Chercher le centre de courbure, à Forigine, de la courbe
y zzr. xe'^^ ^ = xe"^,
\^Cf. l'^Kercice résolu n° i. Développer les coefficients du plan norniiil, suivant les puissances croissantes de x^ en s'arrétanl au premier ordre. On peut aussi partir des développements du second ordre de j' et de z. \
t). Démontrer qu'on obtient les développantes d'une courbe gauche comme celles d'une courbe plane, c'est-à-dire en portant iMl* = — s sur la tangente en M,
7. Soit une courbe (C), à courbure constante. Soit (Ci) la courl)e décrite par son centre de courbure M, en M. Démontrer que le point IVl est centre de courbure de (Ci) en M,. La tangente à chacune des deux courbes est axe de courbure de l'autre.
[On peut démontrer la seconde propriété, d'où se déduit ensuite hi première, en s'appuyant sur la formule {\i) et le théorème III du n"333. On peut aussi donner une démonstration entièrement analytique, en taisant usage des formules de Frenet. |
8. Calculer le rayon de courbure de la courbe de l'Exercice proposé n" î) du Chapitre XVIII.
lxX''{\ H- ./;•')
On a
\z=ix^z{z'-—'à). Vy = 'ix^{?,z''-^\), C-=-ix'
COURliUl'J-: DES LI(;NES ÏFIACÉES SLIl UNE SURFACE
1. Trouver le ct'ntre de courbure de Vinlerseclion de deux surfaces.
Soient deux, surfaces (S) et (S'), qui se coupent suivant la ligne (C). Soient M un point de cette ligne, MT la tangente en ce point. Le centre de courbure C se trouve à l' interseclion des deux cercles de Meusnier relatifs aux deux surfaces el à la tangente iMT. Si O et 0' désignent les centres de courbure normale de (S) el de (S'j, qui correspondent à la tangente iMÏ, le point G est à rintersection des deux cercles décrits, dans le plan perpendiculaire à MT, sur AIO et sur MO' comme diamètres respectifs. C'est, si Ton veut, la projection orthogonale de M sur la droite OO'. On en conclut que le plan osculaleur de (C) en M est le plan perpendiculaire à 00' mené par M et (jue 00' est l'axe de courbure.
i. Connaissant le rayon de courbure d'une courbe plane., trouver celui de sa projection orthogonale su r un plan /juelconque.
Soit la courbe (F), qui se projette en (y) sur le plan horizontal (11), {Jig. 32). Nous nous proposons d-e construire le centre de courbure de (y) en //*, connaissant le centre de courbure C de (Y) en M.
Considérons le cvlindre projetant (S), ([ui admet (y) pour section droite. La section de ce cylindre par le plan parallèle à (II), mené par M est une courbe projetée en vraie grandeur suivant (y). Son centre (\'i courbure O se projette suivant le centre de courbure cherché o. Or, 0 n'est autre que le centre de courbure normale de (S), correspondant à la tangente MT'. D'autre part, le jdan (JMT' étant un plan de sxmélrio du cylindre, MT' est un axe de symétrie de l'indicatrice, c'est-à-ditc une tangente principale; MO = Ri est donc un rayon de courbure |)riiicipal. L'autre rayon de courbure principal est le rayon de courbure de
■Î.-1 CHAPITHE XXIll.
la génératrice M/;? : il est infini et le poinl M esl un point paraboli([ue {cf. n° 37'i ).
Fiï. 32.
Si l'on appelle y. langle T'MT et R le rayon de courbure normale relatif à la tangente MT, on a, d'après la formijle d'Euler (n° 330),
d'où
11, ^rr R cos-:z.
Or, R z::; .M(Jj se déduit de C par le théorème de Meusnier : le point (^, est à l'intersection de MO avec la perpendiculaire menée par C au plan de (F). Nous avons, dès lors, la construction suivante :
Après avoir déterininé, comme il vient d'êlre expliqué, le point (l,, portons, sur MT. la longueur MP = MCi. Projetons orlhogonalcinent P en Q sur MT'. puis Q en R sur jMT. Portons, sur M(Ji et da/is
la même sens que MCj, la longueur MO =; MR. Projetons enfin O en o sur le plan (H) et nous avons le centre de courbure cherché.
