cos 2 6 dO

do = ZIZ :

sin 2 fj

En posant cos'iQ z=z it-. on trouve, par une iiitcgralion facile ol en négligeant une rotation arbitraire autour de O:;, ainsi qu'une symétrie par rapport à cO j?,

- arc tans a.

3. Trous er les congruences de normales donl les deux focales sont cur^'ilignes.

Considérons d'abord une surface S dont les normales sappuient sur une courbe . Une des familles de développables formées par ces normales est constituée par des cônes ayant leurs sommets sur (n°390). Soit F le sommet d'un de ces cônes. La courbe G des pieds de ses génératrices sur S a tous ses plans normaux passant par F; elle est donc sur une sphère i de centre F {cf. Cliap. XXl\', Evercice proposé n° 37), la<{uelle sphère est inscrite à S le long de G. Quand F décrit , ^ a pour enveloppe S, la courbe caractéristique étant G. Or, on sait (n°281) que cette coui'be est un cercle, dont l'axe est la tangente FT à . Donc, le cône (F, G) est de révolution autour de FT (').

Gela posé, supposons que les normales s'appuient sur une deuxième cour])e <!>'. Les cônes ci-dessus passent tous par '. Gelle courbe est donc une biquadratique ou une dégénérescence de biquadratique (n'*4^88). I.lle fait d'ailleurs partie de la caractéristique de cliaque cône ( n° 280). Or, la caractéristique du cône (F) comprend les deux droites isotropes FI et FJ menées par F dans le plan perpendiculaire à FT. I'>n effet, le cône est tangent le long de ces droites aux deux plans isotropes Tl'l et TFJ (n° 479) et, par suite, à la développable enveloppe de ces plans (2), qui est aussi l'enveloppe des cônes. La caractéristique totale étant une bi<|uadratique et comprenant déjà la conique (FI, FJ), il reste une autre conique coujiue caractéristique singulière. Gelte autre conique ne peut être (jue la courbe <!>' et la courbe <1> en est une focale (n'' o2i). En définitive, les courbes <1> et ^' sont deux coniques focales Vune de

(') Nous avons donc, en passant, l'énoncé siiivaiil : I^es seules surfaces dont les normales s'appuient sur une courbe Jixe <1> sont les /i<risj)lièrcs donl <1> est la déférente (n"281).

(-) Le plan TTI, par exemple, a pour caracLéristiqiie I'!. parce qu'il est langent en T" à <î> et en I au cercle de l'infini.

NOTIONS SLtt LKS SVSTKMKS DE DROITES.

l'autre. Quant à la surface S, elle est doultlement périsplière ; c'est une cyclide de Du pin ( ii" 587).

i. Complexe lélraédral. — C'est le complexe des droites A qu! percent les quatre faces d'un télroèJre donné ABCD en quatre points a. b, c. d de rapport anhai'monique constant on, ce qui revient au même ('). qui sont telles que les quatre plans joignant A aux quatre >ornmets aient un rapport anliarmonique constant.

Prenons le tétraèdre ABCD pour tétraèdre de référence et définis-on^ les coordonnées d'une droite quelconque par les formules ( n° 395)

^ C/. — x't - Xt\ 3 -— J '^ — yL\ ■/ r= z'I — Zt\

I l =: ^■z' — z.j', ni =z zx' — xz' , /?.= xy' — yx' ,

où {x, T, z. t) et ( j?', y\ z' . t') désignent les coordonnées de deux points quelconques M et M' de la droite. Supposons que l'on ail

et cherchons réqualion du complexe.

Un point quelconque de la droite MM a des coordonnées de la forme

X -^ y.x' , y 4- À/', •; -'- '/.z', L H- À/', i.es ). des points «, 6, r, d sont res-

X X z> t pectivement ;•> — —,■, -,-, ;• Leur rapport anliarmonique doit

être ésral à /': cela >"écrit

ou, en cliassant le> dénominateur:, et se servant des formules (i), ( 3) kl y. + ni 5 = o.

Telle est Véquation du complexe. Elle est de la forme générale ( /( j \ ly. — \i ni Z + Cny -— o,

à laquelle elle équivaut, moyennant la relation fondamentale (n° 111) ( 5 ) ly. -{- m'^ -\- ny -- o,

si l'on a A C = /. (B — C).

,,'; Cf. Cliap. L\, l'exercice proposé n° \~t bis.

33G ciiM'iTiu-: xvvii.

Le cône du complexe, de sommet M', a pour équation

(6) S \{y z'— zv') { Lf' — .ri' ) = o.

C'est un C(hie du second degré circonscrit au tétraèdre. Jja courbe du complexe silué dans le plan !!'(«', «'', it', /•') a pour équation tangentielle

{-) SA ( IU-' — ru') (tT'c' — t'd'') r^ o.

C'est une canif/ uc inscrite au tét/'aèd/'e.

EXERCICES PROPOSÉS

1. Etudier la congruence engendrée jiar la droite D ,-r=M-4-3r, y—:v--{-z(i.

On clierclicra les points et plans focaux, les développa])les, les surfaces focales, ainsi que les droites I) pour lei-(pieiles les plans focaux sont rectangulaires.

[Il est commode de poser u^=y.^, c =3: ;3-. Les droites à plans focaux rectangulaires enveloppent une parabole du plan j:z=y.'j

•2 I^ludier la congruence formée par les tangentes communes à deux paraboloïdes de révolution de même axe et de même sommet.

[Les arêtes des développables se projettent sur "le plan tangent au sommet suixant des spirales logarithmiques.]

IL Clierclier les courbes dont les tangentes sont tangentes à deux sphères tangentes et égales. (Cf. Exercice résolu n" 2.)

4. Même question pour une sphère et un cylindre de révolution dont Taxe est un diamètre de la sphère {\i. P., 1906).