MF + MF

Prenons pour origine le milieu de FF', pour axe des x la droite FF' et un axe des r perpendiculaire et cherchons l'équation de Tellipse par rapport à ces axes. Nous appliquons la méthode directe (n° 58). Soient .r, y les coordonnées du point M. On a (n" 161)

(2) MF = /- = v/(.-r — c)- + j-, MF'=/-'— \/(x + c)^ + 7^ Portons dans (i); nous. avons tout de suite l'équation demandée

(3) \/{^ — cf-^ y'+\l{x -+- c)--+-7-=:2a. Pour la rendre entière, isolons un radical

(4) • ^(.r c)^+ 7--== 2« - \/(.r + c-)-^ + 7^; puis élevons au carré; il vient, en simplifiant.

(5) — 4c.r z=:4rt-— /4«\/(-*' + <^)' + 7'' ou

(6) a\/{x ->rc)- + y-= a--V-cx.

(') i\e faire les Exercices de ce Chapitre qu'après avoir In les Chapitres VI, VII, XI cl MI.

LIEUX GÉOMÉTHIQUIiS. 33.

Elevons une nouvelle fois au carré; nous trouvons, tous calculs faits,

Il s'agit de voir maintenant si l'équation (-) est bien équivalente à (3)^ uialgré les élévations au carré. A cet effet, remontons la chaîne des équations (7) à (3). L'équation (7) n'entraîne (6) ou (5) que si

(8) a-+ cx>o.

Puis, (5) n'entraîne (4) ou (3) que si (9)

2rt > ^/(X H- C j--h J-.

Or, nous avons supposé a >> c; il en résulte, d'après (7 ), que — <i, |./'|<a, |cx|<r/c<rt-,

ce qui entraîne nécessairement (8). L'équation (6) est donc vérifiée.. On en tire

c'est-à-dire (9). Finalement, (7) érjuivaul bien à (3) et représente l'ellipse.

Voyons maintenant ce quelle représente, clans l'hypothèse a<^c.. D'après (7), nous avons

— > [ , I ^ I > rt, \cx\> ca> a^.

Donc, «^-|- CoT a le signe de c.r, c'est-à-dire de a:. 5i .^' >> o, on a (8), donc (6) ; donc

Dès lors, (g) n'étant pas vérifié, on a, non pas (4), mais (12) c'est-à-dire

IIaag. — Exercices, II.

Si :r < o, on a, au lieu de (6),

( 1 4 ) o v/(^ + cy-^y = -

ou, au lieu de (5),

4C^z= 4«'^+ l^a^{.v + cj-H- j2

D'autre part, d'après (i4)t on a

r'=: — a donc,

la -\- r' ^^ a > o

puisque x <Co\ donc, (i5) entraîne

(i6) /• — i' z=i na.

Les équations (i3) et (i6) définissent les deux branches de l'hyperbole qui a pour foyers F et F' et pour axe transverse • 2 a. Nous voyons donc, en définitive, que V équation (-) représente toujours une ellipse si a~:> c, auquel cas on pose a'^^c^-=^b-^ l'équation (j) devenant

Si a<iCy elle représente toujours une Iiyperbole : on pose

et l'équation s'écrit

2. Soient une droite fixe A et un point fi.re O extérieur à cette

droite. Un angle de grande,ur constante AOB tourne autour de son sommet O. Ses côtés rencontrent A en A et B. Trouver le lieu des points de rencontre M des perpendiculaires AM à OA et BM à OB.

LIEUX GKOMJÏTBJQLES. 35

Prenons pour origine le point (J, Taxe des x perpendiculaire et l'axe des y parallèle à A. Soit x ■=z a l'équation de A.

