Montrer que la congruence

.'U une congruencr de normales. Tiouver les surfaces S dont elle constitue les normales. Montrer (|ue ces surfaces peuvent être engendrées par des biquadratitjue?. Calculer les é(|uations paramétriques de leurs lignes de courbure.

[Les biquadratiques sont les lignes p = const. L'équation diflérentielle desdéveloppables est une équation de Clairaut ( t. I, Cliap. XV, Exercice résolu n" G) pai- rapport à u- et t •-. Les lignes de courbure se calculent en fonction de p.]

9. Montrer <|ue les tangentes communes à deux (|Madri(|ues liomofocales forment une congruence de normales.

[Les plans focaux sont reclangulaires. (Cf. l':xercice résolu n° 3.)J

10. Théorème de Mdlus. — Des rayons lumineux se réfractent à travers une surface quelconque S. Montrer que, s'ils formaient primitivement une congruence de normales, il en est encore de même après la réfraction.

[ Vvec les uolalions du n» 38j, [»rendre pour j:-, y, z les coordonnées du point d'incidence I. Pour calculer les cosinus directeurs du rayon rotracte, considérer un vecteur i porté sur le rayon incident et un vecteur H porté sur le ravon réfi Mclé. Leur somme géométrique est normale à S.

Géomélriquemi lit, on peut considérer la sphère de centre 1 et dont l'enveloppe est une des surfaces normales à la congruence donnée; puis, la sphère concentrique et de rayon n fois plus grand.]

11. Soient deux eomplexes linéaires: S = o, S' = o. Les complexes linéaires

foriueiil un faisrenu . (|iiand /, varie. Montrer que. parmi eux, se trouvent fleu.c complexes spedau.c [n° 125). En conclure que les droites communes à deuN. complexes liuéaires s'appuient sur deux droites fixes. Elles forment une coni^riience linéaire.

Haac. — Exercices. II. 2j

338 CHAPITRE XXVII. — NOTIONS SIR LKS SYSTÈMES l»E DROITES.

12. On joint le point ni [x, t, o) au point M «le coordonnées

Montrer que la droite obtenue engendre une congruenci' linéaire et trouver ses droites focales. Calculer Féquation générale des complexes linéaires qui contiennent cette congruence.

!3. On reprend la cubi([ue de l'Exercice résolu n° V du Chapitre XIV . Montrer que si l'on établit entre deux de ses points M et M' une correspondance biquadrati(]ue et involutive (n° 567), la corde MM' appartient à un complexe linéaire et réciproquemenl. Cas de la correspondance liomograpliique; cas où M' se confond avec M. Si la correspondance est liomographique et involutive, la corde MM' appartient à une congruence linéaire. ( Introduire p ^ t -\- t gX. q ^= tt' .)

li. Etudier le complexe tétraédral (Exercice résolu n" '*.), lorsque le tétraèdre ABCD est formé par un Irièdre trireclangle Oxyz et le plan <le l'infini. Montrer qu'il existe une infinité de quadri((ues Q jouissant des propriétés suivantes :

1° Toule droite D du complexe est perpendiculaire à -a conjuguée par rapport à Q et réciproquement;

2° Toute droite D est un axe de >ection plane de i) et réciproquement;

3° Toule droite D rencontre Q en deux points où les normales sont concourantes et réciproquement:

'i" Les <lroites D sont les normales aux quadriques O.

15. Démontrer que si une cubique gauche est circonscrite au tétraèdre ABCD. toutes ses cordes appartiennent à un complexe tétraédial.

16. Etudier le complexe de l'Exercice résolu n° i du Chapitre \ III.

17. Etudier le complexe des droites de moment <onstant par rappoit à un système de vecteurs.

18. Démontrer que >i les tangentes à une courbe C appartiennent h un complexe, le plan oscillateur en M est le plan tangent au cône du complexe de sommet M, le long de la génératrice MT. i Cf. Cliap. \ 111, Exercice résolu n° k.)

TRANSrOr.MATIONS.

EXERCICES RÉSOLUS

!. Soil une fonction Z ^=f(z) de la variable complexe z^ x -r- iy. [il point m (\r, y), on fait correspondre le point ÎNI (X, Y), X et iY désignant la partie réelle et la partie imaginaire de L. Les coordonnées étant supposées rectangulaires, montrer que la transformation ainsi définie est conforme.

Différenlions la fonction donnée :

d'L =: dX. -T- id\ ::zz f [ X -\- iy) {dx -i- idy).

Changeons i en — i, en désignant jiiir/, la fonction conjuguée dey"( ' ) •

d\ — id\ ■=^ f\ i X — iy) { dx — idy i. Mulliplions membre à membre :

fl\- — d\' z=z f ( X 4- iy )f\ {X — iy) i dx- -t- dy-) z= '/. {dx- -i- dy'-).

Les élémenls linéaires sont proportionnels; donc, la transformation f<l conforme ( i\° 399). On démontre ([ue c'est la transformation conforme la plus générale du plan en lui-même.

