NOTIONS DE PERSPECTIVE

EXERCICES RÉSOLUS

On donne un cube dont VarêLe a \'^ de lon<i. Une de ses faces repose sur le géométral. Le sommet A le plus en avant a pour largeur et pour éloignement 20*^"^ et So'™. Le côté AH, ijui va vers le sommet le plus à droite, a pour coefficient angulaire ?..

Un cylindre de révolution , de l'^So de haut, a pour base inférieure un cercle tracé dans la face supérieure du cube, concentrique à cette face et de 40"" de diamètre.

Enfin, dans la face verticale ADD'A' du cube, on a tracé un demicercle, ayant pour centre le milieu de kY) et pour diamètre oo""^. Mettre cette figure en perspective, à l'échelle dcjj, en supposant que le point de rue a pour largeur, éloignement et hauteur : o, i5o'™ et 155'™

Perspective de la face ABCD. — Traçons la ligne de terre LT, en marquant le point L, origine des largeurs. La ligne d'horizon est HH', à j,,3mmi au-dessus de LT. Le point de fuite principal F se trouve sur la verticale de L.

Commençons par construire la perspective de A. La perpendiculaire au tableau menée par ce point rencontre la ligne de terre au point a, tel (jue La =r 20'™, soit iS"""'^. à l'éclielle du dessin. l£n joignant Va, nous avons la perspective de cette perpendiculaire. Considérons maintenant la trace r/, de AB; elle se trouve à gauche de a. à une dislance de ce point égale à i^"^ ou lo"*"", à léchelle. D'autre part, le point de fuite /" de AB se trouve sur la ligne d'horizon, à 75*™, ou 50*""' à réchelle, à droite de F. En joignant /'«,. nous avons la perspective de AB. l>n prenant le point de rencontre A de Va et de A/,, uou-^ avons la perspective du sommet A.

I*our trou\ er la perspective de B, utilisons sa projection orthogonale b sur le tableau. Nous construisons ce point b en menant |>ar a une droite

NOTIONS DE PERSPECTIVE. \?.g

de coeflicienl angulaire 2, portant aB, = i™ (66""™| à l'échelle) et projetant B, en h sur LT. Joignant ensuite V b, nous avons B. à la rencontre avec/«i.

Construisons, de même, D. Le point d est à une distance de a égale à ^B,. Quant au point de fuite de AD, il se trouve, sur HH , à une distance à gauche de F égale à 2 fois la distance principale, c'est-à-dire 4 fois F/'. Il est en dehors des limites du dessin. Pour le joindre à A, nous avons fait une lioraolhétie, de centre A, amenant, par exemple, / en B. Menant Beh parallèle à flH , portant eh^=4cV> et joignant A/i, nous avons la perspective de AD. JNous en déduisons D, par la rencontre avec F^.

Le sommet G se trouve enfin à l'intersection de /'D et de Fc. le point c étant à une dislance de 0 égale à ad.

Perspectà'e de A'B C D . — Il suffit de porter la face précédente à la hauteur i"". Pour A', nous menons la \erticale aa' égale à 66""*! et nous joignons Fa'; A' est à la rencontre de celte droite avec la verticale de A.

Joignant A'/ et prenant son intersection avec la verticale de B. nous avons B'. Nous construisons ensuite C, en utilisant la diagonale A C , dont le point de fuite i' est à Tinlersection de HH avec AC. Enfin, nous avons D', en joignant yC.

Perspective de la base du cylindre. — Cesl évidemment une ellipse, car le cercle de l'espace ne rencontre pas le plan neutre (c/. Exercice proposé n'^ 8). 11 est facile den construire quatre poinls. avec leurs tangentes. Ce sont les poinls de contact des tangentes parallèles aux. arêtes du cuhe. Les tangentes parallèles à A'D', par exemple, rencontrent A'B' aux poinls / et /. . qui divisent A'B' dans le rapport y^. Construisons ces points et. en même temps, le point milieu i, en appliquant la méthode indiquée au n° lOG. Menons, par A', une parallèle à HH' et portons-y les longueurs A'y', A'/', A'/.', A' 6' respectivement égales à 3. 5, 7, 10. avec une unité de longueur quelconque. Joignons Z/'B', jusqu'à sa rencontre en ni avec HH'. Les droites nij' . mi', nik' rencontrent A'B', aux poinls/. /. A cherchés. Prenons maintenant le point de rencontre 1 des diagonales A'C, B'D'. La droite AI rencontre CD' en /; la droite yY est une des tangentes parallèles à A'D'. Son point de contact L se trouve sur /I.

iNous n'avons pas construit l'autre tangente parallèle à A'D', parce que son point de contact est caché et ne doit pas être reproduit sur le dessin.

