hyperboloïdes se compose de G et de deuv autres génératrices ( t. H, n" iOl, 1\', (/).]
Io6 CHAPITRE VI.
20. Soient G et G' deux i^énéralrices qnelcon«[ues de même système d'une surface gauche de révolulion. Démontrer qu'elles sont symétriques Tune de l'autre par rapport au diamètre du cercle de gorge perpendiculaire à la corde joignant leurs points de rencontre avec ce cercle. Réciproquement, il existe une infinité dln perboloïdes de révolution contenant deux droites données G et G', ne se rencontrant pas. On obtient l'un (|uelconque d'entre eux en prenant comme plan de gorge un plan quelconque passant par un des axes de symétrie des droites données, l'axe de révolution s'en déduisant ensuite par une construction évidente. Quel est le lieu de cet axe ?
(On peut passer de G à G' de la manière suivante : l ne symétrie par rapport au plan de gorge donne une génératrice G du second système, rencontrant, par conséquent G' en un certain point P. l ne symétrie par rapport au plan méridien du point P transforme ensuite G'' en G'. Or, l'ensemble de ces deux svmétries é(|iiivaut, comme on sait, à une symétrie par rapport à l'intersection des deux plans.
Pour la réciproque, soient M et M' les points de rencontre du plan de gorge choisi avec G et G'. La perpendiculaire à G. menée par M dans le plan de gorge rencontre la perpendiculaire à G' menée par M' en un certain point 0. L axe de révolution A est la perpendiculaire au plan de gorge menée par O. Il est facile de voir (|ue OM = OM' et (|ue, par conséquent, la surface gauche engendrée par la rotation de G autour de A passe par M'. Mais alors, la génératrice de cet hyperboloïde issue de M' et de môme système que G peut être déduite de G par la même symétrie qui transforme G en G'; donc, elle coïncide avec G'.
Le point O et le point à l'infini de A décrivent des divisions homographi(|ues; on en conclut (|ue le lieu de A est un paraboloïde hyperbolique équilatère, dont les génératrices issues du sommet sont les deux axes de symétrie de l'ensemble des deux droites G et G'. [Ce paraboloïde n'est autre que le lieu des points équidistants de G et de G' {cf. t. II, Chap. ^ . Exercice proposé n° 18). Happelons que les deux axes de symétrie en fjuestion sont les bissectrices des parallèles à G et à G' menées par le milieu de la perpendiculaire commune, de sorte que celte perpendiculaire est l'axe du paraboloïde.]
21. Par le point (<»./io.i5), on mène la droite A. de paramètres directeurs ( i , 2 , i). Par le point (o,4o. -5 ), on mène la droite lî do paramètres directeurs (i . — 3 . i J. On considère deux hvperboloïdes de révolution II et II' passant par ces fleux droites et ayant respectivement pour axes, le premier une verticale, le second une droite de paramètres directeurs (3,o,i). KeprésenttT II enlaillé par II', en le limitant au plan horizontal et au plan symétrique jtar rappoii au plan de ijorjre. [ Pour la ilèlormi-
SURFACE GAUCHK DE REVOIATIOX.
nation des deux axes, voir Fexercice précédent. L'intersection se compose des droites données et de deux génératrices de l'autre système {cf. t. II, n°491, W, c). On peut avoir celles-ci en cherchant les points de raccordement ou bien en chercJiant leurs directions, par l'intersection de deux cùnes concentri((ues parallèles aux cônes asvmptotes.]
22. On fait tourner une même droite successivement autour de deux axes verticaux. Construire l'intersection des deux surfaces engendrées, (las où le plan des axes est parallèle à la droite. (L'intersection comprend la droite donnée, une coni([ue à Finfini et une autre droite.)
QUADRIQUES QUELCONQUES.
EXERCICES RÉSOLUS
1. On considère l'hyperboloïde défini par les trois génératrices (A, A'), (B, B'), (C, C). On le limite auj^ plans horizontaux passant respectivement par les points de rencontre des projections verticales B', (7 et B', A'. On le limite également au plan vertical de projection^ la ligne de terre étant la trace verticale du premier des plans horizontaux précédents. Enjln, on i éclaire par des rayons lumineux parallèles à la ligne de terre et venant de gauche. Représenter ce solide, avec son ombre propre {Jig. 28).
Centre et cône asymptote. — Construlsous les génératrices parallèles aux proposées. La génératrice parallèle à (A, A') doit rencontrer (H, B') ; comme les deux droites sont de front, leurs projections horizontales A, et B sont confondues. La génératrice cherchée doit, en outre, rencontrer (C, G'). Le point de rencontre est {z,o'). Les données sont telles que o' se trouve juste à l'intersection de A/ et de C. Il en résulte que A', se confond avec A'. Le plan de bout qui admet pour trace verticale cette droite est donc un plan asymptote ; sa génératrice de contact avec le cùne asymptote est projetée horizontalement en od, à égale distance de A et de A,.
La génératrice parallèle à (B, B') a sa projection horizontale B, confondue avec A. Cette projection rencontre G en un point qui est en dehors des limites de l'épure, mais qui est symétrique de la trace horizontale c de (G, G') par rapport à ;, parce que celte trace a été prise sur la symétrifjue de A par rapport à B.
La projection verticale \l[ doit donc rencontrer G' eu un poiut symétri(|ue de c' par rapport à o' ; comme elle doit être, en outre, parallèle à H', ce n'est aulie (|ue la droite symétrique de B' par rapport à o' . La droite {or, <>' c' ) éqiii<lislaute de ( B, B') et de (B,, B',) est une nouvelle génératrice ilu cône asvniptote. Le sommet de ce rùne. c'exl-à-dire le centre de l'hyperboloïde, est, par suite, (o, o').
yUADHIQlES QUELCONQIKS. I09
La génératrice (Cj, C'j) est maintenant facile à obtenir; c'est la droite 9ymélri(|ue de (G, C) par rapport à (o, o'). Le plan asymptote correspondant est encore de bout, puisque C[ et C sont confondues. Sa génératrice de contact avec le cône asymptote est (o/, o' b').
