IL
(') On peut se borner à faire le calcul «le la plus siuipic, — > car le rapport
'Tiï doit èîrecgal au coeflicii-nl angulaire de la tangente (i), c'est-à-dire à — r-
234 <;nAi>rTaE xix.
donnée par l"é([ualion ( i ), ne coïncide pas avec la droite de l'infini. Celte
dernière ne fait donc pas })artie de l'enveloppe et la solution t^=: - est
une solution étranj^ère (').
rinalement, il ne nous leste plus (|ue la solution
(6) t'^jl,
qui va nous donner la véritable enveloppe. En remplaçant, dans (2), / par - t'\ nous avons les é(|uations paramétriques de cette enveloppe, soit
Elles représentent une courbe unicursale du septième degré, que nous laissons au lecteur le soin de construire.
Enveloppes t ■=. const. — L'é(|uation (i) est du second degré en },. En écrivant qu'elle a une racine double, nous avons immédiatement l'équation de l'enveloppe E^
Nous obtenons une parabole qui passe par trois points fixes, à savoir l'origine et deux points confondus avec le point à l'infini sur Ox. On. sait donc, à l'avance, qu'il ne reste sur cette parabole; lorsque L varie, ((u'un seul point limite variable. Elfectivement, dérivons (8) par rapport a t\ nous avons, en divisant |)ar ^■-,
(9 ) "ix -\- 'il- y = o.
De là, nous tirons ./■ et portons dans (8). Après suppression de la
o solution singulière vr=<>, il nous reste )■ = -^ t^ ; après quoi, (9) nous
donne x :^ t'.
Finalement, nous voyons que l'enveloppe des courbes E^ est la même
que celle des courbes E) .
(') Elk- sVxplique par le t'ait que l'équation (5) a été obtenue en écrivant que les tangentes à E-^^ et à son enveloppe avaient mèiue direction. Or, si cela suffit pour la coïncidence de ces deux droites, quand le point de contact est à distance (inie, il n'en est pas de même quand il est à l'intini.
THIiORlE UES ENVELOPPES.
Remarque. — On peut se demander si celte coïncidence est purement Corluite ou bien résulte d'une pro[)Osition générale. C'est ce dont nous allons essayer de nous rendre compte.
Soit une droite
(lu)
lî r n- C
dont les coefficients A, B, G sont des fonctions quelconques de deu\ ])aramètres indépendants u et c. Si Ton donne à r une valeur constante, elle envelop])e une courbe E,,, définie par (lo) et
du
du
dC du
Si maintenant c varie, E„ enveloppe une certaine courbe E. Soient M un point limite et T la tangente en ce point. Comme T est tangente à E^, c'est la droite (loi qui correspond au paramètre ç de E^, et an paramètre u de M sur E,,, lequel est une certaine fonction inconnue de c, soit u -^ o{v). On })eut évidemment considérer E comme l'enveloppe de la droite ï, c'est-à-dire de la droite (lo), quand u et c varient, en étant liés par la fonction o. Les coordonnées du point M satisfont donc à réfjualion
âv
âC
ou
âC
Mais elles satisfont aussi à (ii), })uisque M est sur Ej,. Dans ce? conditions, le coefficient de 9'(i') est nul et il reste
d.^ dW dC
— - ;r -4- -— r + -T- = « > dv av dr
l*]n définilise, les coordonnées du point M doivent vérifier les trois éf[ualions linéaires ( i n i. ( ii ), ( i 2 i, ce qui exige :
Ou du du =^ <»•
à^ àji dC
d^ dv dv
Celte éf|uation nous définit précisément la fonction inconnue (?{v) et l'on peut dire que 1*2 est l enveloppe de la droite (10) quand u et v varient en étant liés par ( i3). On voit que les rôles joués par les deux, variables // et v sont à présent symétriques; donc, la courbe E peut être
•23('> CIIAPIïKK MX.
indifféveitimenl regardée comme l'enveloppe des courbes E„ ou V^^,. La coïncideuce remarquée tout à l'heure n'était ]»as fortuite.
Le lecteur retrouvera très facilement les équations (6) et (7 1 en appli- (|unnl l'équation (i3) à la droite (i) et cherchant renvelo})[)e de cette droite, quand on a (6).
W. Les axes Oxyz étant rectangulaires^ on donne une droite \) parallèle à Oœ et rencontrant Oz. On considère le paraholaïde de révolution (11) obtenu en faisant tourner^ autour de Oz, la parabole de foyer 0 et de directrice \).