La tangentey'/ rencontre A'C en un point J, qui, joint à /'. donne la perspective d'une tangente parallèle à A'B'. Son poinl de contact K se trouve sur i\. Celui de l'autre tangente parallèle à A'B' est caché. Haac — Exercice^. IV. - g

l3o CHAI'ITRE IX.

Cherchons maintenant les points situés sur le contour apparent du cylindre. 11 s'agit, bien entendu, du contour apparent pour le point de vue, c'est-à-dire des génératrices de contact des plans tangents au cylindre menés par ce point.

Pour construire ces plans tangents, nous appliquons la méthode générale du n° 22; mais, pour simplifier un peu les constructions, nous imaginons qu'on a pris la base du cylindre dans le plan horizontal qui passe par le point de vue. Nous devons mener, par ce point, des tangentes à celte base. A cet efTel, rabattons le plan sur le tableau, la charnière étant, par conséquent, HH'.

La perpendiculaire au tableau menée par le centre du cercle a la même largeur que la perpendiculaire à LT menée par le centre du carré ABCD, lequel centre est obtenu par l'intersection des diagonales. En joignant ce point à F, on a, en u, sa projection orthogonale sur LT; la largeur cherchée est donc Lu. On en déduit le rabattement de la perpendiculaire au tableau passant par le centre du cercle, en menant la verticale du point u.

Pour avoir le rabattement M de ce centre, on pourrait remarquer qu'il se trouve sur la droitejoignant sa perspective (laquelle est à l'intersection de HIl' avec la verticale de I) au rabattement O du point de vue {VO =: i^jôo, soit loo™'"), car ce rabattement peut être considéré comme étant le point de fuite de la droite qui, dans l'espace, joint la position initiale du point M à son rabattement. (Ce point de fuite est qiiel(|uefois appelé \'i. point de fuite de la corde de l'arc, parce que la tlroite tlonl nous venons de faire mention est la corde de l'arc décrit |)ar M pendant son rabattement.) Mais cette droite est trop peu inclinée sur la verticale et donnerait une détermination trop peu précise de M. C'est pouiquoi nous avons préféré utiliser l'éloiguement de ce dernier point. Cet éloignement est le même que celui du milieu de BD; il est égal à l'éloignement de A augmenté de la demi-somme des deux longueurs éB, et ab. En le portant sur la verticale du point //. à partir de IIII', on oluient le point M.

Mous décrivons maintenant le cercle de centre M et de ra\on 20 ( iS'""'^' à l'échelle). Puis, nous menons les tangentes à ce cercle par le point O, rabattement du point de vue. Ces tangentes ON et OP rencontrent Hll' aux points n et ^, qui appartiennent à la perspective des génératrices de contour apparent du cylindre. (Les perspectives de ces génératrices sont la trace îles plans tangents précédents sur le plan du tableau.) En menant des verticales par n et />, on a le contour apparent.

Cherchons le poiiU de contact ij de la génératrice nt] avec la l)ase inférieure. A cet elfet, nous allons construire la perspective de la perpendiculaire au tableau menée par ce point. Le pied (^» de cette perpendieu-

Fig, 27,

CHAI'ITRK IX.

laiie se trouve sur la \erlicale du point de conlacl N. Sa hauteur est de !"• au-dessus de LT. c'est-à-dire la même que celle de a' . 11 se trouve donc sur la parallèle à LT menée par a' . En joignant FQ. nous avons la perpendiculaire cliercliée. l'^lle lenconlre la verticale iiq au point de contact rj .

On construit de la même manière le point de contact fj' avec la base supérieure, en utilisant le point Q', dont la hauteur au-dessus de Q est de i'",ào, soit loo""", à l'échelle, ainsi que les points de contact /■ et / ' de l'autre génératrice de contour apj)arenl.