Le cône asymptote est maintenant connu par trois plans tangents avec leurs génératrices de contact. La trace horizontale de ce cône est déterminée par trois points et les tangentes en ces points, à savoir r/, de tangente aui; e, de tangente bb^^f-, de tangente bc. La première et la troisième tangente sont de bout; la deuxième est parallèle à lî', parce que le triangle ^O^i peut se déduire de b' 0' b'[ par une translation, la dillerence des éloignements de A et de B ayant été prise juste égale à la dillérence des cotes de b' et de b\ . Ajoutons que A' et W sont inclinées à 45" sur la ligne de terre, toujours par hypothèse. On en conclut que le triangle rectangle bOb^ est isoscèle et, par suite, que sa médiane Oe est en même temps hauteur. D'autre part, df est le diamètre conjugué des cordes de bout; comme 0' a' ^^ O'b' , 0 est le milieu de ce diamètre, c'està-dire le centre de la conique. Il suit de là que Oe est le diamètre conjugué des cordes parallèles à bbi; comme on vient de démontrer que ces deux directions sont perpendiculaires, on en conclut que Oe est un a.ie.
Il serait évidemment facile maintenant d'achever la construction de la base du cône asymptote; mais, comme cette base n'est pas utile pour la représentation de l'hyperboloide, nous ne la construirons pas.
Trace horizontale de l'hyperboloide. — Xous en connaissons immédiatement cinq points, qui sont le-, traces horizontales «, «,, A, 6i, c des six génératrices construites. [Les traces de (B, B') et de (Gj, Gj) se confondent en ^; par contre, on aurait facilement la tangente en ce point, en prenant la trace horizontale du plan des deux génératrices. En coupant par le plan horizontal b\h\ on vérifie que celte tangente est parallèle à 0/ji ou Oo; ce qui résulte d'ailleurs aussi de ce ([ue ()o est diamètre conjugué des cordes de front par rapport à la trace du cùne asvmptote, puisque o est au milieu de de.\
Pour en effectuer rapidement le tracé, rappelons-nous qu'elle est homothélique et concentrique à la trace du cône asymptote. Le diamètre aOc, étant perpendiculaire à l'axe Oe de cette deuxième conique, est un axe de la conique (|ue nous avons présentement à construire. Pour avoir le deuxième, cherchons le point E homologue de e. A cet effet, cherchons le point g où la trace du cône asymptote rencontre OA. La polaire de b par rapport à celte trace étant e/, on doit avoir
O--— 0K.06=:-rt. ■.^a = 3«^
no CHAPITRE VU.
en appelant a la distance OL = Le = 2LK. Donc, Og est la hauteur du triangle équilaléral de cùlé 0^. Construisons cette longueur, reportonsla en O^: puis, menons, par b, la parallèle ôE à ge; nous obtenons le sommet K cherché.
Nous connaissons maintenant l'ellipse par ses deux axes et nous la construisons à Taide du procédé de la bande de papier.
Trace sur le plan horizontal supérieur. — C'est une ellipse homothélique de la précédeqte. \ous en avons cinq points, en prenant les traces des génératrices connues, soit 6,, 0, h, a, hx. Le centre / est la trace du diamètre oO conjugué des plans horizontaux par rapport à l'hyperboloïde. Le demi-diamètre iO étant homologue du demidiamètre OL nous eu déduisons le rapport d'homothétie. Nous pouvons ensuite construire les axes de la nouvelle ellipse, puis, cette ellipse ellemême par la bande de papier. Observons d'ailleurs que Aft, est le petit axe. On peut le prouver par des considérations élémentaires, en démontrant que c'est un diamètre parallèle à OE. On peut aussi chercher la tangente en Aj, au moyen du plan tangent en (/>,, ^1) à riiyperboloïde. Ce plan tangent est déterminé par la génératrice (A, A') el par la génératrice (6,c. b'ic'); sa trace horizontale est ac; donc, la tangente en />, est parallèle à la tangente en E et 6, peut être considéré comme le sommet homologue de E. De même, le plan tangent en (/«, //') contient ( C, G') et {ha, h' a'); sa trace horizontale est encore ca et l'on en conclut que h est le sommet opposé à /v,.
On peut démontrer, de même, ([ue la tangente en 0 est de front, car les deux génératrices issues de (0, b'[) sont (Ai, A',) et (H, B'), dont le plan est de front, et que la tangente en a est de bout, car le plan tangent en (a. a") est de bout, ainsi (|ue nous le verrons dans un ini^liint.
Trace verticale. — Le plan de front mené par (o, 0') coupe le cùne asymptote suivant deux génératrices, de traces horizontales û? el e et de projections verticales o'a' eio'c'. Les plans asymptotes correspondants ont pour traces horizontales respectives da et eb\ leurs traces \erticales sont a'o' et eô, prolongée. La trace verticale de l'hyperboloïde est donc une hvperbole équilalère^ dont a'o' et eb^ sont les asymptotes. En prenant les points de rencontre (//, //' ) et (r, i'') de l'ellipse horizontale supérieure avec le plan vertical, on a deux points de cette hyperbole. Un très petit arc seulement est compris entre les plans horizontaux limites. Pour le construire, il suffit pratiquement de tracer les tangentes en ses extrémités //' el i'', ce qui piMit se faire en se servant des asymptotes.
Contour apparent horizontal. — Le plan de front A est tangent à l'hyperboloïde au point (j\ J' ) de rencontre des génératrices (A, .V)
Fi? 23.
II?. rHAPlTBE VII.
et (Bi, Bj). Le contour apparent horizontal est donc tangent en y à A. On voit de mèntie qu'il est tangent en 0 à B.
