GENERALITES SLR LA REPRESENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES

(les deux surfaces i-elalifs à la tangente commune verticale (t. II, n" 33o). Ces deux cercles ont leur plan commun horizontal; ils se projettent donc en vraie grandeur et Taxe radical de ces projections est la tangente mt.

7. Surfaces limites. — Pour être certain que le point M décrit toute la courbe C, il faut faire balayer par la surface auxiliaire A tout l'espace contenant les deux surfaces proposées. Mais, il peut arriver que A ne rencontre pas C et, par conséquent, ne soit d'aucune utilité dans la détermination de l'intersection. Il est donc avantageux de connaître les surfaces auxiliaires particulières Aq, qui séparent les surfaces utiles des surfaces inutiles. Une telle surface Aq est appelée surface limite. Elle est caractérisée par la condition d'être tangente à la courbe C, car de deux surfaces voisines A et A', prises de part et d'autre de A,,, l'une donne deux points de la courbe C très voisins du point de contact Mo de Ao et l'autre ne donne rien.

Un cas particulier est celui où A(, est tangente en M(, à l'une des surfaces proposées, par exemple à la surface S. On dit alors que Ao est limite pour S.

Théorème [dit des surfaces limites). — ^Sf Aq est limite pour S, son intersection avec S, est tangente à C.

En efTet, si l'on détermine les tangentes aux deux courbes par la méthode des plans tangents, on aboutit à la même droite, puisque les plans tangents en Mo à A„ et à S sont les mêmes.

Il est oénéralement difficile de déterminer les surfaces limites. Un cas particulier où cela est possible est celui où l'on peut trouver une surface Aq circonscrite à S le long d'une ligne v. En tout point de rencontre de cette ligne avec S,, Ay est évidemment limite pour S (' ).

8. Points remarquables. — On appelle ainsi des points de l'intersection, auxquels on impose une certaine propriété caractéristique et qui jouent un rôle plus ou moins important dans l'exécution de l'épure ou dans la présentation finale du résultat. Les points remar-

(') Il ne suflit pus de prendre la surface A„ tangente à S pour pouvoir affirmer qu'elle est surface limite; il faut, en outre, que son point de contact soit sur S,.

quables que Ton cherche habituellement dans une intersection sont les suivants :

1° Points limites. — Ce sont les jjoints fournis par les surfaces limites. Ils ne sont pas utiles pour la représ('ntati(^n de l'intersection et leur recherche n'est justifiée que par l'importance des surfaces limites ( n" 7).

2** Points sur les contours a/iparcnls. — Les points de l'intersection situés sur les contours aj)parents horizontaux et verticaux des deux surfaces sont très importants au point de vue de la ponctuation, car ils séparent les parties vues des parties cachées. D'après le théorème II du n" !2, en un point du contour apparent horizontal de S, par exemple, la projection horizontale de l'intersection est tangente à ce contour apparent.

11 n'existe j)as de méthode générale simple pour trouver les points sur les contours apparents. Supposons, par exemple, qu'on veuille les points sur le contour apparent horizontal H de S. On lâche de trouver une surface contenant le contour apparent H dans l'espace et coupant S, suivant une courbe simple. En prenant l'intersection de cette dernière avec H, on obtient les points cherchés, dont on ne marque, bien entendu, que la projection horizontale.

Si r<»n n'aperçoit pas la surface auxiliaire désirée, on a toujours la ressource de couper par le cylindre projetant verticalement H. Autrement dit, on prend l'intersection des projections verticales de H et de C et l'on rappelle les points obtenus sur la projection horizontale de H. Cela est plus précis que de chercher directement les points de contact des deux projections horizontales, car le point (h' contact de deux courbes tangentes est toujours graphiquement très uial détermine ( >e procédé olTre toutefois l'incouvéuient d'exiger la construction de la projection verticale de II (pii, par adleurs, ne présente aucune utilité.

.i° /*(jints douhlrs. — Il \ a «les |)()iuts (b)ubh'S loiscjue les surfaces proposées sont tangentes ou lorsque l'une d'elles |u-ésfnte un point double situé sur l'autre. Quand on a obtenu un tel {)oint, il est bon lie chercher ^es tangentes. Dans le cas des surfaces tangentes, on apj)liqMi' I unr des méthodes iiidi(pièe> ;iii n" (>. I)aus le cas

GÉNÉRALITÉS SUR LA REPRÉSENTATION DES LIGNES ET liKS SURFACES. 9

OÙ le point est un point conique de S, par exemple, on jirend l'intersection du cône des tangentes avec le plan tangent à S, .