Nous allons former les équations des droites AM et BM en fonction d'un paramètre. Il s'agit d'abord de choisir ce paramètre. Si nous connaissions les angles polaires de QA et de OB (arbitrairement orientées), nous aurions facilement les équations de AM et de BM sous la forme normale (n° 65). D'autre part, il est avantageux de ne pas détruire la symétrie des rôles joués par OA et OB. Dès lors, appelons o — V Tangle polaire de OA et o -i- V celui de OB; de sorte que

(oA, Ob)~9-+-V — (9-V) = 2Y (1 En projetant le vecteur OA sur Or. nous avons a ^ O A cos (9 — V ) ;

d'où

cos(cp — V) L'équation de AM s'écrit, dès lors,

(i) .rcos(o-V)+jsin(9-V)- ^— ^— ^ =

Celle de BM s'en déduit par le changement de S en — V :

( 2 ) X cos ( o -f- \' ) -+- y sin ( C2 H- Y )

cos( c; + V

Deux méthodes se présentent maintenant : celle de Téliminalion et celle des équations paramétriques. Nous les emploierons successivement toutes les deux, en commençant par la seconde, qui nous paraît la plus simple.

Méthode des équations paramétriques. — Nous résolvons le système (1), (2) par rapport à x, y\ on trouve sans difficulté, en faisant les combinaisons linéaires (i)sin(9 + V) — (2)«in'o — V) et — ( I ) cos ( o + V ) 4- ' 2 ) cos ( o — S ) ,

a cos 2 9 a cos 2 9

., , cos ( 9 -F- Y ) cos ( 9 — V ) "" cos- 9 cos^ Y — sin- 9 sin- Y '

a?in2CP a sin 2©

COS! 9 4- V) cos (9 — V) ces- 9 cos- V — sin- 9 sin'''\'

Cj 5 est l'angle polaire de la bissectrice.

Si l'on pose tango = ^, on a aussi

a(i — t-) "iat

cosn^— i^sin^V - cos^V — ^-sin^V

Le lieu est donc une courbe du second degré (n° 563).

Le cliangement de t en — t montre qu'il admet O.r pour axe de

symétrie, ce qui était du reste évident a priori. Les sommets de cet axe

sont obtenus pour ^ =r o et ; = cc; leurs abscisses sont —r- et -: — -p, ■

* cos- V sin-\

Leur milieu, qui est le centre de la conique, a pour abscisse — . ^.^ rr? •

' ^ -1 ' r 2Sin^ V cos^ V

Enfin, les formules (3) nous montrent que les directions asjmpto-

tiques ( n"^ 230) sont données par o±V=:-; elles ont pour angles

polaires — 2 V et + 2 V. En les menant par le centre, on a les asymptotes.

Finalement, le lieu est une hyperbole, dont nous connaissons les asymptotes et les sommets réels.

Dans le cas particulier où V=:=-fj AOB = — ? les sommets sont

confondus et ont pour abscisse commune 2 «7. Les asjmptotes sont également confondues avec la parallèle A' à Oy menée par le sommet double. L'hyperbole se réduit à cette droite A', hbmothétique de A par rapport à O et dans le rapport 2. Ce résultat est d'ailleurs évident géométriquement.

Méthode par élimination. — Il s'agit d'éliminer o entre (i) et (2). L'équation (i) s'écrit

^(coso cos\ -h sincp sin V)- -hy(sincp cosV — sinA'^ cos 9)

X (cos 9 cosV -h sincp sin ^ ) — «(cos^o -f- sin^o) = o

ou, en divisant par cos-o et posant toujours tangtp = t,

(5) .x'(cos\' -\- t sin V)^-f- J'(^ cosV — i>\u\)

X (cosV -h l sin V) — a(i -h f^) = o.

On aurait Téqualion (5') de BAI en changeant V en — V. Mais, il est avantageux de remplacer le système (5), (5') par les deux équations qu'on en déduit par addition et soustraction, lesquelles peuvent être écrites directement, en annulant séparément les termes de degré pair et

LIEIX GÉOMKTRIOIES. ^7

les termes de degré impair en sinV :

\ x(cos2V4-r-sinn')-T-yi(cos2V— sin^V)— «(i ^r-) = o.

^ /2(.r sin-V — a ) -^ ty cos2\ -\- .r cos-V — a o.

Éliminons t entre ces deux équations du second degré (t. I, n° 234) :

y2 ( ^ 2 rt )2 ( 2 ,r- si n- V — 2 x « — y- cos 9, V )

X ( j2cos2\' — 2.r2 cos'V — 2:ra) = o.