Le plan projetant horizontalement ( Cj, Cj) rencontre (A,, A',) en (6, b") et(B,, Bj) en (A", A') ; il coupe donc la surface suivant la génératrice (A'^, k' b"). qui rencontre (Ci, C,) en (/, /'). Le contour apparent horizontal est tangent en / à Ci. [I est tangent à C au point n symétrique de / par rapport à o.
Il est facile, d'après tous ces renseignements, de voir que ce contour apparent est une ellipse, ce qui résulte d'ailleurs aussi de ce que le contour apparent du cône asymptote est imaginaire (puisque o est intérieur à la base). Nous connaissons un diamètre /'O de cette ellipse et les tangentes aux extrémités de ce diamètre. Nous connaissons, en outre, les directions de deux diamètres conjugués, à savoir ol et la parallèle op à C. Il nous est facile, avec ces données, de construire les axes. On sait, en effet, (t. II, Chap. XXX, Exercice proposé n°15) (|ue, si s et t sont leurs points de rencontre avec la tangente en /, les produits y^. /7 et /m. y/» sont tous deux égaux au carré du demi-diamètre parallèle à celte tangente. Dès lors, nous décrivons un cercle de diamètre mp; il rencontre la normale en y aux points q. r, par lesquels nous menons ensuite un cercle passant par o; ce cercle coupe A aux points s et t; os et ot sont les axes cherchés. On sait d'ailleurs (n° li2) que les longueurs des demi-axe> ont pour somme et différence les distances nq et or; on en déduit facilement ces longueurs. On achève alors la construction de l'ellipse au moyen de la bande de papier. (La longueur/'^ est celle du demi-diamèlre parallèle à la ligne de terre. On aurait pu construire directement l'extrémité M de ce diamètre en prenant le point de contact de la droite //,c, qui est parallèle au diamètre conjugué 0/ et (|ui est. en outre, ainsi que nous l'avons vu plus haut, la projection horizontale dune génératrice.) C).
Contour apparent vertical. — Les droites A' et C sont les traces verticales de deux plans asymptotes de bout; ce sont donc les deux asymptotes du contour apparent vertical, lequel est, par suite, une hyperbole.
Le plan projetant verticalement (B, B') coupe l'hyperboloïde suivant
C) F^a projection de l'ellipse liori/.onlalc supérieure est suroscuialricc en O an contour apparent. Kn eiïet, dans l'csparo, la tangente en (O. l)\) à l'ellipse de contour apparrnt horizontal est parallèle à la lijjnc de terre; on peut le voir par des considérations élémentaires ou bien en remarquant (|ue les verticales et la ligne de tern^ ont des directions conjuguées par rapport à l'Iiyperbolo'ide. Dès lors, les quatre points de rcnroiitrc des ficux ollipscs se confondcni en ( ».
QUADRIQUES QUELCONQUES. Il3
une deuxième généralrice, de projection horizontale b^c, qui rencontre la première en (L, G'). Donc, G' est le point de contact de B' avec le contour apparent vertical. Le point a" symétrique de G' par rapport à o' , est le point de contact de Bj. Si l'on remarque maintenant que O'o' est le diamètre conjugué des cordes horizontales, on en déduit les points H' et <T'', avec leurs tangentes. Enfin, les projections verticales D' et F' des points D et F de la trace horizontale de la surface sont encore deux points du contour apparent vertical. On a maintenant plus d'éléments qu'il n'en faut pour construire cette courlie.
Ombre propre. — Le plan de la ligne d'ombre propre est le plan diamétral conjugué de la ligne de terre par rapport à rhyperboloide.
La trace horizontale de ce plan est le diamètre conjugué Oc par rapport à la trace horizontale de la surface. Comme le plan doit passer par le centre (o, o') et comme, d'autre part, la projection horizontale de ce centre est sur la trace horizontale du dit plan, il s'ensuit nécessairement que ce plan est vertical.
La projection horizontale de la courbe d'ombre propre est donc le diamètre Oo. Quant à sa projection verticale, c'est une hyperbole, dont les asymptotes sont les projections verticales o'f et o' e' des génératrices d'ombre propre du cône asymptote. Au point (O, b'\ ), le plan tangent est de front, donc parallèle à la ligne de terre. Il en résulte que ce point appartient à la ligne d'ombre et que la tangente y est verticale. Nous avons aussi le point (I, I' ), qui est le point de la trace horizontale delà surface où la tangente est parallèle à la ligne de terre. Nous possédons maintenant plus d'éléments qu'il n'en faut pour construire l'arc d'hvperbole b\ r.
Ponctuation. — En projection horizontale, l'ellipse supérieure est entièrement vue. L'ellipse inférieure n'est vue qu'à l'extérieur de l'ellipse supérieure. Quant à l'ellipse de contour apparent, elle est entièrement cachée, comme il arrive toujours pour un hyperboloïde à une nappe, lorsqu'on suppose que la partie solide comprend l'intérieur de l'ellipse principale. Enfin, la courbe d'ombre propre n'est vue que de I en O.
En projection verticale, le contour apparent est vu, ainsi que l'arc d'hyperbole b\\' ( l'autre branche est entièrement cachée et, pour celte raison, n'a pas été tracée). Le petit arc u' v' est évidemment caché.
Le point (6, b'), par exemple, est dans l'ombre. Toute la région qui le contient doit donc être couverte de hachures.
2. Un paraboloïde hyperbolique est défini par les deux génératrices {t\,K') et {h,)à') et par un plan directeur horizontal. Un ellipsoïde H.vAG. — Exercices, 1\ . 8
admet pour centre le sommet du paraboloïde ; son grand axe, de longueur ^o, se trouve sur une génératrice horizontale du paraboloïde ; son ajce moyen, également horizontal^ a pour longueur ÇtO', enfin, son petit axe a pour longueur 5o. Le paraboloïde étant supposé solide dans la région qui contient la demi-droite de bout issue du sommet et dirigée en avant de ce point, représenter C ellipsoïde entaillé i)ar le paraboloïde {fig. -ik)-
Détermination du sommet du paraboloïde. — Cherchons d'abord la direction de l'axe, par l'intersection des plans directeurs. A cet ellel, iiienons, par le point (a, a') dq (B, B'), la parallèle (A,, A') à (A, A') et coupons le plan (Ba A,, B' a' A') par le plan horizontal H'. N'o us obtenons, en bc, la direction de l'axe.