Les points L, K, y, /• avec leurs tangentes suffisent pratiquement pouitracer la demi-ellipse qui constitue la perspective de la partie vue de la base inférieure du cvlindie.

Quant à la base supérieure, nous en connaissons déjà deux points : q' et /•', avec leurs tangentes. Nous avons couàlruit les points L' et K' en effectuanl leur mise en hauteur à partir des points L et K. A cet effet, nous avons d'abord construit le point A", de hauteur 2'",5o (a" est sur la droite Q'H'). La droite ^A" passe par la perspective 1' du centre de la base supérieure, qui se trouve aussi sur la verticale de I. Joignant /"!' et prenant son intersection avec la verticale de L, nous obtenons L'. Le point J' se trouve d'autre part à la rencontre de ^A" avec la verticale de J; J'L' est la tangente en L'. l'Lnfiii, la verticale de K rencontre en K' la droite /.r, qui est la tangente en ce point. Nous pouvons maintenant tracer la demi-ellipse q'\J\\' r'.

PerspeclU'e du demi-cercle de la face ADD'A'. — Celle perspective est une demi-ellipse. Ses extrémités S et U et son centre V sont les points situés aux |, au \ et au milieu de AD. On les construit, en utilisant leurs projections orthogonales 5, //, v sur Lï, lesquelles sont siuiées respectivement aux |, au J et au milieu de ad. (11 se trouve accidentollt- ment que (' coïncide en pratique avec c et 11 avec la projeciion du centre de ABGD.) Les droites Fa-, Vu, Fc rencontrent AD aux points S, U, V cherchés. (On aurait pu aussi construire V en remarquant que la verticale de ce point doit passer par le point de rencontre de AD' et de DA'. On aurait pu ensuite construire S on remarquant (pic la verticale de ce point pa^se par le point de rencontre de 1)'V avec la droite joignant les milieux de AA' cl de DD'. Une construction analogue aurait donné L'.) Les tangentes en S el l sont verticales. ICIles rencontrent DA' en S' et AD' en U'; la droite l 'S' e>l la tangente au point \' le plus haut du cercle.

Nous avons encore construit ie^ jininls \\' el .\, exlrèmilés des rayons du cercle inclinés à 4*>" sur le géoniétral. Pour fêla, nous avons fait la mise en hauleur de lu droite D' \V.\A". au moyen des points D"

NOTIONS DE l'ERSPECTlVE. I 33

et \"' Idd" =:a(i" := —, soit — p, à réchelle). Cette droite renconlre

\ S' et VU' au\ points W et X. Les tangentes en ces points passent par le point Z symétrique de \' [lar rapport an point '^ on \\'X renconlre VV. Nous avons maintenant 5 points et lenrs tangentes; cela suffit pour tracer la demi-ellipse.

Ponctuation. — Dans un dessin en perspective, Tusaiie n'est pas, comme en Géométrie descriptive, de ponctuer les lignes cachées. On ne les trace pas. C'est pourquoi nous avons seulement marqué comme lignes de construction les arêtes CB, CD. CC du cube, ainsi que les portions des arêtes C'B' et CD' qui sont cachées par le cylindre. De même, nous n'avons tracé que les demi-ellipses représentant les arcs vus des deux bases de celui-ci.

EXERCICES PROPOSÉS

1. On donne la perspective d'une droite par son point de fuite et un point quelconque. Marquer, sur la droite, à partir de ce dernier point, une série de points équidistants. {Cf. n° 10<), problème I.)

2. On donne, sur la perspective d'une droite, le point de fuite/ et trois points a, b. a'. Construire le point b' tel que, dans l'espace, A'B' se déduise de AB par une translation. ( Cf. n° 106, problème I. On choisit arbitrairement «B, en dehors de la droite ab. On mène Ub et la parallèle à aB par /'. On prend l'intersection Y^ de ces deux droites. On joint

Pa' jusqu'à sa rencontre A' avec aB. On porte A' B' = aB; PB' renconlre ab au point b' .)

3. On donne, sur la perspective d'une droite, un segment «/>, dont la longueur dans l'espace est l'unité. Porter, sur celte droite, à partir dun point donné c, une longueur donnée. {Cf. exercice précédent.)

ï. On donne les points de fuite du problème II du n° 106. Construire les bissectrices d'un angle donné. (Si h et h' sont les points de fuite de cet angle, il suffit de mener les bissectrices de liV h' .)