2. Au point m de la sphère^ de longitude o et de colatitude 0, on fait correspondre le point M du plan, de coordonnées cartésiennes rectangulaires

/ =^ loiî tang -} y =-- o.

Montrer cjue la carte obtenue conserve les angles. Comment peu l-on en déduire toutes les cartes jouissant de la même propriété'.^

I ' ) Si / est il coefliiieiUs réels, f^^f.

J-|0 CIIAI'ITRK WVIII.

On a

d^ = dx- -+- a y- ---- . , -f- c/'j- — ryidh- + SI 11- 0 ^Aj- ) = —. — ■

siti-y ' siu- 7 ' ?iir^ c

La Iransfornialion c^t conforrrif el Je rapport de slniililiidt^ des petites

figures homologues est -^ — ,• Au voisinage de l'équateur, ce rapport est

voisin de i et varie très lentement. Mais, quand on s'approche du pôle, il tend vers rinfuii. La carte considérée est donc surtout avantageuse pour représenter les régions équatoriales. Elle est connue sous le nom (\e projection de Mercator. Elle transforme les méridiens et les paralrallèles en droites rectangulaires.

Pour avoir la repré>entalion conforme la plus générale tle la sphère sur le plan, il suffit de faire d'abord une projection de .Mercator, puis une transformation conforme quelconque du plan en lui-même, définie, par exemple, comme à ri'^xercice précédent.

3. Démontrer que toute projection conique d'un plan O sur un plan q établit^ entre ces deux plans, une transformation honiographi(jue.

Soient M,. Mj, AL. M, quatre points quelconques de Q et /?*,, m.^^ />«,, //«; leurs projections sur q. Considérons la transformation homographi([ue T qui fait correspoiulre les points mi aux quatre points M, (n'' 403 ). Je dis que Thomologue m de tout point M de 0, dans cette transformation, coïncide avfc In projection /// de M. En efl'et. prenons d'abord M à l'intersection 1* de M, Mo el de M3M;: m et ni' coïncident avec linlerseclion p des droites homologues ui^ni^ç,l m.,m'^. Prenons maintenant M n'importe où .sur M1M2; m et m' sont sur m^mo et les rapports aiiharmoniqiies (m,/».,/:»/?? ) et {niyin^p m) sont égaux, comme égaux tous deux à iMiMoPM ). I>onc, ni et m' coïncident. On aurait une conclusion analogue en prenant INI n'importe où sur l'une des cinq autres droites joignant deux à deux les quatre points M,. Prenons enfin M n'importe oii dans le plan Q. Menons une droite quelcon<|ue passant par M; elle rencontre trois des droites ci-dessus en trois points A], Aj, A3, qui ont mêmes homologues a^, a^, a-^ dans la transformation T et la projection. On a («, <:/2«.3''* ) ^^ iaïa^a^m')', donc, ni el m' coïncident, c. Q. F. D.

Chasles a démontré que, réciproquement, deux figures planes homographii/ues peuvent toujours être amenées en perspective l'une de l autre. C'est [)Our cela (|ue les propriétés qui se conservent dans la liansfonnalion homograplii(|ue sont aussi appelées propriétés projcctives.

ï. On fait deux /looiologies crâne même figure plane par rapport à deux centres 0.0' différents et açec un même axe A. Montrer que les deux figures obtenues sont ho ma logiques entre elles, ai'ec l'axe A.

Soient M un point quelconque de la figure l- . et m et ni' leurs liomologues (Jig. Sj). La droite m ni' rencontre 00 en O'. Applic[uons au triangle OO'.M et aux deux transversales A et mm' O' le théorème de Ménélaiis généralisé f Ghap. X, Exercice proposé n° 1) :

(00' AO') X iO'MP'nï) x (MOP/«) =. i .

Les deux derniers facteurs sont constants (n" iOo); donc, aussi le premier et le point O" est fixe.

Appliquons maintenant le même théorème au triangle Wniin' et aux transversales A et OO'O":

im'mpO") X (/?<MI*0) x > Mm'PO') — i.

Ceci nous prou\e que i 0'/>nim' ) est constant; donc, la correspondance entre m et m' est Ijien une homologie d'axe A et df centre O".

fie/narqtie. - Lor-que A est à Tinfini, on a un théorème bien connu sur Ihomolliétie.

o. Démontrer le théorème de Pascal (n° oG8), au moyen d'une transformation homographique.

Soient a et i3 les points de rencontre des cotés 12, 45 et 23, 5(). La droite a[3 rencontre la conique en deux points 1 et J, que nous envoyons aux points cycliques. Notre conique devient un cercle et a, j3 vont ;• rinfiiii. \ous avons alors la figure ci-dessous i/iff. 38) et il s'agit de

prouver que les droites S/j et Gi sonl parallèles, sachant que 12 est parallèle à 45 et 23 à 56. Or, cela est évident, car les arcs 36 et 14 «ont égaux parce que i'\ = 52 et 53 = 26.