Cherchons maintenant les génératrices perpendiculaires à cette direction. Celle du premier système (nous convenons d'appeler génératrices du premier système les génératrices horizontales) a pour direction {cd, c'b'), la droite c<^ étant menée perpendiculairement à cb. D'autre part, elle doit s'appuyer à la fois sur (A, A') et sur (B, B'). Cherchons la trace de (A, A') sur le plan {^cd,Wc'h'). En coupant par le plan projetant verticalement celte droite, nous obtenons le point (e, e'). En menant, par ce point, la parallèle à {cd, c'b'), nous obtenons la génératrice cherchée.
La génératrice du second svstème estparallèle à l'intersection (c/, c'f) du second plan directeur (BA,, B'A') avec le plan vertical de trace cd. D'autre pnrt, les projections verticales de toutes les génératrices du second svstème pas-;ent par un point fixe, trace verticale de la génératrice de bout du premier système. Ce point fixe n'est autre que a\ intersection de A' et de B'. En menant a' s' parallèle à c'f, nous avons la projection verticale de la seconde génératrice cherchée. Son point de rencontre avec la première nous donne le sommet {s, s') du paraboloïde.
Contour apparent horizontal du paraboloïde. — Les verticales étant perpendiculaires à l'axe du paraboloïde, leur plan diamétral conjugué contient cet axe. 11 en résulte qtie le contour apparent horizontal est une parabole ayant pour sommet s et pour axe .\ X perpendiculaire à se. Comme elle est l'enveloppe des |)rojeclions horizontales des génératrices, B est une de ses tangentes. En menant une perpendiculaire à cette droite en son point de rencontre g avec la tangente au sommet, puis prenant l'intersection de cette perpendiculaire avec .ç\. on a le Foyer 1' de la parabole. On peut, dès lors, la tracer sans difliculté. On a déterminé, en particulier, le point de contact // de B, en menant la parallèle à l'axe
QUADRIOI'ES QUEFXONQUES. It5
par le symétrique de V par rapport à g. On a construit, de même, le point de contacta de la génératrice de bout a' a.
Le contour apparent vertical du paraboloïde se réduit au point a' (n" 89).
Contours apparents de C ellipsoïde. — En portant la longueur 4o, de part et d'autre de s, sur se, on a les deux sommets P et Q du grand axe, En portant, de même, la longueur 3o sur sX, on aies sommets R et S de l'axe moyen. Enfin, les sommets du petit axe ont pour projections verticales U' et V, à la distance 26 de 5'.
Le contour apparent horizontal est l'ellipse principale d'axes PO et RS. Le contour apparent vertical est une ellipse de petit axe U'V et de grand a\e J' k' , J' et /.' étant les projections verticales des points y et A' de l'ellipse principale, où la tangente est de bout.
Construction de l'intersection. — Pour avoir un point quelconque, coupons par le plan horizontal H'. Il coupe le paraboloïde suivant la génératrice du premier système (H, H'). II coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse homothétique de l'ellipse principale horizontale. Le rapport d'homothétie est le rapport des cordes déterminées par les plans horizontaux IF et s'/' sur l'ellipse de section de l'ellipsoïde par un plan quelconque passant par l'axe vertical. Or, on peut choisir ce plan, de manière que l'ellipse en question se projette verticalement suivant un
n' m cercle de diamètre L'Y'. Le rapport d'homothétie est donc — ; — r" Effec-
tuons sur II l'homothétie inverse. A cet effet, construisons le point homologue (o, o') de (m. m') et menons par o la parallèle à H. Elle rencontre l'ellipse principale aux points p et q. En joignante/?, nous obtenons, en 11, la projection horizontale d'un des points cherchés; une ligne de rappel nous donne sa projection verticale 11', sur H'. Du point q, on déduit, de même, (17, 17').
Observons maintenant que 5X est un axe de symétrie pour les deux surfaces, donc pour leur intersection. Des deux points précédents, nous pouvons donc déduire aisément deux autres points (2, 2') et (8, 8') . Par exemple, pour construire le second, nous prenons d'abord le symétrique 8 de 17 par rapport à sX (parce que l'axe est horizontal ; 5X est donc un axe de symétrie de la projection horizontale). Nous menons la ligne de rappel 8 8' et nous y choisissons 8' de manière que sa cote par rapport à la projection verticale s' k' , soit égale à la cote de 17', mais de sens contraire.
Points remarquables. — Nous avons dabord les sommets (i, 1') et (9,9') de l'ellipsoïde, qui sont les points sur le contour apparent hori-
Il6 CHAPITRE VII.
zonlal de celte surface. Il est facile de construire les tangentes en ces points à la projection verticale. Clierclions, par exemple, la tangente en 9'. Le plan tangent à l'ellipsoïde est le plan vertical de trace Vt. Pour avoir le plan tangent au paraboloïde, clierclions la génératrice du second système qui passe par (9, 9'). La projection verticale de cette génératrice est ^'9'. Son point de rencontre avec la génératrice du premier système (H, H') est (r, /'), Coupons dès lors nos deux, plans tangents par le plan horizontal H'. Le premier est coupé suivant une droite de projection hori/.onlale P^. Le second est coupé suivant une droite passant par (r, /') et parallèle à la génératrice (.V9, s'g'). qui appartient à ce plan. En menant par /• la parallèle rt à P5, on a la projection horizontale t d'un point de la tangente dans l'espace. La projection verticale de ce point se trouve ensuite en /'. sur H'. La tangente cherchée est finalement 9'^'.