Nous obtenons une équation du quatrième degré. Or, nous avons vu plus haut que le lieu était du second degré. Nous devons donc avoir en facteur une solution singulière {'). Effectivement, si l'on développe et si l'on ordonne par groupes homogènes, on obtient

(^2^ y2) (^r'sin-2V — y^cos-2V — 4«•^ + 4«■l = o• Notre équation se décompose en (-) ^2sin2o\ V-COS-2V— 4« r-i- 4«^= o,

qui représente Tliyperbole trouvée précédemment, et

qui représente les droites isotropes du point O (n° 161), lesquelles doivent donc constituer la solution singulière.

Effectivement, cherchons la racine commune aux deux équalions (6) en t (n° 59). En éliminant t-, nous avons

^9) '~ j'-cos2V-f- 2a.r — 2.r-sin"-V

(') Celte équation est indépendante de V. Elle représente une droite passant à l'origine et d'angle polaire 2 s. Ceci nous montre que

(ox, Om) = (o^, Oa) -t- VOa;, Ob),

propriété d'ailleurs facile à vérifier géométriquement.

(M Ce n'est pas une solution étrangère, car notre élimination a été faite au moyen du résultant et non par des combinaisons linéaires (t. I, n° 231).

Si l'on suppose / = ïa:, on trouve

quantité constante. Pour cette valeur de t, les quatre droites OA, OB, A]\I, BM sont confondues avec la droite isotrope j'=: ia:.

Au reste, ceci est facile à expliquer géométriquement. Les droites AM et BM se confondent s'il en est ainsi des droites OA et OB. Or, celles-ci sont les rayons homologues de deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles sont les droites isotropes du point O (n° 164). Donc, OA et OB ne peuvent se confondre que suivant une de ces isotropes, auquel cas AM et BM sont aussi confondues avec celte même droite, puisqu'une isotrope est à elle-même sa propre perpendiculaire (n° 164).

3. On donne deux droites O r et Oy et un point P dans leur plan. Par ce point, on mène deux sécantes variables quelconques PAB, PA'B'. Trouver le lieu du point de rencontre des droites AB' et BA'.

Prenons O.r et Oy pour axes de coordonnées. Soient (.ro, r'o) les coordonnées du point P. Pour plus de symétrie, introduisons les quatre paramètres

a = ÔÂ, [3 = OB, a— ÔÂ7, ,3=0^.

Les équations de AB, A'B' sont (n° 70)

En exprimant qu'elles sont vérifiées par les coordonnées du point P, nous avons les deux conditions

D'autre part, les équations des droites AB' et BA' s'écrivent

y- j Cf. jj .

Pour avoir Féqualion du lieu, il faut éliminer a, [3, a', (3' entre les quatre équations (il et (2). Nous avon?i autant de paramètres que d'équations, ce qui était du reste à prtMoir, car les droites AB' et BA '

dépendent de deux paramètres indépendants. On se trouve donc dans le cas singulier signalé au n° 60. Pour reconnaître s'il y a véritablement un lieu, essayons de résoudre le systènae (i), (2) par rapport à a, [3,

cz', ,3'(n°60).

Hetranchons les deuxièmes équations (i) et (2) des premières :

Si le déterminant .r/o + J^^o n'est pas nul, on a

Le système est compatible, comme le vérifie aisément le lecteur; mais, y. = y.\ 13 = [3'; les droites FAB, PA'B', AB', A'B sont confondues,' ce que nous ne devons pas admettre. Si donc on veut que les droites PA, PA' soient distinctes, il faut avoir

(4) ■ .^Jo + /-^o Su-

cette condition étant remplie, il est aisé de constater que le système

f I I I (i), (2) admet une infinité de solutions en -, ^> — ,> g^-

Finalement, le lieu existe bien et a pour équation l'équation (4) ou

qui représente une droite issue de O et conjuguée harmonique de OP par rapport à 0^^ 0/ (n° 133).

i. Lieu des segments de grandeur constante qui s'appuient sur deux droites données de l'espace.

Les deux droites données D et D' jouent le même rôle. Il faut donc prendre des axes ne détruisant pas leur s^^étrie. Voici comment on

procède.