Remarque. — La construction inverse permettrait évidemment de déterminer le rayon de courbure de (T), connaissant celui de (y).
3. Déterminer Vindicatrice et les rayons de courbure principaux-, à V origine des coordonnées, de la surface
(i) ( .r — À) (.r--f- >•-+ Z-) -1- ;j.(/r- -I- zx -(- xy) + :; == o.
Discuter, suivant les râleurs de /. et de [J.. Cas oii /. = [J. = o.
rOURBLRE DES L'ONHS TRACÉES SUR INE SURFACE. 273
Le plan langent à l'origine est le plan des œy^ car le terme de moindre degré est z (n"20ô). Pour déterminer Tindicatrice, on pourrait, en se basant sur la théorie des fonctions implicites (t. 1, n° 135), calculer les dérivées partielles /•. s, t et ap|>liquer l'équation (9) du n° 336. Mais, il est plus simple de remarquer que le premier membre de cette équation est, d'après la formule (16) du n" 3'i-2, le double de la partie principale de z, quand on regarde ^ et y comme des infiniment petits indépendants et du premier ordre.
Pour calculer celte partie principale, nous appliquons la méthode indiquée au n" :Î33. Autrement dit, nous supprimons, dans l'équation (i), tout terme qui est, à coup sur, d'ordre infinitésimal supérieur à un terme non supjirimé. De celte manière, les termes en z disparaissent tous, sauf le dernier. Quant aux termes indépendants, ils se réduisent à ceux du second ordre. Noire équation devient, dès lors, en désignant par Z la partie principale cherchée,
Z — /. ( ,r - -f- y- ) -i - jU a; y ~-^ o ; d'où
Z = /.(.r^-i-7-j -ixxy.
L'équation de l'indicatrice est donc (•j) 2>.(a:- -f-y-) — 2,u.j:-/ ^ I.
La courbure de la section normale d'angle polaire y. est, par suite,
(3) ^ ^^ 2/.{cos- X -I- sni-:z) — 2^u. cosa sina = 2 A — ,a sin 2 a.
Ses maximum et minimum, obtenus pour y. =^ jz y , sont 2A — y.
et 2X + ;jt. Les tangentes principales sont donc les bissectrices de l'angle xOy et les ravons de courbure principaux sont
Suivant que p est compris entre — 2/. et + 2/., extérieur à cet intervalle ou égal à =h 2/., l'indicatrice est elliptique, hyperbolique ou parabolique.
Si /. :-= 'j. = o, l'équation (2) devient impossible. Dans ce cas, la partie principale de z est
IIaao, Excvcires, II. '5
Elle est du troisième ordre. La théorie de Findicalrice ne s'applique plus. Mais, la formule (3) n'en subsiste pas moins et montre que la courbure de toute section normale est nulle. Autrement dit, le point () est, pour une telle section, un point d'inilexion. (^eci résulte d'ailleurs aussi du fait que, :; étant inliniment petit du troisième ordre, la tangente à toute section normale a un contact du second ordre avec celte section (n° -219).
Généralisation. — Soit, d'une manière générale, une surface algébrique quelconque, tangente en O au plan des xy et admettant ce point pour point simple. Son équation est nécessairement de la forme
(^p{cc, y) désignant un polynôme homogène de degré /-' ^ ?. et les termes non écrits étant de degré supérieur en .r, y ou bien renfermant z multiplié par des puissances non nulles de ,î', y ou z.
Dans ces conditions, la partie principale de z est Oj,{-r., y).