.0. En supposant toujours les mêmes données, construire la symétrique d'une droite par rapport à une autre droite.

6. On donne toujours les mêmes points de fuite. On donne, en outre, trois points a, b, c du plan. Construire la perspective du centre du cercle ABC, ainsi que les perspectives des points diamélraletnenl opposés

l34 CHAPITRE IX.

à A, H, (] el des tangentes en tous ces points, (xMener les perpendiculaires au milieu des cotes, pour construire le centre. Pour les tangentes, mener les perpendiculaires aux rayons.)

7. On donne la perspective d'un triangle équilaléral AHC el la ligne de fuite du plan. Construire la perspective du centre et celle d'un autre triangle égal et concentrique au proposé. [Le centre s'obtient par les médianes, lesquelles donnent aussi, avec les cùlés, trois couples de droites reciangulaires, d'où l'on peut déduire le point P du n" 100. Pour construire le deuxième triangle, prendre un point quelconque A' sur le cercle ABC (n° 106, problème 111); tracer les deux droites faisant So" avec le diamètre qui passe par ce point el prendre les seconds points de rencontre de ces droites avec le cercle.]

8. Comment trouve-t-on le genre el les directions asyraptotiques de la perspective d'une conique donnée de l'espace? Quelle est la condition pour que cette perspective soit une parabole ou une liyp?ibole équilatère? (Intersection de la conique avec le plan neutre^ ou plan parallèle au tableau mené par le puint de vue.)

9. l ne quadri(|ue admet le point de vue comme oinl)ilic, le plan langent en ce point étant le plan neutre. Démontrer (|ue loule section plane de cette quadrique a une perspectixe circulaire. Quel est Taxe radical des perspectives des sections faites par deux plans parallèles?

10. Construire le centre de la perspective d'une conique donnée de l'espace. (Perspective du pôle de l'intersection du plan neutre avec le plan de la conique. )

11. On donne les points de fuite a, b^ c des arêtes d'un triodre trirectangle, ainsi que le point de fuite p et la ligne de fuite 1) d'une droite el d'un plan perpendiculaires. Construire le point de fuile // des perpendiculaires à un autre plan dont on donne la ligne de fuite D'. (La perspective du cercle imaginaire de l'infini est une conique S conjuguée par rapport au triangle ahc et admellanl // et D pour pôle et polaire. l'>lle est entièrement déterminée et il faut construire le pôle de D' par rapport à cette conique. Soit a' le point de rencontre de D' avec hc; la polaire de ce point passe par a et par le point homologue de o' dans litn oluliori dont deux couples île points liomologues sont /k c el les points de renronlre de hc avec D et pa. On peul donc construire celte polaire, ainsi que les polaires des points // et c' analogues à a'. (>es trois polaires concourent au pôle cherché.)

NOTIONS DE l'ERSPECTlVK. 1 35

12. On donne, dans le géomélral, nn carré ABCD, de 2'" de cùlé et dont le sommet A le plus en avant a pour largeur et éloignement 3o''"'. Le côté AB qui va vers le sommet le plus à droite a pour coefficient angulaire |. In hexagone régulier concentrique au carré a une diagonale parallèle à AD et de longueur égale à 20'"'. Le carré est recouvert d'une mosaïque formée par la juxtaposition d'hexagones égaux dont l'un est l'hexagone ci-dessus. Faire la perspective de cette mosaïque, en supposant que le point de vue a pour largeur o, pour éloignement 2'" et pour hauteur i"%6o. Prendre pour échelle -j^ .

13. Un escalier est composé de 5 marches parallèles ayant chacune 1'", 20 de largeur, o'",35 de profondeur et ()"',20 de hauteur. On suppose que la première marche repose sur le géométral; elle fait 35° avec la ligne de terre et son extrémilé de droite a pour largeur o"\ 65 et pour éloignement o"\ 10. Faire la perspective de cet escalier, à l'échelle de -j^, en donnant au point de vue les mêmes coordonnées que dans l'exercice précédent.

