Quelle est la condition pour que la droite
a--=az-\-p, y=^bz-Jrrj, où a, b, p, q sont des fonctions d'un paramètre /, engendre une dévelop-
SLRIACliS RKGLIÎES, DÉVtl.OPPABLES ; CÔNES ET CYLINDRES. 3i{)
pable? Appliquer à la droite
u'=: tz -^ ^% r = t-z -+- mi^ et trouver Farète de lebioussement.
11. Démontrer que si le plan osculateur d'une courbe passe par un point fixe, cette courbe est plane. En déduire que les jiéodési([ues d'une sphère sont ses grands cercles.
12. Si une courbe tracée sur un cùne passe par son sommet S, avec la taniiente ST. le plan osculateur en S est le plan tani;ent au cùne le lone de ST.
13. Un cùne, de sommet S, a pour directrice une courbe i;auclie C. Montrer que toute section plane de ce cône admet pour points d inflexion les points des iiénératriccs qui passent par les points de contact des plans osculateurs à G menés par S (génératrices inllexionnelles), pour poinîs doubles, les points des génératrices qui s'appuient deux fois sur C et pour points de rebroussement les points des génératrices tangentes à C.
IV. Un cercle C, de rayon 3, a pour centre le point (2, i, — i). Son axe a pour paramètres directeurs (i, — 4. a). Trouver l'équation du cône qui admet ce cercle poui- Ijase et le point ( — 1, — 3, +2) pour sommet.
11). Equation du cùne de sommet (i , i, i) et admettant pour directrice
la cubi([ue
Génératrices doubles et inllexionnelles (E. P., 1907).
16. Equation du cône de révolution de sommet S (3, 1. — 3), d'angle au sommet 84° et dont l'axe passe par le point A ( — \. — r. +1).
(Le cône est circonscrit à la sphère de centre A et de rayon AS sin^'î".)
17. Equation du cylindre de révolution de rayon 6 et dont l'axe a pour équations
X — / — ^ + 3=ro. ix -{- y — 4^ + 1 = 0.
(Cylindre circonscrit à une sphère de rayon G.)
18. Les seules surfaces développables dont les génératrices s'appuient sur une droite fixe sont des cônes. Les seules développables à plan directeur sont les cylindres.
CIIAPITUE XXYII.
NOTIONS SUR LES SYSTÈMliS DE DROITES.
EXERCICES RÉSOLUS
1. Etudier la congraence engendrée par la droite D : ( I ) œ cos u -'- V s-in // nz c, œ sin a — ■ y cos a --^- -^— •
l'aisons d'abord quelquc> leiiKUiiLier^ géoiaélriques simples.
La droite D perce JcOy en un point P dont les cooiilonnées polaires sont oj =: //. 0 z:^ r. La projection d de D sur ocOv est perpendiculaire en P à OP.
L'angle 6 de D avec d. c'esl-à-dire avec x() y, n'est autre que Fangle du deuxième plan (i) avec .rO r; il est donné par la formule
{9.) .cos{/
11 est indépendant de 11. Ceci nous montre que, si Ton fait tourner D autour de Or, on obtient encore des droites de la congruence. Aulrement dit. la congraence est de rci'olation autour de O :. (hi peut donc piévoir que les surfaces focales sont aussi de ré\o!ulion et on peut les obtenir aisément comme enveloppe des bvperboloïdes de révolulion appartenant à la congruence (n° 389). L"livi)erbol<)ïde i t) a pour équation
Son enveloppe s'obtient en éliminant v entre celte équation et l'équat ion dérivée
.NOTIONS <LK LK5 SYSTÈMES UK DUOITIJS. 33 1
L'élimination est évidenle d tlonin-
( 5 ■) ,7- -i- r- r^ //i'"-^-' ( IH \ :;'" ^ ■ •
Telle est i équation commune aux deux nappes de la surface focale^ qui sont symétriques l'une de l'autre par rapport à ocO y.
Cherchons maintenant tes développables. lilles se permutent clans les rotations autour de O ;. En raisonnant comme au n° 36V. nous pré\ oyons donc qu'elles se calculeront par quadratures.
Cherchons une fonction c de u te'le que la droite D ait une enveloppe A. Le point de contact F doit satisfaire aux équations i i) et aux é([uations dérivée-; par rapport à u :
( *> ) — .rSîil // - )' CO>U '— «■ , X CôSfl -r- >' Sin /f ^i: — fHZ ; •
L'élimination de x, y e>t immédiate et conduit à
L'cqualion diiréi'enlielle des tléveloppables est donc
0 I. à un changemenl prés de u en — //, cest-à-dirc à une symétrie prés |)ar rapport à Ox ( ').
Intégrant, il vient, à une rotation arbitraire près autoui- de < >-,
On Voit que l" droite JJ engendre une développable A quand le jniinL V décrit la spirale logarithmique
1 I II 0 r= e v'^
(') Ciiangei- « j —« clans les équiilionà (i) équivaut à chanijer >■ | — j>' et -| — z. La propriclé est également évidenle d'après les reiiianiues géonicliiques faites au dé!, lit.
ciiai'Uri: xxvii.
ou l'une de celles qui s'en déduisent par rotation autour de O ou par symétrie par rapport à O^.
