GENERALITES SLR LA REPRESENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES. II

des branches réelles. En outre, il arrive que la projection horizontale complète est une conique (si la courbe dans l'espace est du quatrième degré). Dans ce cas, il y a lieu de déterminer les éléments de cette conique, parce qu'ils permettent facilement son tracé; et alors, on ne distingue pas, pour cette détermination, les branches virtuelles des branches réelles. En particulier, il est utile de savoir déterminer les asymptotes des branches virtuelles . auxquelles la méthode générale précédente ne s'applique pas, puisque les directions asjmptotiques correspondantes de l'espace sont imaginaires. Voici la méthode qu'on peut alors a[)pliqiier.

Soit une direction asymptotique d dune branche virtuelle. Tout plan vertical V, dont la trace horizontale o est parallèle à r/, coupe la courbe C en deux points à linfini imaginaires conjugués. Pour que Ô soit une asymptote, il faut et il suffit que V coupe C en quatre points à l'infini deux à deux imaginaires conjugués. On est donc ramené à trouver des plans verticaux coupant S et Si suivant des courbes ayant en commun deux ou quatre points à l'infini. Bornons-nous à indiquer la solution dans le cas de deux quadriques.

Four avoir les directions asymploliques. il faut chercher les plans verticaux V coupant les deux surfaces suivant deux coniques ayant mêmes points à l'infini, cest-à-dire suivant des coniques homothétiques (t. If, n° 409).' A cet effet, on peut remplacer chaque surface par une quadrique homothétique, par exemple par son cône des directions asymptotiques, lorsqu'il est réel. Pour mettre en évidence les deux plans cherchés, on circonscrit ces deux quadriques S' et S', homothétiques aux proposées à une troisième quadrique Q. Elles se coupent alors suivant deux coniques (t. II, n" 492), dont les plans sont les plans \ cherchés. On peut aisément démontrer ([ue la quadrique Q existe toujours, en vertu de lexistence du plan de symétrie commun H. Quant à sa construction, elle n'est simple que dans le ca* où les quadriques données sont de révolution ; on peut alors prendre pour Q une sphère quelconque inscrite, par exemple, à S. Nous reviendrons, avec plus de détails, sur ce cas, au Chapitre \ .

Une fois qu'on a obtenu une direction asymptotique f/, pour avoir l'asymptote correspondante ô, il faut chercher un plan V parallèle à c?, coupant S et Si suivant deux coniques ayant leurs quatre points d'intersection à l'infini, c'est-à-dire suivant deux coniques homothétiques et concentriques. A cet effet, on trace les deux diamètres conjugués du plan vertical passant par d, par rapport aux deux quadriques pioposées Ces deux diamètres se rencontrent en un certain point O (car ils sont tous deux dans le plan H, qui est diamétral conjugué des cordes verticales : cf. t. II. n" 464j. Le plan V passant par ce point répond évidemment à la question, de sorte qu'on a l'asymptote cherchée en menant une parallèle à d par la projection horizontale de O. '

12 CHAlMTItE I.

11. Ponctuation. — Supposons que les surfaces S el S, limitent respectivenienl deux corps solides opaques ( ' ). Leui' intersection étant supposée construite, on peut représenter Tune ou l'autre des trois combinaisons suivantes :

I. Ensrmhle des deux solides. — Voici les règles à suivre pour faire la ponctuation.

a. On j)onctiie les contours- apparents des deux surfaces, ainsi que linteisection C, en ne regardant comme vus que les points qui sont vus à la fois sur les deux surfaces.

b. On enlève (-) les parties des contours apparents de chaque surface qui sont intérieures au corps solide limité par Vautre surface.

II. Partie de S extérieure à S|. — a. On ponctue les contours apparents des deux surfaces, ainsi que V intersection C, en ne s' occupant, p^ur la visibilité, que de S; c est-à-dire qu^ un point est vu s'il est vu sur cette surface, quand bien même il serait caché sur S,.

b. On enlève les parties des contours apparents de S intérieures au corps solide limité par S,, ainsi que les parties des contours apparents de S, extérieures au corps solide limité par S.

c. On trace en trait plein certaines fractions de lignes, qui étaient primitivement cachées sur S, mais qui font maintenant partie du contour apparent, au titre de lignes d'arrêt (n° 3), par suite de la suppression de certaines parties de S.