Ik. Un cylindre de révolution à axe vertical, de o™,8o de rayon et de 3'" de haut repose par sa base inférieure sur le géométral, le centre de celte base avant pour largeur o et pour éloignement i™, 5o. Il traverse un prisme droit à base carrée et horizontale, de o'",40 de haut et de 2"', 20 de côté. Le centre de ce prisme se trouve au milieu de la hauteur du cylindre; de plus, une de ses faces fait 3o° avec le tableau. Mettre l'ensemble de ces deux solides en perspective, en supposant que le point de vue a pour largeur o, pour éloignement 2'" et pour hauteur i"\5o. Echelle : -pj.

lo. Faire la perspective d'un tétraèdre régulier, de 2'" d'arête, dont une face est horizontale, dont le centre a pour largeur o'",2o, pour éloignement I™, 60 et pour hauteur i™ et dont le sommet le plus en avant a pour largeur o"",4o. On prendra le même point de vue et la même échelle que dans l'exercice précédent.

CIIAPITKi: \.

RÉSOLUTION DES miKDRES,

EXERCICES PROPOSES

1. Dans un irièdre, on donne la face c. le dièdre A el Tangle que fait l'arête SC avec la face opposée. Gonslruire ce trièdre. (On esl ramené à prendre l'intersection d'un plan el d'un cône de révolution.)

2. Résoudre le trièlre précédent, en supposant «ju'on donne la face a au lieu du dièdre A. (Intersection de deux cônes.)

3. Le plan bissecteur du dièdre SA coupe la face opposée suivant SA'. Résoudre le trièdre, connaissant l'angle \S.V , le dièdre A et la face h. (La construction du dièdre SAA' rentre dans le deuxième cas.)

k. Résoudre le trièdre précédent, connaissant l'angle .\SA' et les dièdres A et B. (Rentre dans le cinquième cas.)

o. Construire un tétraèdre ARCD, connaissant les longueurs des arêtes .\B, BC. CA el les dièdres qui les admettent pour arêtes.

6. Construire le tétraèdre ABCI), connaissant les arêtes AR, BC, C.\ et les hauteurs issues des sommets A, B. C. (Se ramène à Texercice précédent, car, des hauteurs, on peut déduire les dièdres.)

7. Construire le tétraèdre ARCD, connaissant la face .\RC et sachant que le trièdre de sommet D est trirectangle. (Intersection de trois sphères.)

8. Construire un tétraèdre connaissant les longueurs de ses *i\ nrêtes.

( ' ) Nous ne (lumions piis (fcxcrciics ri-solu*. les questions traitées dans le cours en li'iKinl ^nfli'.iiiiiiirnt lieu.

RÉSOLITIOX DES TRIÈDRES. l3j

9. Construire le tétraèdre ABCD, connaissant les dièdres AB, AC, et les longueurs AB. BC. C\. BD.

10. Construire le tétraèdre ABCD, connaissant les mêmes éléments que dans l'exercice précédent, sauf que la longueur lîD est remplacée par l'angle ABD.

11. Même question en remplaçant la longueur BD par l'angle ADB.

12. Construire le télraêdre ABCD. connaissant la face ABC, les angles BAD, CAD et le volume du tétraèdre.

13. On donne un tétraèdre par sa face ABC dans le plan horizontal et par la projection horizontale et la cote du sommet D. Construire le centre de la sphère circonscrite.

li. Les données étant les mêmes (|ue précédemment, construire le centre de la sphère inscrite. (La construction du tétraèdre qui admet pour sommet ce centre et pour base ABC se ramène à lExercice n°5. On peut aussi appliquer la méthode de /Jermarv. qui consiste à rabattre le sommet D sur la face ABC successivement autour des trois côtés de cette face, vers l'intérieur du triangle. Les points de contact de la sphère inscrite avec les faces de sommet D se rabattent sur la projection horizontale du centre cherché, laquelle projection est à égale distance des trois rabattements de D.)

TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES RESOLUS

1. Quelle relation doit exister entre les trois nombres a, b. c pour que l'on ait

(i). arc lanso -^- arc tangè -f- arc lange = —

AjDpelons .r, y, ; les arcs du premier membre. On doit avoir

tans ( .r -r- y -t- ^) = i ou (n° 126)

en appelant S,, S^, S:j les fonctions symétriques élémentaires de a, b, c. Cette condition est nécessaire; mais, on n'est pas toujours certain qu'elle est sulTisanle. (^)uand elle est remplie, on peut seulement affirmer que la somme S ^^ .r -h v + ; est égale à -^ -r- A;:. Comme x, y, z

sont chacun compris entre — - et H — -, S est compris entre — — ^

et H et le nombre entier /, ne peut être égal qu'à o, ou i ou — i ;

autrement dit. b est égal a -» — ou •

Voyons comment on pourra reconnaître dans quel cas l'on se trouve.