Prenons pour axe des z Va perpendiculaire commune, l'origine étant équidistanle des deux droites. Puis, prenons pour axes des x et des y les bissectrices des parallèles à D et D' menées par O {fig. ^)-

La position de D, par rapport au trièdre trirectangle ainsi obtenu, se

définit par ÔÂ = /i et {Ox, d) =r a. Gela nous oriente du même coup

ia droite, ce qui peut toujours être utile. Pour D', il suffit de changer h en — A et a en — ^ (M-

Cela posé, définissons le segment MM' par

AM=p, AiM'=p'.

Ces deux paramètres p et p' sont liés par la relation qui exprime

Fig. 4.

que MM' a la longueur donnée, que nous appellerons 2/. Les coordonnées de M et de M' sont

M(p cosa, p sin a, h), M'(p' coscz, — p' sina, —h).

Nous avons donc { n° 177)

(i) (p — p')* cos-a -{- (p ■+■ p"f s'm^a -+- [\h^ = 4 /-.

Cherchons maintenant les équations de la droite MM'. A cet efi'et, nous allons prendre, par exemple, les équations des plans (D, M') et (D', M). La première est de la forme (n° 90)

(^sina — y coiy.) -\-').{z — h) = o,

(') Le sj'stéiue d'axes que nous \cn()ns de définir est frcijiunmienl employé. Quand les deux droites ne sont pas parallèles et qu'on ne lient pas à rorlliogonalilé désaxes, ou quand les deux droites sont perpendiculaires, on peut aussi prendre Ox jiarallcle à D et Oy parallèle à D'.

avec la condition

(3) p' sina C03 3C = À /«.

qui exprime que (2 ) contient M'. De (3), on tire /.. En portant dans (2), on a l'équation du plan (D, M'j. En changeant h en ~ h, a en —a, 0 en p'. on a l'équation du plan (D', Ml. Finalement, les équations de MM' sont

, \ h{x s\ny. — y cosy.) -\- 0' (z — /j) sina cosa r= o,

/ h{x s\\\y. -\- y cosy.) — p(.3 + A) sina cosa = o.

Nous aurons l'équation du lieu en éliminant p, p' entre ( i ) et (4)- Rien n'est plus facile. De ( 4 ), nous tirons

z -{- h \cosa sina/ ' li — z \cosa sina/

2 A f hy zx \ , 2h [ h x zy

sina ces a y ' ' h-— z-\cosy. sina

Portant dans ( i), nous avons, en divisant par -—

(5) {zx — hycoly.)^-}- {zy — hx langy)^= (^ — ' ) O^— A"^)'-

Telle est l'équation du lieu. Elle représente une surface du quatrième degré, dont les sections par les plans parallèles à xOy sont des ellipses.

On peut aussi calculer les équations paramétriques du lieu. Les paramètres directeurs de MM' sont ( n° 25)

(p — p'jcosa, i p 4- p'i sina, 2 A.

Le milieu de ^L\i' a pour coordonnées ( n° 23)

sina. o.

Les équations paramétriques de MM' peuvent s'écrire ( n° 95)

-^ cosa -h w( p — p ) cosa,

^ ' ' y = ■ '— sm a + « ( 0 H- p ) sin a,

z = 2hu,

4i CHAPITRE V.

D'autre pari, si roii pose /-—/*- = a-, on peut satisfaire idenliquement ■

h Téqualion (i) eu posant

(-) (p — p') cosa = 2« cosc, (p + p' j sina =: 2a siu c. a

Portant dans (6), nous obtenons

a: = a{ cota sm c + j cosc ),

y := a[ tanga cosr -i- y sin p |,

Telles sont les équations paramétriques du lieu, où i' et z sont les deux paramètres.

En posant lang- =: /, on voit que la surface est iinicursale.

En supposant c- constant, on voit aussi que les sections par les plans parallèles à œOy sont des ellipses.

5. On donne deu-v droites D et D' et un point A dans t'espace. Par D et D', on mène deux plans quelconques (P) et (P'); puis, par A, on mène un plan (Q) perpendiculaire à leur intersection. Lieu du point commun à ces trois plans.