(). Démontrer que toute cuhi<jue gauche F' peut être transformée homographiquement en In suu'ante :

examinons quelles sont les propriétés particulières de T vis-à-vis des axes de coordonnées. D'abord, elle est tangente en O à Oa: et osculatrice à .vOy. Puis, elle passe par le point G à l'infini sur O^. La tangente en ce point est la droite de l'infini de yOz; elle rencontre .rOj' au point ]> à l'infini sur Oy. Le plan osculateur en C est le plan de l'infini; il rencontre la tangente en O au point A à Tinfini sur O.r. Enfin, la cubique V passe par le point F 1 i, r, i ).

Cela posé, prenons, sur F', trois points quelconques O'. C'^ F'. La tangente en O' perce le plan osculateur en C en un certain point A'. La tangente en G' perce le plan osculateur en O' en un certain point B'. Faisons une transformation homographique telle que les cinq points A', F>', C, O', F' deviennent les cinq points A, B, C, O, P (n° h02). Notre cubique F' devient une cubique 1" ayant sept points communs avec F, à savoir trois points en O, trois points en G et un point en F. Elle coïncide donc avec F (Cliap. XXXII, Exercice proposé n° 9 j.

7. Tiouver l'enveloppe des coniques T semblables à une coniqur donnée et circonscrites à un triangle .\BC.

Les coniques T peuvent èlie caractérisées par la condition que leurs directions asymptotiques font un angle constant V. Faisons une transformation par points inverses, le triangle fondamenlal étant ABC. La conique F devient une droite A rencontrant le cercle circonscrit S en deux^ points vus sous I angle \ de chaque sommet. Cette droite enveloppe un cercle S' concentrique à S. c'est-à-dire bitangent à S aux points cycliques. Si Ton revient maintenant à la figure primitive, on voit que Venveloppe des coniques F est une quai tique Q bitangente à la droite de l'infini aux points cycliques et admettant les points A, B, C pour points doubles (n° k\k).

Examinons quelques cas particuliers.

Si les coniques F sont àt^ paraboles, S' se confond avec S. et 0 se réduit à la droite de l'infini, conformément à la théorie des points limites ( ' >. Si les coniques F sont des hyperboles équilatères, le cercle S' se réduit au centre O de S. Donc, les coniques passent par un quatrième point fixe, qui est l'inverse de O, c'est-à-dire l'orthocenlre, ainsi qu'on le vérifie aisément par la Géométrie élémentaire. On retrouve une propriété bien connue ( n° 505).

Supposons le triangle équilatéral et l'angle V égala 60°. Le cercle S' est alors le cercle inscrit. 11 s'ensuit que Q admet A, B. C pour points (le rebroussement. D'après la formule de Pliicker ( n° 212), elle est de la troisième classe. C'est donc une hypocycloïde à trois rebroussenients (n°602i.

8. Équation d'une courbe anallagniatique. — Soit une courbe anallagmatique A, dont le pôle d'anallagmatie est pris pour origine et dont la déférente a pour éf(uation

(i) f(ci,Z)=o.

I^es cercles bitangents ont pour équation gânérale

y., 2) devant satisfaire à l'équation (n et y désigmnt une constante. L'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant a, S entre ( n, (2) et

IX iy

(') Les points limites sont A, H. C et le point à l'infini. Il n'y en a pas d'autres^ [)aisqu"il n'}' en a que quatre en tout ( n" 276).

344 CllAPlTRK XXVIII.

Mais, obser\ons que si l'on pose

— 2.rr^ «, — ■>./ — c, .f- + y- -H ;/ - (v,

on a exaclement à faire les mêmes calculs que si l'on voulait obtenir l'équation langenlielle de la courbe d ). On conclut de là que si

est Véquation langenlielle de la déférente, Véqualion de la courbe A s'écrit immédiatement

V ( — nx, — ■^./, .r- +.V- 4-71 o-

9. Projection stéréographique. — Considérons la sphère S de centre O et de rayon i. Prenons le point P ( o, o, 11 et projetons la sphère, à partir du point P, sur le plan des xy. Celte projection porte le nom de projection stéréographique. Ce n'est évidemment rien autre qu'une inversion de centre P et de puissance î. On peut donc lui appliquer toutes les propriétés classiques de celle transformation. En particulier, elle conser^'e les angles et peut servir à faire une carte de la sphère. Elle projette les cercles suivant des cercles, les méridiens suivant les droites passant par O et les parallèles suivant les cercles de centre O.

Calculons les coordonnées ( ^1 jr 1 du point //*, projection i\u point M de longitude o et de colalitude B. Il est aisé de voir géométriquement, par la considération du triangle rectangle P0/«, dont, l'angle en P

égale — 5 que les coordonnées polaires de m sont

On a donc

0 ■=. col — 1

X =: COt - COS O,

col — >in

formules qu'il serait facile de déduire également des formules généroles (48) du n° 4.21, en transportant Torigine au point P.

Vérifions que la Iransforniation est conforme jur le calcul de l'élément linéaire ( n" 399 1 :

f/i- =r dcj"- -f O-t/'jJ* :=:

+ col- - d'S)^-

\ sin'

r/S- H~ '1 sin'- — COS- - d'J-

dO'^s\n'Odo-