III. Solide commun. — a. On ponctue les contours apparents des deux surfaces, ainsi que l'intersection C, en regardant comme vu tout point qui est vu sur l'une ou l'autre des deux surfaces.

b. On enlève les parties des contours apnarents de chaque surface e.rtérieures au corjts solide limité par l'autre.

c. On trace en trait plein certaines fractions de lignes qui

(') C'est la ronvenlinii hahiliielleiiienl adoplée. On peut aussi supposer t|nc les deux surfaces sont n'-alisécs malériclleiiionl, avec une épaisseur inliuinicnt petite, en les ronsi(ièr.int. en outre, soil contnic opaques, soit couinic lran<paronlos.

(^) On les trace iialiituclleijient en trait mixte lin.

GÉNÉRALITÉS SUR LA RRPRÉSENTATION DES LIGNES ET DES SURFACES. l'i

deviennent vues, comme faisant parlie du nou\'eau contour apparent^ ainsi qu'il a été expliqué pour le cas II.

Dans l'application pratique de ces règles, il est nécessaire d'esquisser la ponctuation au crayon, a\ant la mise à l'encre définitive, à cause de la règle c des cas II et III. Si l'on ne prend pas cette précaution, on s'expose à tracer en pointillé des portions de lignes qu'il faut ensuite tracer en trait plein. D'ailleurs, la ponctuation est toujours une opération assez délicate, pour qu'il ne soit pas inutile de l'arrêter avec soin au crayon, avant de la passer définitivement à l'encre.

Les règles que nous venons de donner ont simplement p<:)ur but de faciliter la besogne. Elles peuvent être inutiles pour ceux qui voient aisément dans l'espace et qui peuvent se figurer tout de suite l'aspect définitif de la combinaison de corps solides qu'il s'agit de représenter. Mais, pour cela, il faut avoir une grande imagination visuelle; aussi, croyons-nous qu'il est toujours prudent d'appliquer les règles, sauf si l'épure est excessivement simple.

POLYÈDRES. PRISMES ET PYRAMIDES

12. Polyèdres. — Un polyèdre se représente par les projections de ses arêtes.

Dans le cas d\in polyèdre convexe, la ponctuation des arêtes, ainsi que de toute figure tracée sur la surface, est facilitée par les théorèmes suivants :

Théorème I. — Si un point M intérieur à une face F est vu ou cache, il en est de même pour tous les points de cette face, sauf peut-être pour certains points du périmètre.

En ellet. remarquons d'abord qu'en vertu de la convexité du polyèdre, toute demi-droite qui en sort n'y rentre jamais. Il en résulte que si un point M de la surface est caché, en projection horizontale par exemple, le point M' situé à une distance infiniment petite au-dessus de lui est intérieur au poljrèdre, car, s'il ne l'était pas, la demi-verticale ascendante issue de M serait tout entière extérieure et le point M serait vu.

Cela posé, prenons, à l'intérieur de F, une aire A comprenant M et dont le périmètre P soit très voisin du périmètre Q de F, tout en n'ayant avec lui aucun point commun. Prenons ensuite, à la distance e au-dessus de A et de M. l'aire A' et le point M'. Si t est assez petit, l'aire A' est tout entière intérieure ou tout entière extérieure au polyèdre, car, si le plan de A' rencontre la surface du |)olyédre, ce ne peut être que suivant une ligne L qui tend vcr-> Q, quand £ tend vers zéro et qui finit, par conséquent, par envelopper complètement A'.

Dès lors, si M est caché, M' e*t intérieur au polyèdre et. par suite, aussi toute l'aire A' ; d'où il résulte que toute Taire A est cachée. Si, au contraire. M est vu. M' est exti-rieur au polyèdre, donc aussi A' et toute l'aire A est vue.