La tangente en 1' pourrait se construire de la même manière. 11 est plus simple de remarquer qu'elle est symétrique de la précédente par rapport à l'axe de symétrie de la courbe. On construit, comme il a été expliqué tout à Theure, le point symétrique de {t, l'); puis, on joint sa projection verticale à i'.
Cherchons maintenant les points de rencontre de la génératrice {sP, s'a') avec rellipsoïde. A cet effet, nous coupons par le plan projetant horizontalement cette droite et nous rabattons sur le plan principal horizontal. Le point {a, a') se rabat en «,. 11 faut construire les points de rencontre de sui avec le rabattement de l'ellipse de sommets P. Q, L', V. A cet efl'el. nous utilisons le rabattement du cercle homographique et le rabattement U, de (5, U'). Joignons 1',^,; celte droite rencontre PQ en E, que nous joignons à Y, ; EYi rencontre «m, en y, ; 5v, rencontre le cercle homographiqne en ;,: le rabattement d'un des points cherchés se trouve sur la perpendiculaire abaissée de r, sur PQ (t. II, n° o3î)). Mais, nous n'avons pas besoin de ce rabattement, car le pied 6 de ladite perpendiculaire sur PQ est la projection horizontale du point, qui se rappelle ensuite, en 6', sur .c'a'.
Cherchons la tangente. Le plan tangent au paraboloïde est déterminé parles génératrices (65, 6'.9') et (6f, 6'i'). Le plan tangent à l'ellipsoïde est le plan perpendiculaire au plan vertical P<^), mené par la tangente {ivQ, iv'6') à l'ellipîe principale située dans ledit plan vertical. Coupons ces deux plans par le plan horizontal a'W". Le premier est coupé suivant une droite dont la projection horizontale passe par // et est parallèle à 6r. Le second est coupé suivant une droite dont la projection horizontale est perpendiculaire à PQ et passe par W, projection horizontale du point de rencontre du plan auxiliaire avec {6^v, 6'n'). Ces deux droites
QUAUrtlQUES QUELCONQUES. 117
se rencontrent au point (G, G'), qui est un point de la tangente clierchée. Par symétrie, on construit ensuite le point (i4, 14') et sa tangente. Clierchons les points situés sur la génératrice de bout. Nous appliquons la même méthode que pour le point courant, avec cette difterence que nous ne pouvons pas effectuer riiomothétie sur la génératrice, en utilisant le point projeté verticalement en J', puisque ce point n'existe pas. Nous avons la nouvelle abscisse s'K' , enjoignant a' au point de rencontre C de ^'I' avec J'e'. En menant la ligne de rappel du point R', prenant ses points de rencontre K et L avec l'ellipse principale, puis faisant l'homothélie inverse, par la simple jonction de Ks' et de L.f, nous obtenons, en 7 et 3, les projections horizontales des points cherchés, dont la projection verticale commune est a' .
Ce point a' est donc un point double apparent (n° 8) en projection verticale. Il est facile d'avoir ses tangentes. Ce sont, en effet, les traces des plans tangents au paraboloïde en (3, 3') et (7, 7'), puisque ces plans sont de bout, comme contenant la génératrice de bout. Cherchons, par exemple, le plan tangent en (3, 3'). Il nous faut la génératrice du second système issue de ce point. Coupons par le plan déterminé par le point et par la génératrice du premier svstème (H, H'), il rencontre la génératrice du premier système (PQ, 91) au point (T. T). construit au moyen de l'horizontale DT du plan auxiliaire. Ce point appartient à la génératrice cherchée, donc au plan tangent; il en résulte que la tangente à la branche 2' i' 4 est 3'T'. On construit de même la tangente 7'T', à l'autre branche.
Il nous reste à chercher les points sur les contours apparents. Ou peut avoir assez aisément les points sur le contour apparent horizontal du paraboloïde, en coupant par le plan de cette ligne. Ce plan est déterminé par l'axe 5X et par le milieu de la corde verticale du paraboloïde qui a pour trace horizontale le point u par exemple. Il coupe l'ellipsoïde suivant une ellipse, dont deux sommets sont R et S, les deux autres se trouvant à l'intersection du plan avec l'ellipse principale de projection horizontale PQ. Pour construire ces derniers, on utilise le rabattement eiFectué pour la construction du point (6, 6'). Le rabattement de la trace du plan sécant sur le plan de l'ellipse est la droite joignant .f au milieu de ««,. Après la transformation qui substitue à l'ellipse son cercle homograpliique, elle passe par le milieu de // > 1 et coupe le cercle homographi(|ue en deux points, qui se projettent ensuite ortliogonalement sur PQ aux projections horizontales des sommets cherchés. Il ne reste plus ensuite qu'à prendre l'intersection de l'ellipse admettant pour sommets ces points, en même temps que R et S, avec la parabole de contour apparent du paraboloïde. Cette construction pourrait se faire à la
I |8 CHAI'ITRIC VII.
règle et au compas, parce que les deux coni(|ues ont un axe commun. Praliiiuemenl, on peul subsliluer à l'ellipse son cercle de courbure en un des sommets de T*Q. On obtient ainsi un point très voisin du point 7 (sur l'arc 67). Ces constructions n'ont pas été reportées sur la figure, pour ne pas trop leuibrouiller et aussi parce que. pratiquement, on peul très bien s'en passer pour faire le raccord entre la courbe et la parabole, vu la proximité du point 7 et de cette dernière courbe.
Les points sur le contour apparent horizontal de l'ellipsoïde sont i et 9. Quant aux points sur le contour apparent \erlical, on ne peut les obtenir qu'en rappelant les points de rencontre 10, 5, i5 et 18 de la projection horizontale de la courbe avec la trace /,s7. du plan diamétral conjugué des cordes de bout.