Poi/iïs doubles apparents. — Dans les deux cas envisagés cidessus, on a affaire à un véritable point double dans l'esjiace, qui donne un point double dans chaque projection. 11 j)eut arriver aussi qu'on ait, par exemple, un point double apparent en projection horizontale, qui ne soit pas la projection d'un véritable point double de l'espace. Ceci a lieu lorsque deux points P et Q de la courbe C se projettent horizontalement en un même point /«, c'est-à-dire lorsqu'ils se trouvent sur une même verticale. Les deux branches de la courbe C qui passent respectivement par P et par Q donnent, en projection horizontale, deux branches qui se coupent en m, ce qui constitue évidemment un point double. // /?')' a aucune dijjiculté à obtenir les tangentes en un tel point, car il >utHt de construire successivement les projections horizontales des tangentes en I* et en Q à la courbe C de l'espace. Ce qui est plus difficile, c'est d'obtenir les points doubles eux-mêmes.

()a peut quelquefois construire assez facilement une li^ne. appelée ligne des points doubles, sur laquelle ou est assuré que se tiouvent ces points. Voici, par exemple, comment on définit la ligne des points doubles en projection horizontale. < )n remarque que le milieu de PQ appartient à la fois aux surfaces diamétrales conjuguées des cordes verticales par rapport aux deux surfaces proposées. I/interseclion D de ces deux surfaces diamétrales se projette horizontalement suivant une ligne (/, qui pa?se évidemment par /??. C'est cette ligne d qui constitue la ligne de> points double? en projection horizontale. En prenant son intersectidu avec la projection horizontale de G, on obtient les points doubles eux-mêmes.

Dans le cas particulier où les surfaces S et Si sont des (juadriques. les surfaces diamétrales sont de> plans ( t. 11. n°463i; donc, la ligne des points doubles est une droite.

4" Points les pins liants et les plus bas. les plus à droite et les plus à gauche. — Les points les plus hauts et les plus bas de la projection horizontale, par exemple, sont ceux où la tangente est parallèle à la ligne de terre. Dans l'espace, la tangente doit être de front. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les plans tangents aux surfaces aient leurs frontales parallèles, ce que l'on reconnaît à ce que les traces verticales sont parallèles.

Les points les plus à droite et les plus à gauche des deux projections sont caractérisés par la condition d'avoir une tangente |)erpendiculaire à la ligne de terre. Dans l'espace, en un tel point, la tangente est de profil. On peut dire aussi que le plan des normales doit être parallèle à la ligne de terre.

CHAIMTRE I.

Ces points et les précédents «ont intéressants en ce qu'ils limitent la courbe clans deux direction* particulières de l'épure. Mais, leur inipoftance n"est toutefois pas très grande. Au surplus, ils sont souvent très difficiles à déterminer.

9. Branches infinies. — A la liste des points remarcjuables. il convient d'ajouter les points à l'infini de Cinterseclion. La construrlion des branches infinies et des asymptotes correspondantes présente évidemment une imjjortance ca])itale, au |)oinl de vue de la forme de la courbe.

Pour a^oii- les di/erfions asymptotiqitcs, on prend l' intersection des cônes des directions asymptoticjues des deux surfaces (t. 11. n° Î^SV)") en donnant à ces cônes le même sommet. (>haqiie i;énératrice commune G est une direction asymptotlque. Pour ayoir l'asymptote correspondante, on applique la méthode de> plans tangents (n° 6), c'est-à-dire qu'o/t prend l'intersection des plans asymptotes aux deux surfaces correspondant à la direction G. On peut quelquefois simplifiée cette dernière construction, en remplaçant les surfaces proposées par des surfaces plus simples qui leur sont asvmplotes, c'est-à-dire tangentes tout le long de la courbe de linfini. Il en est ainsi, en [larticulier, lorsque les surfaces données sont des quadricjues: on peut i-emplacer chacune d'elles par son cône asymptote.

10. Branches virtuelles. — Supposons que les deux suifaces proposées aient un plan de symétrie horizontal commun H. Ce sera évidemment un |)lan de svmétrie pour la courbe G. Deux points symétriques M et M se projettent horizontalement au même point m. Tous les points de la projection horizontale doivent doiu- être considérés comme des points doubles apj)arents (^n" 8).

Si le point M est imaginaire, le point M est iuiaguiaire ciuijugué et la droite (jui les joint est réelle (^1. H, n" 74-). La trace de cette droite sur le plan horizontal, c'e>t-à-dire le point m, est égalcmeut réelle. On voit donc qu'il peut exister des |H")inls réels de la projection horizontale ne correspondant à aucun point réel de la courbe de l'espace. Ces points constituent ce qu'on apjielle des branches virtuelles. Ces brauches ne doivent évidemment pas flgtircr dans l'épure termim'-e. Néanmoins, il pciil clr<' utile de les tracer au crayon, tout au moins m |>ailic. alin de mieux guidi r lo cxiremilés