Notre raisiinnemcnl est \alal)lc si voisin que I* soil de Q. pourvu qu'il n'ait a\er lui aucun point comuiiin. Honr. loule la face F est vue ou cachée en Miènn ieinp< que M, à lexeeplioii petit-èlic de certaines parties de Q.

POLYEDRES, PRISMES ET PYRAMIDES. ID

Théorème IL — Si un point N du périmètre Q est caché, il en est de même de F.

En effet, nous pouvons trouver, au-dessus de N, un point I\' intérieur au polyèdre. Tout autour de ce point, nous pouvons prendre une petite aire horizontale a intérieure, elle aussi, au polyèdre. Nous pouvons ensuite choisir, à l'intérieur de F, un point iVl qui soit au-dessous d'un point de a et qui soit, par conséquent, caché. Nous sommes, dès lors, ramenés au théorème I.

Théorème III. — Si un point N du périmètre Q est vu et ne fait pas partie du contour apparent, la face F est xnie.

En effet, reprenons la démonstration précédente, en supposant, celte fois, l'aire a extérieure et, en outre, ce qui est permis en vertu de la convexité du polyèdre, à une distance infiniment petite au-dessus de N. Si F était cachée, on pourrait y prendre un point M caché et au-dessous d'un point M' de a. Comme M' est extérieur au polyèdre, la verticale MM' sortirait nécessairement du solide en un point M" compris entre M et M' et, par suite, infiniment voisin de M. Gomme on peut supposer M aussi voisin qu'on le veut de N, on voit que la corde MM' tendrait vers zéro, quand M tendrait vers N. Ce <lernier point apjiartiendrait donc bien au contour apparent. c. Q. F. D.

13. Intersection d'une droite et d'un polyèdre. — On cherche successivement les intersections de la droite avec toutes les faces du polyèdre, problème élémentaire que l'on sait résoudre, en coupant, par exemple, par un plan auxiliaire quelconque contenant la droite. Si le polyèdre est convexe, le nombre des points d'intersection est égal à zéro ou à deux.

Pour ponctuer, on représente, par exemple, la partie de la droite extérieure au polyèdre. A cet effet, on enlève tous les segments intérieurs au polyèdre ('). Puis, on ponctue tous les segments restants, en remarquant que, pour chacun d'eux, la ponctuation ne peut changer qu'en traversant une arête de contour apparent ; de sorte qu'il suffît, pour être fixé, de prendre un point quelconque du segment et de rechercher s'il est vu ou caché (-).

14. Intersection de deux polyèdres. — Pour trouver l'intersection de deux polyèdres P et P,, on peut chercher les intersections des

(') tresL-à-dire qu'on les trace en trait mixte (11° II).

(') Pour cela, on coupe le polyèdre par la verticale du point et l'on regarde si celui-ci se trouve au-dessus de tous les points d'intersection, auquel cas il est vu.

l6 CHAPITRE II.

faces de Vun avec les faces de l'autre ou bien chercher \es poi/its de rencontre des arêtes de P avec les faces de Pi et des arêtes de P, avec les faces de P. La première mélhode est i;énér;ileinenl plus simple, parce fpie le nombre des faces est inférieur au nombre des arêtes. Quelle que soit la méthode adoptée, il faut bien prendre garde de n'oublier aucune des combinaisons de faces ou bien de faces et d'arêtes susceptibles de donner cpielque chose dans l'intersection. A cet efTet, il est bon de préparer un tableau où figurent toutes les combinaisons de faces, par exemple. fViis, on marque du signe — toutes celles qui ne donnent rien ('), en indiquant, pour les autres, les segments obtenus, au fur et à mesure qu'ils sont construits.

Jonction des points. — L'intersection est constituée par une ou plusieurs lignes brisées, dont les côtés sont donnés par la première des méthodes ci-dessus et les sommets par la seconde. La limitation des côtés et la jonction des sommets exigent une assez grande attention et doixent être effectuées a\ec méthode. En particulier, si l'on a seulement déterminé les sommets, il faut prendre garde de ne pas joindre deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire situés dans deux faces différentes de l'un des polyèdres, en dehors de l'arête intersection de ces faces.