1" Trouver V enveloppe ( E) des sphères (S) (pii sont tangentes à D et ont leur centre sur ( 11 ) .
:>.° Trouver le lieu du centre des sphères (S) dont u n point de contact avec (E) se trouve dans un plan donné parallèle à xOy.
3° Trouver T enveloppe ( 1' ) des s/>hères ( S ) qui passent par un point donné M de Oy. Trouver l'enveloppe de (P), quand M décrit Oy. Que sont les earacléristiques de cette envelopjpe /
L'é(|uation du paraboloïde (11) est, en aj>pelanl a la cote de D,
(i) x"- + y- -^ -Kaz — r<-=^().
Si a, j3, y sont les coordonnées du centre m de (S), on a donc
D'autre part, pour y z^ i) et z ^n r/, 1j [Meinicr membre de l'écpiatiou de (S; doit se réduire à {x — y.)-. < 'n en conclut immédiatement que cette équation est de la forme
{?) ) u-^-H y^ -\- z"-- — 2 ax — ■>. ^y — '.y ; + a- — «-H- >,yaz=o
ou, en remplaçant y par la valeur tirée de (?. ),
(4) ^^ + j2^ ..î .^ax -- ■>.,Sj -r- ^-^ . -- [3'^3Z o.
Telle est l'équation générale des sphères (S), en fonction des deux paramètres arbitraires a et p.
i" Dérivons par ra[>jtort à ces paramètres (n" 'l^'l) : , ^ , ciz ^(z — a)
De là, nous lirons a eL 3. V.n portant ensuite dans (4)- l'ous avons l'é([iiation de l'enveloppe ( E)
ay-z
:■ —a z ( c — rt )- (- — aV-
oii, en chassanl les dénominateiirs et ordonnant par groupes homogènes.
I <j I c-( .1- -■- V- -- z- ) ~ lazi .x--^ y--+- z- ) -^ a-{X^- + z"- ) =. <k
La surface \\l) est une surface du quatrième degré, dont l'élude a élè proposée à iJ^xercice n" 9 du Chapitre X\ I.
•'." Les points limites de (S) sont sur la droite définie par les équ,;tions ( 5 ). Leurs cotes sont obtenues en tirant x Qi y de ces équations et portant dans (\ i,-ce qui donne, lous calculs faits i ' ).
Nous avons d"abord la S'ululioii z rz: a, à laquelle correspond le point de contact M de (S) avec D. L'autre point limite N, qui est seul a décrire toute la surface (E ). esl donné par Téquation ( ' )
S'il reste dans un plan fixe parallèle à rOy, sa cote ; demeure constante. Le centre w de (S) décrit alors une biquadratique gauclie, intersection de (11) avec le cvlindre du second degré représenté p;ir l'équation (8). où Ton regarde a et j3 comme les coordonnées courantes ( •' I.
En Icnnnl conipie de (2), celle équation j)eut aussi s'écrire
D'oii il résulte que noire biquadratique se projette sur yOc suivant
une parabole d'axe O^, de sommet A et de paramètre — *•
3" Si /. désigne 1 ordonnée de M, on a, en faisant ./• z= o, y ^ )., z =io
(') Ordonner |iar rapport a a- il [>-.
(-') Si l'on lirait^ de celle ('quaLion et i|u'on porte ensuite dans (5), on obtiendrait des équations paramétriques ralionnellts île la surface (E), qui est donc unicursalc.
(•') Ce cylindre nV-sl réel (jue si c est compris entre zéio cl 2«, auquel cas il est liyperitoliquc.
dans l'équation ( 4 ),
( ro)
CIIAI'ITRF. \1\.
Si A demeure constant, il en est de même de jS et l'on peut dire que les sphères (S) qui passent par M se rangent en deu\ classes, obtenues en remplaçant successivement, dans (4), (3 par les deux racines de l'équation (lo). Nous allons donc, tout simplement, regarder j3 comme constant dans l'équation (4) et chercher Tenveloppe (P) de (S) dans ces conditions.
Le paramètre a, qui demeure leseul variable, figure au second degré. Nous pouvons donc écrire immédiatement l'équation de notre enveloppe (n"272j :
;[rt(.r5 4-y-
Celte surface est une cjclide ( n° 08:^) ilu troisième degré. Le cercle caractéristique de (S) est défini par l'équation (4) et par l'équation dérivée par rapport à a. soit
y.z — ax r^ I ) .