Ley^o//jf /oc«/ F est défini par (i) et (7). Un calcul facile donne ses coordonnées
(l'i ) ^ := (' COS U ^=r ) y =i V [ sin //
Si l'on pose langcp =: — =, ses coordonnées polaires sont 11 \//n
et
Sa projection y sur a-Oy est le point de d tel que \0P, O// = o.
Les équations (12) sont les équations paramétriques de Varcte de rebroassement A. La projeclion de cette courbe sur .vOy est une spirale logarithmique égale à (1 i)- '-" faisant tourner A autour de O^, on ohùenl une nappe 'L de la surface focale. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette nappe satisfait ])ien à l'équation (5).
Cherchons le plan focal «I>, tangent à A le long de D. Son é(juation est de la forme
r ces u ^^ — ~ /. \ -x COS u - y sin u — 1)=: o,
>. étant une fonction de u telle que la caractéristique de ce plan soit J).
Celte caractéi'istique est définie par(i3) et par l'équation dérivée par
rapport k u :
ni zv' ■y sin u -h
X COS u
- — f- /. ( — X sin u ~r- y COS u — c' ) H- /.' {-v ces u -^ y sin u — <') =^ *^-
Celte équation doit être une conséquence des écjualions (i). On trouve que cela exige
Nous retrouvons l'équation (8) et, en supposant (9), >. = y ///. Portant dans l'équation ci-dessus, nous obtenons Véquation du plan focal ^
(i4) 00 \cosu — y/7?7sin «) +y (sin« + \/ni cos u) +
En changeant, dans tout ce qui précède, \//n en — s/m, on obtiendrait la deuxième fanillle de développabli's. Nous avon^ d'ailleurs remarqué que cela revient à faire une symétrie par rapport à O.r. Le point focal F'
NOTIONS SLIl I.KS SVSTÈ.MKs UK DROITES. 333
est symelriqiie de F par rapport à P. Il se déduit de F par une symétrie par rapport à .lOf. suivie d'une rotation de l'angle — ?. 9 autour de Oz. «Juand D décrit A, il décrit une courbe B se déduisant de A par les opéralions ci-de--îus et qui est la courbe de contact de A avec i . Quant au plan focal «!>', il est symétrique de <I> par rapport au plan (D, d), comme on le voit en cliangeant \ ni en — \ /ji dans (i4 ) f ')•
2. On do/i/ie une sphère S de ra\oii 11, et un cercle C, concentrique à S et de rayon RyÇ. Troiner les courbes F dont les tangentes s'appuient sur C et sont tangentes à S.
Prenons pour origine le cenlre commun de la sphère et du cercle et le plan de ce dernier pour jilan des x-\-.
Les tangentes aux courbes F constituent une congruence, dont les locales sont S et C.
Les développables sont les cônes circonscrits à S à partir des points de C, <|ui ne donnent pas de courbes F (-). et les développables circonscrites à S et G, dont les arêtes de rebroussement. situées sur S, sont les courbes demandées.
Soit M(^, Y, z) un point q!ielci)n([ue d'une telle couibe. Un jioiiil quelconque de la tangente a de- coordonnées de la forme .v -{- p cLv, y-r-pdv^ z — '-jdz. Le point de rencontre avec -JcOy est caractérisé
par 0=1 — -^ ; >.'s première.- coordonnées sont done
d.r dv
dz az
IvMivon- qu'elles satisfont à l'équation du cercle C :
( X dz — z dx)- -\- {y dz — ; dy )- =z o.W- dz"^ ou
dz- ( ./•- -\- y- — '> Il - I — 7.Z dz ( X dv -^ y dy ) -^ z'^{ dx"- -i- dy" 1 ^ o.
La courbe devant être située sur S. introduisons la latitude 0 et la longitude o flu point M. L'équation ci-dessus s'écrit, en divisant tout de suite par 1'»',
cos- 0 dO'-[cos'-0 — 2) -1- 2 s'in- 0 cos^ 0 dO'-
— sin-0( cos^O do- -T- sin- 0 dO'- ) rr o
(') On ol. lient un i)l;i:i C(jnjugiié liairiiouiquo <!«• 'I' jjar rapport aux dmix plans rf-elangtilaires DV d et l>l'0.
(-) Leurs courbes de cnniact sont les trajectoires orthogonales des coiuln-.s r.
33} CIIAI'ITH!: WVII.
