Soil la droite D

Trouver son enveloppe en y considérant successivement t et A comme seule variable. Trouver ensuite V enveloppe de ces enveloppes.

Enveloppes /. = const. — I^'équalion (i) est du troisième degré par rapport à t. On peut assez aisément exprimer qu'elle a une racine double, en éliminante entre les deux dérivées. On obtient ainsi l'équation implicite de l'enveloppe, qui est du quatrième degré en a, y et du septième degré en ).. Mais on ne voit guère le moyen d'en tirer parti.

Essayons plutôt de calculer les é(iuations paramétriques de renveloppe (ii° 272). Pour avoir des calculs simples, divisons (i) par t et dérivons s iulement ensuite par rapport à t^ de manière à éliminer du même coup x.

'ini:OUlE DES ENVELOPPES.

Nous pouvons alors calculer y, puis /■, en portant dans (i). Ces calculs sont faciles et donnent

L'enveloppe E> est une courbe unicursale du f[uatrièrae degré. Les équations [■>. ) permettraient de la construire aisément, pour toute valeur

numérique attribuée a /.. Les dérivées -r— et -r- > qui servent pour cette

construction (n° 2V'2 i. sont, en elTet ( '),

dx 2 À- ( Z^ — /. I- ôy X l- / (7^ -I- 7. )

dt

ôt

ioA^—'i.y- '

l'étude de leur signe est immédiate.

Tour déterminer l'enveloppe des courbes E> , appliquons maintenant la méthode du n° 270. On a

ôx Â^(4^' — 13>.^'+ 4>'> Oy 7.i-(^i^ — '/.)

dt. "^ d'où l'éijuation

{■xf—\)'-

i' }^ ( À ^ t^)(8f'^Mr/.f'^3 }.2 ) =

La solution ^ ir^ u nous donne l'origine comme });int liniile, solution singulière sans intérêt.

La solution /^m — /. nous donne trois points de rebroussement de L>

(dont un seul réeh, puisque, lorsque cette égalité a lieu, lesdérixées

âr ôv , , , ^/A » /^' • I •

— — et -;— s annulent toutes deux in" 202 1. L. est aussi une solution dt dt

singulière ( n° 27o i.

<Juant au dernier facteur, trinôme du second degré en t^, il sannule

pour r^:= - et l^'^ y}.

l'our l^= -} x et y sont infinis. Mais la tangente, <|ui est toujours