Pour être sûr de ne pas se tromper, on peut suivre la marche suivante : On part de l'intersection D d'une face F de I* avec une face F, de [*). On v prend un point M, qui soit intérieur à la fois aux deux faces. Puis, partant de ce point, on suit la droite D jusqu'à ce qu'on rencontre une arête A appartenant à lune des deux faces, soit, par exemple, à F. A partir de ce moment, on quitte la face F\ poui" passer sur la face consécutive F' de P, tout en restant sur la face F,. On suit alors l'intersection de ces deux faces, jusqu'à ce (ju'on rencontre une nouvelle arête et ainsi de suite. Ou eonliuue de la sorte jusqu'à ce ([ii'oii ait >y\\\\ tous les côti'-s nu passe piir tiui> les souimels.

Il n<;iit se faire, louleliu>. (pie le j)n|\i;one se ferme axant (pidn soit arrivé à ce résultat. Dans ce cas, on recommence, en parlant d un des côtés reslant> et ainsi de suite jusqu'à épuisement complet de tous les côtés et somnu-ls.

(') On peut miii<|iur. (i priori, ilii si;;no — toute roml)inaison di- dcuv tares ijui n'ont (uiciiii point contmun dnns l'une an moins des ileux projections.

l'Ol.YÈDRKS, PRISMES ET PYRAMIDES. I7

Une aiilre circonstance particulière qui peut se présenter est celle où le côté D sort simultanément de F et de Fj, en un point iV appartenant à une arête A de P et à une arête Ai de Pj. Il y a alois quatre côtés qui partent de ce point, à savoir les intersections des deux faces F et F' adjacentes à A avec les deux faces F, et F', adjacentes à Aj. Le premier, D, est seul tracé, de sorte qu'on jieul continuer le parcours du polygone en suivant indifféremment l'un ou l'autre des trois autres côtés, c'est-à dire en quittant l'une ou l'autre des faces F, Fj ou en les quittant toutes deux. Quelle que soit la combinaison adoptée, Jes deux côtés restants sont parcourus, cette fois sans ambiguïté, à un deuxième passage au point N.

Ponctuation. — On commence par déterminer^séparémeiit, pour chaque polyèdre, la liste des faces vues dans chaque projection. Puis, on suit les règles du n° 11.

lo. Prismes et pyramides. — Les prismes et pyramides sont des polyèdres ; on peut donc leur appliquer tout ce qui vient d'être dit dans ce Chapitre. En particulier, on peut appliquer à une pyramide les théorèmes I et 11 du n" 12, lotîtes les fois que la base est un polygone convexe, mais à condition toutefois de ne considérer qu'une nap]>e de la pyramide, c'est-à-dire de ne pas prolonger les arêtes de l'autre côté du sommet. Cette restriction est évidemment inutile dans le cas d'un prisme.

Pour les problèmes d'intersection, tout en restant dans le cadre des généralités précédemment développées, il y a lieu de signaler les métltodes particulières suivantes.

Pour trouver V intersection tV une droite et d'une pyramide, on coupe par xxw plan auxiliaire contenant la droite et le sommet S de la pyramide. (Si l'on a affaire à un prisme, on le considère comme une pyramide dont le sommet est à l'infini, c'est-à-dire que le plan auxiliaire doit être parallèle aux génératrices du prisme.) Ce plan coupe le polygone de base en des points que l'on joint à S. Les droites obtenues coupent la droite donnée aux points cherchés.

16. Intersection de deux pyramides. — Soient deux pyramides P et P,, de sommets S et S, et de bases B et B,. Pour construire leur intersection, on emploie la seconde des méthodes indiquées aun"li. c'est-à-dire qu'on cherche les points de rencontre des arêtes de chaque pyramide avec les faces de^l'autre.

A cet effet, on coupe les deux pyramides par une série de plans