Si p r:= 2, on a une indicatrice, représentée par l'équation
(7) •'■?/;(^-. /)"I• Si /) > 2, la courbure de toute section normale est nulle.
k. Une surface (S) est engendrée par des cercles ((]) normaux à un plan (II). Trouver les rayons de courbure principaux en un point quelconque de la section par (II). Appliquer ceci à la section de la surface
(i) xy{x'- + y-^z^) — x'- + y''
par le plan des xy.
Soit M un point quelconque de la section (i) considérée. La normale MN en ce point à (S), étant perpendiculaire à la tangente au cercle (C), se trouve dans le plan (II). D'autre part, ce dernier plan est manifestement un plan de symétrie pour la surface; c'est donc un plan de section normale principale. Le premier rayon de courbure principal relatif au point M est, par suite, le rayon de courbure Rj — ^ MC, de la courbe (i) au point M. Le second, Rj, est le rayon de courbure normitle du cercle (C). On l'obtient, par application du théorème de Meusnier, en prenant l'intersection C2 de MN avec l'axe du cercle; on a Rg^z: iVlG,.
Application. — Les sections de la surface (S), représentée par l'équa-
COLP.UIRE DES LIGNES ÏKACEES SLR LNE SL'RFACK. l'y
lion (i), par les plans menés par Oz sont des cercles (C). Si Ton coupe, en elTet, par le plan
C0S7 sin7 l'équalion (i) peut être remplacée par
■ in 5 cos 0
La surface (S) peut donc être considérée comme engendrée par le cei'cle (C) représenté par les équations (?.) et (3). Elle reste bien dans la catégorie examinée précédemment.
La section (i) a pour équation
en négligeant le facteur :v--^ y-. C'est une hyperbole équilatère, abstraction faite des droites isotropes de l'origine.
Si l'on se reporte à l'Exercice résolu n" S du Cliapitre XXI. on \oit immédiatement, puisque le cercle (C ) a pour centre l'origine, que les points Cl et C, ont pour milieu le point M. Les l'ayona de courbure principaux sont symétriques. En chaque point de (2), l'indicatrice est une hyperbole équilatère ; les tangentes asymptotiques sont inclinées à 45° sur le plan des xy. Enfin, la valeur absolue commune aux deux rayons Rj et Ro est. en se reportant encore à l'Exercice précité et rétablissant une homogénéité intermédiaire ('), •
5. Étudier les variations de la courbure de la section de la surface
(i) xix- — y--f- ;'-) + r:: = o
l)ar un plan tournant autour de Oz.
(') Si nous désignons par .'u la longueur de Faxe iransvtTSc de l'iiypeibole de rp'xcrcice n" 8, nous avons a'=i. La formule (la) de cet exercice peut alors s'ccriie, en négligeant le signe de 1«,
ÏÏm' M = — :7-a-
Elle est maintenant homogène. Tour l'hyperbole (il), qui nous inléiessc acluelle-
ment, nous avons a-=r 2. Donc W — —
i;iiAprrni'; xxiii.
L'origine est un point double jtour la surface, le cône des tangentes eii ce point étant constitué |)ar les plans ri) y et zO.r. La théorie générale :ie s'applique donc pas et il nous faut étudier le problème directement.
Coupons par le plan
La section se compose de l'axe des :; et d'une conique, dont la projection sur 5(>.7' a pour équation
Four déterminer le centre de courbure de cette conique, écrivons l é([uation du plan normal :
\ -r- ni Y
a'{i -h m-) + zz',
dz
où z' désigne la dérivée — > dont on a la valeur en dérivant l'équalion (3) par rapport à .r :
( 5 ) ■'. .r ( I — ni' ) + 'izz' -\- m z' =^ o.
Dérivons (4) par ra[)porl à j:; nous obtenons ia deuxième équation de Taxe de courbure de notre section :
(6) Zz" —i + m'--+- :
z'' étant donné par l'équation
(;) '2{i — ni') -i- ■?.zz" -{- 2.
-I- niz"=:o,
déduite de (5 ) par dérivation.