!-*our bien guider la courbe, on a construit les points symétriques de tous les points remarquables, comme il a été explicjué plus haut. On a également construit le point (j3, i3'), en coupant par le plan horizontal de i5', et son symétrique (4, 4')-
Jonction des points. — Il suffit d'imaginer un plan horizontal balayant l'ellipsoïde d'une manière continue. Il est facile de suivre le déplacement de ses deux points de rencontre avec la courbe, en prenant comme repères les points construits. Le numérotage de ceux-ci a été fait en partant du point (i, 1') et déplaçant le plan horizontal d'abord vers le haut (jusqu'au point 5'), puis vers le bas (jusqu'au point i4'), puis vers le haut (jusqu'au retour en i').
Ponctuation. — Nous ponctuons d'abord sur l'ellipsoïde (n° IJ , II). En projection horizontale, tout l'arc 12... 9 est vu, parce qu'il est audessus du plan principal horizontal. En projection verticale, les arcs vus sont ceux qui sont en avant du plan vertical /5/., cest-à-dire 5'6'...io' et i5'i6'i7'i8'.
Nous enlevons ensuite la portion de l'ellipsoïde intérieure au paraboloïde. La demi-ellip>c de contour apparent horizontal PQS disparaît, ainsi que les arcs 18'/.' 15' el iii'\'i5' du contour apparent vertical. Il en est de même du contour apparent horizontal du paraboloïde à l'exception de l'arc allant du soiuiiit't .v aux points de contact avec la courbe d'intersection.
Si nous revenons maintenant à la ponctuation de celte dernière, nous découvrons plu>ieurs arcs (|ui, priniilivement cachés, deviennent vus comme faisant |)arlie du contour apparent. \\n projection horizontale, nous trouvons l'arc i 18 17 16, jusqu'au point de contact avec la parabole. lOn projection \erlicale, nous avons 1%' \' 9.' V cl 10' 11'... i')', de sorte (|ue le petit arc .3'4'5' est seul caché dans celle projection.
Fig.
EXERCICES PROPOSÉS
1. In hyperboloïde à une nappe contient la ligne de terre, une verlicale et une droite de bout données. Construire son centre et son cône asvuiptole. Connaissant une projection d'un de ses points, trouveil'autre. Construire sa section par un plan horizontal quelconque.
2. On donne un cube, ayant des arêtes verticales et des arêtes de bout, de longueur i5o et dont le centre a pour coordonnées (0,100,100). In hyperboloïde contient deux diagonales non parallèles des faces de front et l'axe de bout de la face horizontale inférieure. Représenter la portion de cet hyperboloïde intérieure au cube, en la supposant éclairée par des rayons lumineux horizontaux^ faisant 4-5° avec la ligne de terre.
3. L n hyperboloïde à une nappe a pour centre (o, 100, 100). Son ellipse principale a un axe parallèle à la ligne de terre et de longueur 100 et un axe de bout et de longueur 70. Ses génératrices de front font 45° avec le plan horizontal. Construire les deux projections de la ligne de striction des génératrices d'un système. (On sait construire le point central de chaque génératrice.)
/|.. On reprend 1" hyperboloïde précédent et on le coupe par un paraboloïde hyperboli(|ue, dont les génératrices issues du sommet sont les génératrices de l'hyperboloïde situées dans le plan tangent de front le plus rapproché du plan \ertical et dont la parabole principale horizontale admet pour fover le centre de Thyperboloïde. L'hyperboloïde étant supposé solide dans la région ([ui contient son centre et le paraboloïde étant supposé solide dans la région qui ne contient pas ce point, représenter le solide commun, en le limitant aux plans horizontaux de cotes 3o ei 170.
5. In paraboloïile hyperboli(|ue a pour axe la ligne de terre et pmir plan principal le plan horizontal. On donne, en outre, son sommet, l'angle que font ses plans directeurs avec le plan horizontal et un de ses points.
Construire les génératrices (|ui passent par ce point.
0. lu paraboloïde hyperbolique est défini par les génératrices y z= 5o, 5 = j: -f ioi>; )' ^ 1 00.
z^^ — ./• + iot»; y:=ziô(K z = o.
()n le coupe par une sphère avant pour centre son commet et pour
QLADRIQUES QUELCONQUES. Ï^I
rayon loo. Représenter cette sphère entaillée par le paraboloïde, en supposant que son point le plus haut se trouve dans la partie solide du paraboloïde.
7. Un ellipsoïde a pour centre (o, loo, iod). pour sommets (90, i3o, 100) et (o, 100, 180). On sait, en outre, que les plans de front sont des plans cycliques. Dans le plan principal horizontal, on prend le point P. situé sur l'ellipsoïde, ayant pour abscisse 85 et le plus grand éloignement. On considère la sphère tangente en ce point à l'ellipsoïde et passant par le sommet de moindre èloignement. Représenter le solide commun. (On peut se ramener à Tinterseclion de la sphère et dun cône à base circulaire dans le plan vertical.)
8. Un paraboloïde elliptique à axe vertical admet pour sommet le point (o, 100, o) ; il passe, en outre, par l'ellipse horizontale qui admet pour centre (o, 100, 200), pour sommet le point A (120, i5o, 200) et dont le petit axe a pour longueur 180. Un paraboloïde hyperbolique a un plan directeur horizontal et l'autre de front; il a même sommet que le paraboloïde elliptique; en outre, il passe par le point A. Représenter le solide commun, en supposant que la partie de l'axe du paraboloïde hyperbolique qui est à droite du sommet se trouve dans la région solide limitée par cette surface.
9. Un hyperboloïde à deux nappes a pour centre (o. 120, o) et pour sommet (o, 120, 40). Sa section par le plan z := 200 est une ellipse dont le petit axe est de bout et a pour longueur 160 et dont le grand axe a pour longueur 260. On le coupe par un cylindre ayant pour base un cercle décrit dans le plan de l'ellipse ci-dessus, sur son petit axe comme diamètre. Les génératrices de ce cvlindre sont de front et inclinées à 45° sur le plan horizontal. Représenter le solide commun, en le limitant au plan z = 200 et à la nappe supérieure de l'hyperboloïJe.
