I.A nrtOITE EN GKOMETBIE l'LA.VE. J

IVjur que o<-> équations admelleiil des <oliilion>« non nulles «-n À. u. v. il faut el il suffit que I <.n ail (t. I, n° 292)

OU, en développant par la ivgle de Sarru- (t. I. n" 280). (10) PsQ.Rî-PîQîR.^o.

Or, on a. en gardant les notations de plu- haut et ^e reportant à l'exer-

cice précédent.

Ro'

d'oi

Moyennaiil (luoi. la condition (10) apparaît comme identi«pie à (6). o. Le faisceau

( I ) X- —Zxy — 2 V- -4- >. ( 3 X* — 4 -^y -^- y- ) — o

coupe la droite D

IX — jy-t-5=:0

aux deux points A et H. Par V on mène la perpendiculaire à O.V et par B la perpendiculaire à OB. Ces deux perpendiculaires se rencontrent en un point M, dont on demande le lieu, quand À varie. Déterminer la région de ce lieu où se trouve M, quand A et B sont

réels, ainsi que tes positions de M pour lesquelles Fangle AOF. est droit ou bien égal à 28".

Pour déterminer M en fonction de À, on pourrait songer à calculer séparément les coordonnées de A et de B. pour former ensuite les équations de AM et de BM. Mais une telle méthode serait impraticable, car il est impossible de séparer analytiquement les points A et B, sous peine d'introduire des radicaux qui compliqueraient énormément les calculs.

Voici une méthode indirecte beaucoup plus simple. Observons que les points A et B sont à l'intersection de la droite D avec le cercle (G)

décrit sur OM comme diamètre. Nous allons nous donner les coordonnées a, (3 du point M. Nous formerons ensuite l'équation du cercle (C), puis celle du faisceau qui joint l'origine aux points de rencontre de D et de (C) (n" 78). Nous identifierons ce faisceau avec le faisceau (i).

L'équation du cercle (G), qui passe à l'origine et a pour centre le

point ( -j - ), s'écrit (n° 162)

(3) x^-hy- — a.r — ^y=zo.

Eliminons la variable d'homogénéité enlre (2) et (3) :

(4) 5(.3?^ + j^) + (a^+^y)(2^-y)^o, Identifions avec (i) :

Pour trouver le lieu du point M, on peut soit éliminer 1 entre ces équations, soil les résoudre par rapport à a et (3. A cause des questions auxquelles nous aurons à répondre ensuite, employons la seconde méthode.

Multiplions les deux termes de chacun des trois rapports (5) respectivement par I, 4 et 2 et ajoutons les numérateurs entre eux et les déno-

minateurs entre eux ; nous obtenons le rapport égal — r —■ Le premier

rapport nous donne ensuite a et le second 5. On trouve, tous calculs

laits,

.^. — 45— 4o}. g i5 + 3oA

Ces formules peuvent s'écrire

r — 4o/J. -^ + 3ou.

en posant

Donc (n° 23j, le point M divise le segment MoMj dans le rapport (g) MMo__i3

L\ DROITE EN GEOMETRIE PLANE. Sg

M,, el Ml avant respeclivemenl pour coordonnées ( — -rr» H 7; ) et

\ lô lôj

( — 40, 4- 3o). Quand À varie, te lieu de M est la droite Mo.M,.

La condition de réalité An faisceau (i) est

(3 + 47)2-4(1 + SX) (/. - 2) > o

/. doit être extérieur aux racines du trinôme ci-dessus, qui sont — o,4

et — io,<). Autrement dit, tttt- doit être extérieur à l'intervalle

-MM

( ^, -^ ) ou (i,?.3; 32,5).

Vio,6 0,4/

Dans ces conditions, .M reste extérieur au segment -M2M3, M2 et Mj ayant pour coordonnées respectives les valeurs (6) pour À =: — 0,4 et — 10,6, soit ( — 1,3 ; -h 0,238) et (-1- i58, — 126).

Les rayons du faisceau (i) sont rectangulaires pour (n° 79)

I — î H- /(3 + i) = o ou /. = -•

Le point M correspondant a pour coordonnées ( — 4)i5; -(-1,7). Calculons Fannie \ d-a faisceau pour une valeur quelconque de 7. Les coefficients angulaires des deux, rayons sont donnés par l'équation du second degré

Si îu et ni' sont les deux racines, on a (n"68)

m — ni

tangV