Equation de la parabole
3. Etant donnés ii points A,, A,, . . ., A„ et // coefficients //?,. ni^
/«„, trouver le lieu des points M tels que
itii MA, -r- ni^ MAj H-. . .-T- m,^ MA„=: const., soit dans le plan, soit clans l'espace.
\. Etant donnés une droite et un point fixes, trouver le lieu des points dont la somme des dislances ou des carrés des distances à cette droite et à ce point est constante.
.0. Soient deux point> fixes A. B et une droite fixe A rencontrant AB. Trouver le lieu des points M tels que les droites MA, MB interceptent sur A lin segment de longueur constante.
6. On considère les cercles tangents à deux droites données. On les associe deux à deux de manière qu'ils se coupent à angle droit. Trouver le lieu lie leurs points de rencontre. ( Solution géométrique, j
7. Même question pour les cercles passant par un point donné et tangents à une droite donnée.
8. Un triangle ABC a deux sommets fixes A et B. De plus, B =^ 2A. Trouver le lieu du troisième sommet.
9. Même question en supposant que les angles A, B, G soient liés par une équation linéaire quelconque :
a A -f- ,3B -f- yC =r o.
Condition pour que le lieu soit algébrique. Montrer que si cette condition est remplie, le lieu est une courbe unicursale.
[On cherchera les équations paramétriques, ou bien l'équation polaire, en prenant, par exemple, A pour pôle et AB pour axe polaire.]
10. Soient deux points fixes A et B. Par A, on mène deux droites D et D' symétriques pir rapport à AB. Puis, par B, on mène la
droite D" perpendiculaire à D. Lieu du point de rencontre des droites D' elD". {É. P., 1913.)
11. Soient un cercle, un point fixe 0 et un point mobile M situés tous deux sur ce cercle. Trouver le lieu du point de rencontre de la tangente en M avec la perpendiculaire en M à OM. (Cissoïde. Solution géométrique.)
12. On donne une droite fixe A et un point fixe O. Par O, on mène deux droites rectangulaires„qui rencontrent A en M, M'. Par M, M', on uiène des perpendiculaires à A, qui rencontrent OM' et OM en N, N'. En supposant que l'angle droit MOM' tourne autour de son sommet, trouver les lieux suivants :
1° Lieux de N, N' et de leur milieu;
2° Lieux des points de rencontre des bissectrices de MOM' avec MN, M'N', NN';
3° Lieux des centres des cercles inscrits aux triangles OMM', ONN', OMN, OM'N' et exinscrits dans l'angle en O.
13. Soient deux points fixes A et A' et deux cercles variables tangents à AA' en A et A' respectivement. Ils se coupent en deux points M, N. Trouver les lieux de ces points et de leur milieu quand :
1° Les deux cercles sont orthogonaux. (Le lieu de M, N' se décompose en deux cercles.)
2" Le point M décrit une droite donnée. (Solution géométrique.)
14. On donne un cercle fixe, de centre O, et un point fixe A. Par A, on mène une sécante, qui coupe le cercle en B et (]. On projette O en H sur BG et Ton prolonge 011 d'une longueur HM = IIB =: IIC. Lieu de M.
15. Soit un cercle de centre O. On prend sur sa circonférence un point fixe A et un point mobile M. On projette ce dernier en P sur AO. Lieux des centres des cercles inscrits dans les triangles OMP et AMP. (On peut employer des coordonnées polaires.)
IG, On reprend les notations de l'exercice résolu n° h :
1° Les points M et M' étant quelconques sur D et D\, trouver le lieu du pied de la perpendiculaire commune à Oz et MM'. (Conoïde de l'Iiicker);
2° Trouver le lieu de ce même pied quand MM' a une longueur constante. On cherchera, en particulier, l'équation polaire de la projection du lieu sur ^Ov;
3° Surface engendrée par MM' quand les plans (D, M') et (D', M) sont rectangulaires. Lieu des points divisant MAI' dans un rapport constant, dans la même hypothèse.
17. Soient trois axes rectangulaires Oa:yz. Sur Oj; et Oy, on prend les points fixes A et B tels que OA = OB = «. Sur 0-3, on prend un point M variable. Lieux du cercle circonscrit au triangle ABM, du centre de ce cercle et de l'orthoc Mitre de ce triangle.
18. Lieu des points de l'espace équidistanls de deux droites données.
19. Lieu des points de l'espace dont la somme ou la différence des carrés des distances à deux droites données est constante.
20. Etant donnés trois axes rectangulaires Ojryz, trouver le lieu des points de l'espace dont la somme ou la différence des distances aux deux axes O.r et 0/ a une valeur constante a. Lieu des mêmes points quand
on les suppose, en outre, à la distance — - de 0-3.
21. Soit le trièdre trirectangle Ojcjz. On prend sur les axes trois points fixes : A sur 0^7, B sur O )'. C sur O3, puis trois points mobiles M, N, P, tels que AM =: Bl\ ^ CP. Enfin, on construit les points M',
N', P', tels que ÔÂ' = ÔM . OM"', Ôb' = ÔN.ÔN', Og'=ÔP.5p. Trouver les lieux des points de rencontre de chacun des plans MNP, M'N'P' avec la perpendiculaire abaissée de O sur l'autre. Trouver aussi les lieux des centres de gravité des triangles M?SP, M'N'P', de Torthocentre et des hauteurs du triangle M'N'P'.
