I MU

TU ANSKOR. MATIONS.

Si f/<r désigne rélément linéaire de la s}>hère, on voit qu'on a

(^) cls

■ ,5 2 sin--

II y a bien proportionnalité autour de cliaque point et le rapj.ort de

similitude des petites figures homologues est -■ Il croît de i à co,

2 sin- -

quand B décroit de r. à o.

10. Equation d'une suif ace anallasmatique. Soit la surface A enveloppe de la sphère ' ï ' =c- -!->''-)- c- — 1 y.x — 3 5y — ly z -i- o - 1 n,

où 0 désigne une constante.

Si la déférente est une surface, on trouve, en répétant le raisonnement de l'exercice 8, que l'équation de A s'obtient en remplaçant, dans l'équation tangentielle de la déférente, u par — 2.r. c par — 21, \v par — 2-: et /• par x- -f- y- h- z' — 0.

Examinons maintenant le cas où la déférente est une courbe :

Si nous posons encore u =^ — 2x, etc., nous avons à éliminer y., 3. y, dx, d'^, d-j, entre les équations (21 et les suivantes i n" 28 V ) :

' •' • u y. -^ (• 3 -;- ivy -f- ;• ^: o,

' I ) f'x ^2c -F /^a dl ^ f:, d-j ----- (), -; dy. ^ g^ dp -f- g'... dy = o,

iÔ) udy. M- K-d'b -h iT'f/y nr o.

Or, les équations f3i et ( 5 ) expriment que le phin 1 «, r, n , /• 1 est langent à la courbe. L'élimination ci-dessus doit donc nous conduire à l'équation tangentielle de la déférente et la règle donnée plus haut convient aussi lorsque la déférente est une courbe.

Il convient d'examiner à part le cas oii la déférente est une surface dévelojipable, puisqu'il y a alors deux équations langenlielles, ce qui conduit à deux équations poui- A et semble indiquer que l'enveloppe est, non plus une surface, mais une courbe.

Si (rt, b, c) sont les coordonnées d'un point quelconque M de l'arête de rebroussement I! de la déférente, coordonnées fonction d'un para-

3 (6 ciiAi'iruii xxviii.

mètre l et si a' , l>\ c' désignent leiiis dérivées par rapj^ort à ce paramètre, l'équation (i) ])reiid la forme

(6) X- H- J^ H- :;- — :i{(( + rja')œ — ^ 2(A -H pb')y — 2 (c + pc'j - +o -!- o,

p désignant un deu\.ième paramètre, indépendant de l.

En dérivant cette équation par rapport aux. deux paramètre-, on obtient

D'ailleurs, en tenant compte de (7), (6) s'écrit

(9) a- + /- 4- c- — 2 a.i- — •?. by — ic z -\- 0 ^o.

II n'y a plus trace du })aramètre p et nous vovons que les points limites de chaque sphère (6) ne sont autres que les points de contact du cercle limite de la sphère (9) avec son enveloppe ( n° 287). L'enveloppe A se réduit donc, dans ce cas, à une courbe anallagniatique, enveloppe des cercles liinUes des sphères qui ont leurs centres sur l'arêle de rebrousse ment R de la déférente.

Nous voyons, en déûmtive, que notre règle ffé/iérale permet d'obtenir toutes les sur/aces et courbes anallagmatiques. {Cf. Chap. XIX, Exercice proposé n° 21.)

Remarque. — Les équations (7) et (8) représentent la perpendiculaire menée par O au plan osculateur en M à H, c'est-à-dire au plan langent à la déférente. I^es deux points limites sont donc symétriques par rapport à ce plan tangent, comme dans le cas général ( n° 285).

11. Polaires réciproques par rapport à un cercle. — Soit le cercle directeur F, de centre O et de rayon R. A tout point M correspond la polaire P (fig. 89). On sait que cette droite est perpendiculaire à OM en un point N, qui est conjugué de M par rapport à Y. On a donc

Les deux points M et N sont inverses Fun de l'autre, si l'on prend F pour cercle d'inversion. On conclut de là le tliéorème suivant :

La polaire réciprfxjue d'une courbe par rapport à un cercle F est l'inverse, par rapport à ce cercle, de la podaire de la courbe par rapport au centre de F.

Considérons mi deuxième point M', sa polaire P' el le point N'. On a

ÔÂÏ . ô^ ^ ÔÂF . ÔY' ;

d'où

OM OiV ÔXP ~" 0.\ *

Le triangle OMN' est donc semblable au triangle OM'N. Les droites P' el P perpendiculaires, en des points homologues N' et N. à des droites

homologues ON' et ON. sont des droites homologues et, par suite, aussi les distances MO el M'()'. On en conclut l'égalité

MQ OM