GE.NEKALITES SUR LA REPRESENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES

sépare, sur la surface S, la région éclairée de la région qui ne l'est pas. Cette dernière est habituellement couveile de hachures, dans les épures.

La ligne c est appelée ligne d ombre portée par S sur le plan E. Il est évident qu'elle limite la région de ce plan qui ne reçoit pas de lumière de la source P, à cause de l'-arrèt des rayons lumineux par la surface S. Cette région est aussi couverte de hachures.

Plus généralement, on peut considérer l'ombre portée par S sur une autre surface quelconque S'. C'est l'intersection de cette dernière avec le cône d'ombre. La réaion à couvrir de hachures est celle qui est intérieure au cône.

Lorsque le point P est à distance finie, l'ombre est dite au flambeau. S'il est à l'infini, l'ombre est dite au soleil. Dans ce dernier cas, on a l'habitude de prendre la direction des rayons lumineux inclinée à 45" sur la ligne de terre dans les deux pi'ojections.

On peut aussi considérer lombre portée par une ligne L sur une surface S. C'est la trace, sur S, du cône de sommet P et admettant L pour directrice.

6. Intersections. — I. Intersection cV une ligne L et d\ine surface S. — On coupe la surface S par une surface auxiliaire A passant par L et choisie de manière que l'intersection L' soit aussi simple que possible. Puis on prend les points de rencontre des deux lignes L et L . Ce sont les points cherchés.

11. Intersection de deux surfaces S e/ S). — On coupe par une surface auxiliaire variable A. Elle coupe les deux surfaces proposées suivant deux lignes L et L,, qui se coupent, à leur tour, en un certain nombre de points appartenant tous à l'intersection C. que l'on se propose de construire. Soit M l'un d'eux; on l'appelle />o//?^ courant, parce que, lorsqu'on fait varier A, il décrit la ligne C.

Il est utile de savoir construire la tangente MT en ce point à C. A cet effet, on peut employer deux méthodes.

Première méthode : Méthode des plans tangents. — On prend l'intersection des plans tangents P et P, en M aux deux surfaces. Cette intersection est évidemment la tangente cherchée.

Deuxième méthode : Méthode des normales. — On construit les

normales MN et MN, en M aux deux surfaces. La tangente cherchée doit être perpendiculaire à la fois à ces deux normales; elle est donc perpendiculaire au plan NMN,, lequel n'est autre que le plan normal à la courbe C.

Ces deux méthodes sont, au fond, identiques et ne différenl que par la plus ou moins grande facilité d'exécution de l'épure. On adopte la première ou la seconde, suivant qu'il paraît plus facile de construire les plans tangents ou les normales.

Cas n'EXCEi*TiON. — I. Les deux surfaces sont tangentes en M. — Les deux méthodes deviennent illusoires, parce que les plans tangents se confondent, ainsi que les normales. On sait d'ailleurs (t. II, n" 343j que, dans ce cas, l'intersection présente un point double en M, de sorte qu'en réalité, il j a deux tangentes. Pour les déterminer, on peut prendre les diamètres communs aux indicatrices des deux surfaces [loc. cit.). Mais cela donne lieu, en général, à une épure compliquée et la méthode est peu pratique. Une autre méthode est celle du cône d erreur. On appelle ainsi le cône qui a pour sommet le point double M et pour directrice la courbe d'intersection. Les deux tangentes cherchées sont évidemment situées sur ce cône. Comme elles sont, d'autre part, dans le plan tangent commun P. il suffit de prendre l'intersection de ce plan avec le cône d'erreur.

On sait (t. jll, n" 379) que le degré du cône d'erreur [est égal au degré de la courbe C diminué de deux unités. En particulier, si les surfaces proposées sont des quadriques, C est uue l)iquadrati(jue et le cône d'erreur est du second degré. Si l'on sait trouver un de ses plans cycliques, la construction précédente sera aisée.

II. Les plans tangents P et P, sont verticau.r. — La tangente dans l'espace continue à être détermin<^'e sans difficulté par Tune ou l'autre des méthodes indiquées plus haut; c'est évideuiment la verticale du point M. La seule difficulté se présente en projection horizontale, parce qu'on se trouve dans le cas d'exception du théorème

Si le point M est à dislance finie, la tangcnti' //*/ à la projection liorizonlah' est la trace (hi plan oscillateur en M à C. ( )n pcMit déterminer celui-ri m |ircnanl l'inferscition des cercles de )/cusnier