10. Une surface gauche de révolution à axe \ertical admet pour centre (o, 120, 100), pourravon de gorge 40 et pour rayon de la trace horizontale 100. In paraboloïde hyperbolique passe [)ar une des génératrices de front de plus grand èloignement de cet hyperboloïde, par son axe et par la tangente au cercle de gorge au point le plus rapproché du plan vertical. Représenter l'hyperboloïde entaillé par le paraboloïde, en le limitant par les plans horizontaux de cotes o et i5o.
PROJECTIONS cotées; SURIACES TOPOGRAPHIQUES.
EXERCICES RESOLUS
1. Entre les sommets S et S' de la carte (') de la figure '26, se trouve un col G. Déterminer sa position approximative et tracer la ligne de faite et la ligne de tliabveg qui en sont issues.
Menons la normale commune aux lignes de niveau de cote 210; nous obtenons un élément de la ligne de faite; de même, en menant la normale commune aux lignes de niveau de cote 200, nous obtenons un élément de la ligne de thalweg. Ces deux lignes se rencontrent au point C, qui est le col cherché.
En appliquant la méthode indiquée au 11° 90 pour la construction d'une ligne de plus grande pente, on peut continuer le tracé de la ligne de faîte, qui se termine aux deux sommets S et S' et de la ligne de thalweg, qui descend indéfiniment et sort linalement des limites de la carte. A partir de la cote 160, le tracé de celte dernière ligne devient assez incertain, à cause du grand espacement des lignes de niveau. Il faut imaginer par la pensée des lignes de niveau intermédiaires " et s'efiTorcer de les couper orlhogonalement. On peut aussi se guider sur les lignes de plus grande pente voisines, qui doivent toutes converger asymptotiquement vers la ligne de thalweg (n° 90).
2. On donne, sur la même carte, le point A , de cote 1 5>-> et le point B. de cote i52. Tracer un chemin /oignant ces deux point'; et dont la pente ne dépasse jamais h pour 100. Tracer également un chemin jouissant de la même propriété et Joignant A au sommet S.
(') Celle rarlc a rit- rxtraile d'il» plan «lirecteur de la 4* AriiKi- ( i3 iu>vi'nil»re 1Q16). Son cchellc était le j-ôïïbo ■ ^'"^ '^ ligure, cette échelle a été réduite dan^ le
nip|...il j.
PROJECTIONS cotées; SURFACES TOPOGRAI>HI(JL"ES. 123
Il existe évidemment une infinité de solutions pour cliacun de ces deux problèmes. Nous allons chercher celles qui conduisent approximativement au chemin le plus court.
Pour joindre A et B, deux solutions paraissent à peu près équivalentes. On peut contourner par l'Est le sommet S ou bien passer par le col C. La première méthode permettrait, si l'on consentait à allonger suffisamment le chemin, d'obtenir un tracé ne comportant que de faibles élévations. La seconde, au contraire, nous oblige à monter jusqu'à l'altitude du col C, qui est comprise entre 200™ et 2 10™. Mais, elle nous permet néanmoins, avec un tracé aussi court que possible, d'éviter toute pente supérieure à 5 pour 100. C'est elle que nous allons adopter.
Si nous voulons obtenir lélévalion minimum, nous devons passer exactement par le col C. Pour ell'ectuer notre tracé, nous allons, dès lors, partir de ce point et le joindre successivement aux points A et B.
Tant que nous sommes dans les régions de forte pente, il faut donner à la route sa pente maximum de 5 pour ico. La dislance horizontale entre les points de rencontre avec deux lignes de niveau consécutives doit être de 200™, c'est-à-dire de i*^^"", en tenant compte de léchelle. En procédant comme il a été expliqué au n° 96, on obtient successivement les points e, d, c, b, a, que l'on joint par un trait continu, en arrondissant l'arc cb, afin de contourner la ligne de niveau de cote 170.
Pour joindre C à B, on obtient d'abord le morceau de route Qfgh. Si
l'on joint ensuite /iB par une ligne droite, on obtient un chemin dont la
j)ente est partout inférieure à 5 pour 100, sauf entre les cotes 170 et 160.
Qn y remédie en donnant une légère déviation vers l'Ouest, et l'on
obtient finalement le dernier tronçon /«/B.
Fiff. 35.
0 zoo UO 600 800 10QO 1200 1U0 1600 1800
Sur la figure 20, on a tracé le profil de la roule, en portant en abscisse la distance parcourue horizontalement (mesurée au curvimétre) et en
124 CHAPITRE Mil.
ordonnée l'altitude au-dessus de la cote i5o, évaluée à l'échelie de j-iHU)- Le chemin joignant A au sommet S a, sur tout son parcours, la pente maximum de 5 pour luo, sauf tout à fait à la fin, entre li et S.
3. On considère^ toujours sur la même carie, un observateur, dont l'œil est placé en o, à un mètre au dessus du sol. Déterminer les régions que voit cet observateur dans le secteur oX\ .
La méthode générale indiquée au n" 103 consiste à construire les profils de dilTérentes sections par des plans verticaux passant par o et à mener, de ce point, les tangentes à ces profils. Sur la figure, on s'est contenté de reproduire le profil correspondant à la section oX. Ce profil a été construit en adoptant l'échelle de yoôg po"'' '^s cotes et considérant la droite oX comme ayant la cote ?,oo. On a marqué tous les points à cotes rondes, ainsi que le sommet de cote 222. Puis, on a joint tous ces points par un trait continu, dont la tangente au sommet est parallèle à oX.Ona ensuite marqué le point O représentant l'œil de l'observateur, situé, par conséquent, à 1""" au-dessus du sommet. De ce point, on peut, mener deux tangentes au profil. La première OT est très mal déterminée, à cause de la proximité de O et de la courbe. Elle rencontre celle-ci en un point T. qui se raj^pelle en / sur oX. La ligue comprise entre t et la projection horizontale du point de contact, projection ([ui est très voisine de o, est tout entière cachée, (^uand on fait tourner le plan sécant, celte ligne balaie une région environnant o et que l'on a couverte de hachures. De même que la tangente OT, celte région est pratiquement très mal déterminée. Cela n'est d'ailleurs pas étonnant, car il suffit que l'observateur élève son œil de quelques décimètres pour la modifier complètement et apercevoir une partie beaucoup plus grande de la contrepente. Cette circonstance même enlève la presque totalité de rinlérèt que peut présenter la construction de cette région et il nous importe peu, en définitive, que cette construction soit peu précise.