Pour que S soit égal à -y-' > il faut que les trois nombres a, b, c soient

i4o thigonométrie. — ciivpinu: i.

tous plus grands «(ue i. car, la somme de deux, quelconques des arcs a% >', c ne pouvant atteindre -, le troisième arc doit nécessairement

dépasser -j- Celte condition nécessaire est évidemment suftisante. car. si

elle est remplie, chacun des arcs dépas-e -^ et S ne saurait être é^al

Four que S =: ^y il faut que deux au moins des nombres a. b, c

soient négatifs, l'un deux au moins étant inférieur à — i. En efl'et, si x et h, par exemple, étaient positifs, il en serait de même de ,7' et de y,

donc de .1' -+- >'; comme c ne peut être inférieur à — -? 5 ne pourrait atteindre — ^' D'autre part, si a, b, r étaient tous supérieurs à — i. .r, V, r. seraient chacun plus grand que — ^ et S dépasserait — —•

Cette condition nécessaire est aussi suffisante. En etVet. supposons, par exemple, a <i — i et b <io. La somme .r -+- y est <; — -r\ comme

z <C - 1 S est inférieure à -^ et ne peut être quésale à — — ^ • ■2 , 1 ' 4

En résumé, les seuls cas où l'égalité (2 ) n'entraîne pas l'égalité (i) sont

le cas où les trois nombres a, b. c sont >> 1 ( S 3= — ^ ) et le cas où deux

4 / au moins de ces nombres sont négatifs, l'un d'eux étant en «lutre ■< — 1

2. Calculer ces ^ el sin -^ • — On peut v arriver eu appliquant l'un

quelconque des problèmes 1, H, III. On peut indifféremment prendre a ^o ou 77, se donner le cosinus ou le sinus de cet angle el enfin prendre

pour inconnue cos - ou sin -r • Pour vo'w quelle est la méthode la plus

avantageuse, cherchons à prévoir le type d'équation auquel nous serons conduit^, en écrivant a priori ses racines.

Au lieu d'employer les formules (2) et (3), comme nous l'axons fait au n° 128. procédons géomélricpiemenl, en cherchant le» extrémités des

arcs r • Ces points sont toujours les sommets de deux pentaj^ones réguliers

convexe-i. dont chaque côté sous-tend l'arc -f-- Ces deux pentagones sont

symétriques l'un del'aulie [)ai- rapport à O.r ou à Oy, suivant que l'on s'est donné cosr/ ou sin<7. Ivnfin. run deux a pour sommet particulier le

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS CIRCLLAIRES. l4l

point A situé sur la partie positive de O a\ si Ton a pris a == o on le poinlcliaraètralemenl opposé A', si Ion a pris « := 7: f car r = r -1- -7^ ] •

Dans tous les cas. cliarun des deux polygones admet Ox pour axe de symétrie. 11 y a donc avantage, pour avoir lepluspetil nombre de racines, à les projeter sur Ojc, puisque les projections des sommets se confondront deux à deux. Gela veut dire qu'il faut prendre cos — pour inconnue. En outre, on réduira encore le nombre des racines en sarrangeanl pour que les deux polvgones soient symétriques l'un de l'autre par rapporta OcT. et. par conséquent, confondus; pour cela, on se donnera cosa.

Dès lors, donnons-nous, par exemple, cosami et prenons pour inconnue a-^cos-' Les deux polvgones se confondent avec le pentagone régulier inscrit qui admet A pour l'un de ses sommets. Les racines de l'équation en .i- seront i (racine simple), cos -4- (racine double) et

cos -^ = —cos — (racine double). ( )uand nous nous serons débarrassés de la racine i. il nous restera donc une équation du quatrième degré admettant deux racines doubles. Son premier membre sera un carré parfait et sa résolution se ramènera à la résolution d'une équation du second degré.

Faisons les calculs. Pour /?? =: 5, la formule (82) du n" 127 s'écrit

cos 5rt= cos''a — 10 cos^a sin-a 4- 5 cosa sin* a.