Adoptons les m^èmes axes et les mêmes notations que dans lexercice précédent. Soient, d'autre part, .Tq, ^q, ^o les coordonnées du point A. Les équations de (P) et (P) sont de la forme

( .rsina — y cosx ~h'l(z — h) =z o, (i) -^

/ j? si n a -f- y cos a -h |ul ( ;; -t- A ) = o,

}. et f;. désignant deux paramètres arbitraires. L'intersection de ces deux plans a pour paramètres directeurs ( n" 9i)

— ( /, 4- /JL j cosa, ( }. — l'jLjsina, 2sinacosa. L'équation du plan (Q) est donc

( 2 ) — {X — a'o ) ( A + p. ) cos a

H- (y — r'o) (?. — ^) sin a -h 2(3 — z-o) sin a cosi^ = o.

Nous avons deux paramètres indépendants. Le lieu est donc une surface, dont nous aurons l'équation en éliminant >., /j. entre (i) et (2).

Tiraiil /. et p. de (i) et portant dans (21, on trouve sans difficulté

( 3 ) (X — a^o) (zx — hy cet 5: 1

+ (y — yo) (-37 — /'-^ tanga) -+-(:;— -0) (-'— à'' ) = o.

Le lieu est une surface du troisième degré. Les termes de plus haut degré sont z ( x^ -\- y- -'- z- ) \ cette surface est donc une cyclide (n° 582).

On pourrait aisément en avoir les équations paramétriques, en résolvant le système ( i ), (2) par rapport à oc, y, z. Il est alors avantageux de

substituer à À, [j. les paramètres u —

/. -h IL

et i-

On obtient

évidemment des expressions rationnelles en «, c. que nous laissons au lecteur le soin de calculer.

6. Soient trois axes rectangulaires Oxjz, un point fixe A sur Ox et la parallèle A à O >' menée par ce point. On prend un point M sur Oz et un point N sur A tels que OM =: AN. Dans le plan MAN on décrit un cercle de diamètre AM. Ce cercle coupe la droite M\ en un point P dont on demande le lieu.

Le point P peut être défini par l'intersection de la sphère de diamètre A.\L du plan ^LV\ et du plan MON {fig. 5). Cherchons les

Fi-. 5.

équations de ces surfaces. Soient 2a Tabscisse de A, 2/ la cote de M et l'ordonnée de N. Nou>- axons, pour la sphère, le plan MAN et le plan OMiN,

les équations respectives

(i) jc- H- V- -f- c- — lax — 2/.c=o,

Le point P étant le seul point commun à ces trois surfaces qui soit inconnu, nous devons pouvoir calculer ses coordonnées par des opérations toutes rationnelles. Effectivement, de (2) et (3) nous tirons

/. ( 2 rt — ^1 /. .r

Portons dans (1),

>.- x'^ '/:- (ia — x)"- 2 >.- (■ 2 a — X )

C:;tle équation doit admettre la racine ,r = o, qui correspond au point M. Et, en effet, on constate que les termes constants f\\' et — L\t} se détruisent. Après suppression du facteur :r, il nous reste une équation du premier degré, d'où nous lirons

Porlant dans (4), nous avons y et z. Finalement, /es équation'i paramétriques du lieu sont

( 3 .' -^ = — Ti — ~ ' y

Elles représentent une cubirjuc gauche.

Si, au lieu de chercher les équations paramétriques, on procédait par élimination, on obtiendrait une surface du second degré et deux surfaces du troisième degré, qui doivent admettre la cubique ci-dessus comme courbe commune. Gela serait un mode très compliqué de représentation du lieu {cf. n° 63).

EXERCICES PROPOSÉS

1. Etant données deux droites Ox et Oj^ dans un même plan, trouver le lieu des points dont la somme des distances à ces deux droites est constante. Même question pour la somme des carrés des distances.

LIEUX GKOMÉTRIQIES. 45

[Prendre les droiteâ coinme a\.es de coordonnées, en inlroduisant l'angle des axes. Si l'on prend les dislances en valeur absolue, le premier lieu est le périmètre d'un rectangle.]