II.VAG. — Cours, IV
auxiliaiies A, passant tous par la ligne des sommets SS, et menés successivement par toutes les arêtes des deux pyramides. Su\i^osons, par exemple, que le |)Iaa A soit mené pai' l'arèle Sm de W Il coupe la !)a>e B, en un certain nombre de points i/?2,, n^. v\v. Joignons ce> points au sommet S, ; nous obtenons des droites c[ui rencontrent S/« en autant de points qui sont des sommets de la ligne polygonale d'intersection {fig- i).
Fi-. I.
Remarque I. — Cette méthode est, en somme, la méthode générale des surfaces auxiliaires exposée au n" 6.
Remarque II. — On peut dire qu'on a cherché rintersectlon de la droite Sw avec P,. en sulxant la méthode indiquée au numéro précédent.
Remarque III. — Si, comme il arrive fréquemment, les bases de> deux pyramides sont données dans un même plan Q, la trace t). du plan auxiliaire A sur ce plan passe par un point fixe t, trace de la ligne des sommets.
Si les bases sont dans des plans différents (^ et Q,. ils sont percés par la ligne des sommets en deu r points t et 7, . par lesquels passent respectivement tes traces de A sur Q et su/- Q,. Les traces homologues 7'/. et a-, A| se rencontrent en un point variable tA île l'intersection I) (les plans Q et Qt {fig- 2).
Rem'fr/ue l\ , - Si i*, est un priMur. S, ol à linlini ; la li>;uc des sommets rst la parallrli' aux drctcs du prisme menée par le sommet de la pyriimidc.
POLYKOUES, PRISMES ET PYRAMIDES. I9
Si P et P, sont des prismes, la lii;ne des sommets est rejetée à l'infini ; les plans auxiliaires sont pata Hèles aux arêtes des deux prismes. Leurs traces sur le plan de base Q, par exemple, sont paral-
Fi-r. 2.
lèles à une direction fixe o, obtenue en menant par un point quelconque de l'espace des parallèles aux arêtes des deux prismes et joignant les traces de ces parallèles sur le plan Q.
17. Plans limites. — Pour plus de simplicité, supposons que les deux bases soient dans un même plan Q. Pour qu'un plan auxiliaire A donne quelque chose dans l'intersection, il faut et il suffit que sa trace o-À sur Q coupe à la fois les deux bases B et B,. Dès lors, la trace o-^o d'un plan limite est caractérisée par la condition qu'o// peut trouver une droite infiniment voisine ta' passant par a et ne coupant plus Vune des bases, tandis que tAo continue à les couper toutes deux {Jig'. i). La base qui cesse d'être coupée par -ta' a nécessairement un sommet «o '^ur tAq- On dit que le plan tÀo est limite pour la pyramide correspondante {cf. n" 7). Il peut arriver qu'un plan soit Jimite à la fois pour les deux pyramides. Dans ce cas, tÀq passe à la fois par un sommet de B et par un sommet de B,. Les arêtes qui aboutissent à ces deux sommets se renconii ent
Il est toujours très facile d'obtenir les plans limites. Il suffit de faire tourner une droite, d'une manière continue, autour du point a-.
Dès qu'elle cesse de rencontrer une des bases, elle donne une trace
de plan llmile.
Fig. 3.
Dans le cas où les plans de base sont différents, on procède d'une manière analogue, au moyen des traces âtu et À| t, -j..
18. Jonction des points. — Quand on a obtenu tous les sommets du polygone d'intersection, on effectue leur jonction systématique de la manière suivante.
On part de l'un quelconque d'entre eux ^I. On prend les points correspondants m et //?, des deux bases. Puis, on fait parcourir par ceux-ci leurs polygones de bases respectifs, en les assujettissant à se trouver constamment dans un même plan auxiliaire, c'est-à-dire sur une même trace ri/, ou sur des traces homologues tau, 1^'/.^'J.. Cliaque fois que l'un d'eux passe j)ar un sommet de la base qu'il décrit, on trouve, sur l'arête aboutissant îx ce sommet, un sommet du polygone d'intersection ; on le numérote, en faisant succéder les numéros consécutifs dans l'ordre naturel.
Lorsque le point w, par exemple, arrive à un plan qui est limite pour P, et non pour P, il doit rebrousser chemin ^ur la base B, le point /;?, ("ontinuant à parcourir B, dans le même sens. Si le plan est limite à la fois pour P et pour P,, il y a trois manières de continuer la jonction : on peut faire rebrousser chemin à //j, ou bien à //i,, ou bien à ni 1 un ni liuitre. (On se trouve alors dans le cas de rencontre de deux arêtes signalé au n" i\A
\, Quand on retombe sur le point M <h' (bparl, cela indicjue la fermeture du polygone. En général, si l'on \eul cimlinuer le parcours, on
POLYÈDRES, PRISMIÎS ET PYRAMIOE?. 21
décrit nécessairement le polygone cléja parcouru. Dans ce cas, s'il l'esté des points non numérotés, on prend l'un quelconque d'entre eux comme nouveau point de départ el Ion recomuience ainsi ju^qu'à épuisement complet de tous les points.
Il peut arriver qu'en retombant sur le point M de départ, on puisse continuer le parcours, sans retrouver des sommets déjcà numérotés de l'intersection. Cela indique que le point M est un point de rencontre de deu-v arêtes, c'est-à-dire que le plan auxiliaire correspondant est limite à la fois pour les deux, pyramides. Quatre côtés sont issus de ce point ; deux d'entre eux viennent d'être parcourus, on s'engage sur l'un quelconque des deux qui restent et, lorsqu'on revient de nouveau au point M, c'est en parcourant le quatrième côté. A ce moment-là, le polygone est définitivement fermé et, s'il reste des sommets non numérotés, il faut prendre l'un d'eux comme nouveau point de départ, ainsi qu'il a été expliqué précédemment.
Quand tous les sommets sont numérotés, on les joint dans l'ordre des numéros.
19. Pénétration et arrachement. — Supposons les deux bases convexes. On dit qu'il y a arrachemenl lorsque l'intersection ne comprend qu'un seul polygone. On dit, au contraire, qu'il y ^ pcnétralioii lorsqu'elle se compose de deux polygones fermés. Dans ce dernier cas, il y a une des pyramides, P par exemple, qui pénétre dans l'autre, en y faisant un trou, dont les deux polygones bordent les deux ouvertures. Chaque arête de P rencontre chaque polygone en un seul point ; au contraire, chaque arête de P| rencontre un seul des deux polygones en deux points ou bien ne les rencontre ni l'un ni l'autre.
On peut donner des règles permettant de reconnaître, a priori, par la disposition des plans limites, dans quel cas on se trouve. Mais, cela n'a pas un grand intérêt pratique, car on s'en aperçoit toujoairs, en faisant la jonction des points.
20. Ombres. — (luand un polyèdre convexe est éclairé par une source lumineuse L, chacune de ses faces F est ou bien totalement éclairée ou bien totalement dans VombrCi sauf peut-être les arêtes qui la limitent. Cela résulte du théorème I du n° 12, qui s'applique évidemment pour une projection conique.