Remplarons-v cosort par i, cos « parj; et s'in-a par i — j?-. Nous

obtenons

.r-' — lo.rU I — X- ) -7- 5./(i — x- )- — i = o.

Le facteur v — 1 est en évidence, si l'on rapprocbe le premier et le dernier terme. Supprimons-le; il vient

■ x' -^ x^' -^ .r"--r- X -i- i -T- lox'^(i ^ x) -7- 5 X{X' — I ) (.1- -r I) = o,

ou

i6.r'*-r- i6.r5— 4-'"* — .\x-hi—o, ou enfin

Les racines du trinôme du second degré sont '^ • La racine

positive est cos— et la racine négative est — cos t-- Finalement, nous avons

l4'> TRIGONOMÉTRIE. — CHAPITRE I.

Pour calculer sin r, appliquons la formule ( • J ) du n°121: . - ()-f- 2 \/') lo — i y/ ^ ' — v/ 5

Slll'' — = I —

d'où

sin — = î — .

EXERCICES PROPOSÉS

l. Clierclier des solutions simples de rExercice résolu n'^ I . permettant de calculer - par un développement en série. (Cf. l. 1. cliap. \ II, Exercice résolu n" 6.)

H faut que a , h, c soient < i , en valeur absolue, pour la convergence.

On cherchera, par exemple, des solutions delà forme

m II m{n-h i )-i-{/i — I )

m et n désignant des nombres entiers. On donnera à n des valeurs entières positives; puis, à chaque valeur de n ainsi choisie, on associera successivement les valeurs entières et positives de /;<, qui lui sont inférieures ou égales et l'on retiendra les combinaisons donnant une valeur simple pour c. On ne diminue pas la généralité des solutions en supposant ni et n positifs, car, si «, b,c ont des valeurs absolues plus petites que i, deux de ces nombres au moins doivent être positifs et l'on peut toujours supposer que ce sont les deux premiers. Comme solutions simples, on trouvera, par exemple :

/t = ], //} = i. (• = : n = \, ni — •>, c = — ; ;

2. <^)uelle relation doit-il ( \isler enlro les nombres <t. />, c pour (|ue 'on ait

arc ItTUg a -4- arc liini; f> H- nrr lan;; e = — ou. ~.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES FONCTIONS CIRCULAIRES. l43

3. Etablir, par récurrence, les formules (29), (3o) et (3i) du n° 120. (On s'appuiera sur les formules de la noie de la page 282 du Tome I.)

k. <^)uelle relation doit-il exister entre « et 6 pour que Ton oit

4 arc tan^^a H- arc tan g 6 = -^ •

Chercher les solutions simples pour lesciuelles a et ù sont < i, en valeur absolue {cf. Exercice proposé n« 1). On retrouvera, en particulier, la formule donnée dans TExercice résolu n'' 6 du Chapitre ^ II du

Tome I, ( Résoudre la relation obtenue par rapport à b ; puis;, donner à a des valeurs de la forme —

5. Écrire les développements de cos (a -+- 6 + c) et de sin [a -h b + c), sous forme entière.

6. Ecrire, sous forme entière, les développements de cosSa, sin3«, cos^a, sin4rt, cos5a, sinoa.

7. Démontrer que cos ma est toujours un polynôme entier en cosa. Dans quel cas est-ce aussi un polynôme entier en sinrt? Dans quel cas sin //ta est-il un polynôme en sin « ? Peut-il être un polvnome en cosa ?

8. l'aire complètenient la discussion des problèmes I à IV des n"" 128 et 130, d'abord par les formules (2), (3), (4) du n° 120. puis par Tinterprétation géométrique au moyen des polygones réguliers {cf. Exercice résolu n" 2). Chercher, en particulier, les cas oii il y a des racines doubles (cas où les polygones sont symétriques par rapport à O.c, Oy ou O).

9. Calculer tang — connaissant tanga. En déduire une méthode de résolution de l'équation générale du troisième degré.

(On fait un changement de variabfe de la forme x = mj'-[-n, de

manière à pouvoir identifier l'équation en j- avec l'équation en tang — - )

10. Démontrer que cos^ - est racine d'une équation du troisième degré à coefficients entiers. (E. P., 1922.)