Il passe par deux points fixes, situés sur O )' et dont les ordonnées sont les deux racines de l'équation (101 en \. Ceci était, du reste, à prévoir, puisque la sphère (S) passe constamment par ces deux points, quand [3 reste constant.
En outre, il s'appuie constamment sur D, car il passe i)ar le point de contact de (S) avec cette droite. Cela nous donne un mode de génération très simple de la cyclide (P).
Clierchons maintenant l'enveloppe de (P), lorsque [3 varie. L'équation (1 I ) est du second degré ])ar rap])ort à (3. Nous pouvons donc encore écrire immédiatement l'équation de cette enveloppe. Au facteur ; près, on retombe sur l'équation (6).
Le facteur ; ne corresj)ond pas à une partie de l'enveloppe, car, ])Our ; rir o, l'équation (11) se réduit à .r-zno. Le plan des xy coupe (P) suivant la droite y?.ze Or. 11 lui est d'ailleurs tangent tout le long de cette droite, comme on le constate en transportant l'origine en un point quelconque de Oy.
La véritable enveloppe est la surface ( E) de lotit à l' heure. Cela était du reste à prévoir, en vertu du théorème de l'Exercice i)roposé n° IG.
Pour avoir la courbe caractéristique, dérivons (ji) par rapport à (3. Après suj)pression du facteur z, qui correspond à la caractéristique sin-
TIIKORIE DES ENVELOPPES. Sog
gulière Oy, il reste ^
(.3) ^{=.-a)-ay=--o,
(|iii représente un plan passant par D. La droite D est aussi une caractéristique singulière, car elle fait partie de toutes les surfaces (P), comme nous l'avons remarqué plus haut.
En dehors de D, le plan (i3) coupe (Pi sviivant une conique, qui est nécessairement un cercle, ])uisque (P) est une cvclide. Ce cercle est ht véritable earaclérisliqtic cherchée,
i. Déterminer les courbes dont les tangentes s'appuient si//- une courbe donnée. Application aux courbes de longueur nulle.
Soit (C) la courbe donnée. Toute courbe (y), dont les tangentes s'appuient sur fC), est l'arête de rebroussement d'une développable passant par (C) et dont les })lans tangents sont, par consé([uent, tangents à (C). Réciproquement, si une dévelo})pable est renvelo])])e d'une famille de plans tangents à (C), toutes ses génératrices s'appuient sur (C) et son arête de rebroussement fait partie des courbes cherchées. De là résulte la solution suivante :
En chaque point de (G), on mène un plan langent quelconque, variant, le long de (C). suiiant une loi arbitraire. Ce plan enseloppe une développable dont l'arête de rebroussement est la plus générale des courbes demandées.
Cette méthode peut s'appliiiuer même dans le cas où la courbe (C) est à l'infini. Le problème revient alors à chercher les courbes dont les tangentes ont un cône directeur donné. On les olnienl comme arêtes de rebroussement des développables envelo|)i)ées par dos ])lans ]>arallèles aux plans tangents à ce cône.
A})p!iquons ceci à la recherche des courbes de longueur nulle, c està-dire à tangentes isotropes i n° 180). Toutjilan tangent au cône isotroj)e de sommet O a une équation de la forme
Il a./H- yjK — 7-^ = '^)
Or, on peut satisfaire identiquement à relte dernière condition en
prenant
•.'-4o CHAIMTRE XIX.
Dès lors, réqualion (i) devient
i{ i -A- t-).v + {i — i-)r -h 2 Iz Tizo.
L ne famille quelconque de plans isotropes sera définie par une équation de la forme
( 2 ) i{\ — t-)œ + il — t-)y -{- 2t:. = 2f{i),
où fit) dési;^iie une fonction arbitraire de t. L'arête de rebroussement de l'envelo})})e de. celte famille est déterminée par l'équation ( ?/) et les équations déri\ ées première et seconde, soit
t{Lr—r) -h z=f'{l), /,r — r — f"{t).
Résolvant le système {■->.), (3), (.'|) par rapport à ./,}', r-, nous obîenons les é [nations i>aramélriques de la courbe de longueur nulle la plus cénéiale
^Vv
Ces équalions servent de base à d'importantes recherches de Géométrie supérieure (' ) .
EXERCICES PROPOSÉS