Plaçons-nous maintenant à l'origine. En faisant .r =r c =r o dans (5), nous avons d'abord z[ = o. Portant dans (7), il vient
■'. (i — m-) + nizl
L'équation (o) nous donne, d'autre }»art, la cote du centre de courbure cherché, ou, ce qui revient au même, le rayon de courbure :
m (i -I- /II-) 2 [ni- — I)
On voit que celle expression n'a rien de commun avec celle qui résulte de la formule (7 ) du n" 33V, quand on y pose tango: = m.
L'étude de >es variations ne présente aucune difficulté et donne lieu au
rOLRBlRE DES LIGNES TRACEES SLR IMC SURFACE. 277
Tableau suivant, où Ton considère seulement les valeurs positives de di. a cause de rimparité de R vis-à-vis de celte variable :
On peut aussi, si l'on veut, construire une indicatrice, en portant, sur chaque tanfrenle, une longueur OP = \ 3; H.
Celle indicatrice se compose des deux cubiques définies par la double équation
2j:(.t-— y-) ziz r .^ o.
Elles sont symétriques Tune de l'autre par rapport à Ox (ou O y) et se conslruisenl aisément. Elles ont la forme suivante (^/7..^. 33), oii l'on a
tracé en pointillé la courbe qui correspond au signe — , dans l'équation ''101.
G. Surfaces de Irandation.
On appelle surface de translalion toute surface S engendrée par la translation d'une ligne C. Considérons un point M quelconque de celte ligne, l^endant la translation, il décrit une ligne C. Un autre point M, (le C décrit, de même, une ligne Cj. Il e^t évident que C peut être
amenée sur C, par la translation M.Mj. Ceci nous prou\e que la surface p.cut aussi être engendrée par la translation de la ligne C, Donc, toute
'i~8 ClIAl'ITRK XXIII.
sur/ace de translation possède deux familles de lignes telles que les lignes d' une même famille se déduisent de l'une d'' elles par translation, chaque point engendra, t, dans cette translation, une ligne de l'autre famille.
Supposons que M, lende vers M; MMj tend vers la tangente ]\ÎT en M à G. Le cylindre qui s'appuie sur G' et a ses génératrices parallèles à MiMi devient, à la limite, le cylindre circonscrit à S le long de G'. La tangente MT est donc une génératrice de ce dernier.
Il s'ensuit, d'après le théorème de Dupin (n° 334), que les tangentes MT et MT' à G et à G' sont conjuguées. Autrement dit, les deux familles de lignes G el G' sont deux réseaux conjugués.
Tout ceci est facile à retrouver analytiquement. Soient
les équations de la ligne G dans sa position initiale.
Si l'on imprime à cette ligne une translation variable, dont les composantes suivant les axes soient ,^(r), ^i(i), g\{^'), les coordonnées de chaque point sont augmentées de ces composantes. Les coordonnées d'un point quelconque de la sniface sont donc
On peut maintenant, dans ces équations, intervertir les rôles de u et c et l'on voit que la surface peut aussi être engendrée par la translation d'une ligne <7 ^ const.
Gherchons l'équalion difTérentielIe des lignes asymptotiques. On peut prendre comme coefficients du plan langent
(3) a=f[g^-gj'^^ l>=f[-i'~g'J\ c=f'g[-g'f,. En portant dans l'équation (3:i) du n" 345, on obtient
(4) du^Wf" r r,'' IK^/''^IÎ^" /' ^-'11 = 0.
Il n'y a pas de terme en du r/.-; cela prouve que les lignes coordonnées forment un réseau conjugué (').
7. 7'/-9//iYv les lignes asymploti(iues de la surface (i) xz=u + v, yz^u-+\-'K z — U'—i--.
( ' j Le rapport anliaiiiiDiiique de quatre tungeiitcs définies par le rapport >ii = -y- est égal au rapport anliarinoiii(|ue des m, car le coeffieient angulaire do la projection sur xOy, par exemple, est une fonction honiograpliique de m.
