Réciproque de l'Exercice proposé n" 2 du Chapitre \XXY
23. Chercher les courbes définies par les équations intrinsèques :
R =z /lis (spirale logarithmique) ; R'--+- m-s-=z 1 (épi- ou hypocvcloïde) ; R-=: w-.y- it: I ; R-=:2.s; R:i^.s-+i (chaînette).
24. Trouver les courbes dont la projection du rayon de courbure sur une droite fixe est constante.
25. Trouver les courbes dopt le rayon de courbure est divisé dans un rapport constant par Ox. Cas particuliers intéressants.
MC
hn projetant le rapport Ypr ^^ '" s"'' ' \''; '^" •• "nmediatenient 1 équation différentielle qui relie a et )'. On pourra examiner les cas de m =z±:i et ± 2.
26. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel au carré de la normale limitée à O^-. Montrer que, parmi elles, se trouve une cubique unicursale {cf. n" 356, problème I).
27. Sur la tangente en M à une courbe (C), on porte une longueur
PROBLEMES DE GÉOMÉTRIE Ql I CONDUISENT A DES ÉQl ATIOXS DIFFÉRENTIELLES. JOj
constante MP zz: a. Déterminer cette courbe de manière que, du point I', on voit sous un angle droit le segment de normale compris entre O^ et le centre de courbure. Montrer que si l'on projette P en Q sur Oj:-, MQ demeure constant, quand M décrit (C). Montrer que, parmi les courbes demandées, se trouve une tractrice.
28. Trouver les courbes dont le ravon de courbure est divisé dans un rapportconstant parla sous-normale polaire. Cas particuliers intéressants.
En projetant le rapport -— sur OM, on se ramène aux courbes de lExercice proposé n° 20.
29. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel au carré de la normale limitée à la sous-normale polaire.
Une des courbes a pour équation polaire o ^^
30. Trou\ er les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel nu rayon vecteur. Dans le cas où il lui est égal, montrer que la projection du pôle sur la normale est à une distance constante du centre de courbure.
31. Irouver les couibes dont le ravon de courbure est proportionnel à p'". Montrer que si m^i, parmi les courbes cherchées se trouvent celles qui font l'objet de l'Exercice proposé n" 20.
32. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est divisé dans un rapport constant par la projection d'un point fixe sur la normale ( ]]. P., igio). (Cf. Exercice résolu n° 8.)
33. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel à la puissance m''"'' de la distance de la tangente à un point fixe. Intégrer complètement dans le cas de m zj= — 3. Dans chacun des cas /// =; 2 et m =r 3, montrer qu'il y a deux courbes qui se calculent complètement par les fonctions élémentaires.
3'i-. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est proportionnel à la distance de la normale à un point lixe.
35. Trouver les courbes dont le rayon de courbure est lié à l'abscisse par l'une ou l'autre des relations
Pv J7- rj; I . ./■ ^: P\-, R ,r m i .
)04 ClIAP. XXIV. — PROBLKMKS Ql I CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
[Parmi les premières, se trouve la chaînette; parmi les secondes, se trouve la cycloide.]
36. On considère une courbe ( C i et le cercle (F) décrit sur le ravon de courbure en M comme diamètre.
1° Déterminer la courbe (C) sachant qu'elle passe à l'origine et que (F) est constamment tangent à Ojt.
2" Trouver, dans ces conditions, le lieu (S) du centre I de (F).
3'^ Soit P la projection de I sur Oj:. Montrer que arc OM = 2 OP.
4" Montrer que les tangentes en M à (G) et en I à (S) se coupent sur Ox.
37. Démontrer les réciproques des diverses propriétés dont jouissent les cour])es étudiées aux. Chapitres XXXIX et XL.
38. Trouver toutes les hélices ou lignes d égale pente qui peuvent être tracées sur une surface donnée.
Exemples : La surface est une sphère, un cylindre parabolique, un paraboloïde hyperbolique équilatère. un paraboloïde de révolution. Dans les deux, derniers exemples, on ne cherchera que les hélices dont le cylindre rectifiant a ses génératrices parallèles à l'axe du paraboloïde.
[Si a, 3, y sont les cosinus directeurs des génératrices du cylindre rectifiant (ou de la verticale), on doit avoir
( I ) {y. cLv -r- p cl y -!- y dz )- — ( dx- -r- dy- -\- dz') cos- V.
En outre, ré(iuation de la surface donne dz = p dx H- fj dy. En portant dans (i). on a une équation différentielle en x,y.
Pour la sphère, prendre y. z=i Z z= o qI des coordonnées polaires sphériques. Pour le cylindre 2 c = u -, lorsque [3=y:=:o. la projection sur yO; est une cycloide. Pour le paraboloïde hyperbolique z^^xy^ on est ramené à léquation a? sin a -r- y cosa = A' =; const., qui conduit à une équation linéaire en x entre x et y.. Poui' le paraboloïde de révolution, les projections sur le plan tangent au sommet sont des développantes de cercle.]
39. Si le plan normal dune courbe passe par un point fixe O, celle courbe se trouve sur une sphère de centre O.
(On peut s'appuyer sur l'Exercice résolu n° 1 du Chapitre XIIL)
CIJAraRE XXV.
SURFACES l)i: RKVOI.LTION : HKLIrlo'lDES.
EXERCICES RÉSOLUS