Occupons-nous maintenant des régions éloignées. Du point O, nous pouvons mener une deuxième tangente au profil oX, soit OUV. L'arc UV est caché; sa projection horizontale «c appartient donc à une région cachée. l'our délimiter cette région, nous avons construit les profils oD et oV.. Le premier nous a donné le segment caché kl. Quant au second, il nous a donné un segment sensiblement réduit à un point, la tangente analogue à OUV devenant à peu près une tangente d inllexion, ce qui amène la coïncidence des points tels que U et V. Il suit de là que la courbe limite de la région actuellement en\ isagée est pratiquement langenle à oV.. Xous l'avons tracée approximativement au ninven dune ligne de petites croix et nous avoll^ mis de^ hachures dans l;i réj^ion cachée.
Fis. 26.
126 CHAPririE MM.
Si nous reprenons le profil oE, nous constatons qu'on peut lui mener une troisième tangente, dont le point de contact est projeté horizontalement en ))i. Cette tangente ne rencontre pas la surface topographique dans les limites de la carte. Donc, le segment de oE compris entre m et le bord Ouest de celle-ci est entièrement caché.
Si Ion fait tourner le plan sécant en le rapprochant de oY, le point m va décrire une ligne, qui délimitera une nouvelle région cachée. Nous avons construit les points «, p. tv de cette ligne situés- sur les profils oG, oH, oV. Pour aucun d'eux, la rencontre du ravon visuel langent avec le sol ne se fait dans les limites de la carte.
On peut avoir, avec une approximation prati([uement suffisante et avec une très grande rapidité, un grand nombre de points de la courbe cherchée, en utilisant la remarque suivante. Considérons une ligne de ni\eau N, dont la cote .; difTère peu de la cote 223 de l'œil de ^obser^ateur. Menons la tangente oq à celte ligne. Si z était rigoureusement égal à 223. il est clair que le point de contact q appartiendrait à la courbe limite, puisque cette courbe est la courbe de contact du cône circonscrit, lequel cône comprend les tangentes à la section du terrain par le plan horizontal mené par o. Si ^ est un peu plus grand que 223, la tangente au profil oq est légèrement inclinée de q vers o et son point de contact se projette un peu en avant de q.
Si, au contraire, z est un peu plus petit que 223. ce point de contact se projette un peu en arrière de q. En définitive, dans les régions dont l'altitude est voisine de celle de l'observateur, la courbe passe un peu en avant des points de contact des tangentes menées par o aux lignes de niveau de cote supérieure à celle de l'observateur et un peu en arrière des points de contact des tangentes aux lignes de niveau de cote inférieure.
Cela nous a permis de tracer sans aucune peine toute la partie de la courbe située dans le secteur FoH. En particulier, nous avons dû passer un peu en avant des sommets S et S' et un peu en arrière du col C. Nous avons enfin raccordé au sentiment les points p et w.
Nous nous sommes assurés, par la construction de quelques profils dans la région postérieure à la courbe de contact, qu'aucun ravon visuel tangent ne pouvait percer celte région, qui est, par suile, entièrement cachée. Nous n'avons fait qu'amorcer les hachures qui devraient la recouvrir, afin de ne pas trop brouiller la carte.
EXERCICES PROPOSÉS
t. Un observateur est placé en un point donne, ;i une altitude donnée. Il fait un l<iur d'horizon, en dunnanl à >a lunetl»' une inclinaison cons-
PROJECTIONS cotées: SURFACES TOPOGRAPHIQIES. 127
tante. Construire la ligne des points vus. (On pourrait couper par des plans verticaux. .Mais, il est plus rapide de couper par des plans horizontaux. On est ramené à prendre l'intersection des lignes de ni\eau avec des cercles.)
2. Un canon est placé en un point donné. On le pointe successivement dans tous les azimuts, mais en lui donnant toujours la même inclinaison. Construire la ligne des points de chute. (Cette ligne est ce que les artilleurs appellent une courbe d'égale hausse. Pour la construire, il faut connaître la queue de la trajectoire, l.e plus simple est alors de couper par des plans horizontaux, comme dan? l'exercice précédent.)
3. Pour échapper à la vue de l'ennemi, un canon se défile derrière une croupe. Déterminer, pour cliaque azimut, l'angle de tir minimum et en déduire la ligne en deçà de laquelle il est impossible de tirer. {Problème du masque.)
4. Un canon a pour objectif de battre un secteur déterminé. Construire les zones de ce secteur qui sont en angle mort, c'est-à-dire qui ne peuvent être atteintes par aucune trajectoire, par suite de la contrepente. (Ce problème est analogue au problème résolu n" 3 et se résout delà même manière, en remplaçant les rayons visuels par les trajectoires. II est commode d'avoir un abaque tracé sur papier transparent et reproduisant les queues de trajectoires à l'échelle que Ton veut adopter pour la construction des profils. On superpose cet abaque sur chacun de ceuxci, en plaçant l'origine des trajectoires à l'emplacement du canon et l'on voit quelles sont les trajectoires qui sont tangentes au profil. On marque, pour chacune d'elles, le point de contact et le point de rencontre avec le sol. La partie du profil qui se trouve entre ces deux points est en angle mort. )
