Etant donnés la droite

(i) P = Ax -+- By -4- C = o

et les deux points M,(j7i, yj), M,{x,, j\). trouver le rapport suivant lei/uel la droite (P) divise le sep:menl M,M„.

Soit M le point de rencoiilre de {V ) v\ dr M,i\Io. Si Ion pose

■ ' ' 7T= — À. on sait (ine les coordonnées de M sont (n" 23 MM,

l'orlanl dans (i). uou> obtenon- ré<|ualion (|ui doit nous donnei' / :

K{x^-^lx,) -f-H(r,-^>.7,)-+-C(n->.) = o■ On en liic

en appelant P, ce que devient I' .luanJon^- remplace .r, v par ^,-,.7,. Nous avons la formule

mm; w

MMÛ ~ 1*2

h. Théorème de (^éva. — Étant donné un triangle A, A. A3, on prend les points «j sur A2A3. «o sur A3V,. ^3 5m/' A,A,. Pour que les trois droites Air/,, \,a.. A^a^ soient concourantes, il faut et il su (fit que Von ait

«1 A, O5A3 asAi

a, A3 ^sAi «3^2

Première /néthode. - Prenons i>our axe des x le côté A, A. el pour

axe des > le côté A, A3. Soient ^=zA,Ao et ^^A.As- Soient, d'autre

«,A.i <7oA, a->A, . 1 . ]

part, /,, }.2- >.3 les rapports -^=^, -^-^, -^J^ ■ Les coordonnées des

a, A3 rt->Ai «sAo

points «1, «2» «^'3 ^O'il respectivement ( n° 23)

Oïl en déduit les éf|ualioiis de A,rt,, Ajflîj, Aj^tj

(3) ^^^li l2l}^,^o (no70);

<4) ^ i-^^4 i:=zo (n^TO).

'■3 5C fJ

Il s'agit (rex})rimer que ee> trois droites sont coiicouranle>. < )ii pourrait le faire en suivant les méthodes du n° 80. Il est un peu plus simple de procéder comme il suit :

En relrancliant (4) de (3). nous obtenons la droite qui joint l'origine au point d'intersection des droites X^d^^ ^i^d, ("i" 78), soit

Four (|ue les trois droites soient concourantes, il faut et il suffit que les droites (5) et (2) coïncident, ce c|ui se traduit par

(6) r l->.i/.2— o ou >.,/2/.3 = 1.

Deuxième mélhode. ~ Prenons des axes rpielconques. Soient

les équations respectives de A,«.. A, a,, Aja.j. Pour que ces droites soient concourantes, il faut et il suffit que l'on puisse trouver trois nombres À, p.. v non tou< nuis donnant lieu à l'identité (n° 80)

(8) /,p + p,Q + vR = o.

Or. pour expiimer (|ue la fonclion linéaire en .r. )-, (jui est an premier membre, est identiquement nulle, il sufHt d'exprimer qu'elle est nulle pour les coordonnées des points Aj, A^, A3, non en ligne droite ('). On obtient ainsi, en remarquant que P, = Q.^ =r R,^: o.

(9) pQ, -f-vR,=:o, aP,— vR. = o. ÀP3-^;j.Q3 = o.

(') (Jar, si une fonction !iné;iirc / de ^, y n'est pas icientiqiiement nulle, elle ne peut s'annuler que pour les points d'une ligne droite, à savoir la ligne droite représentée par l'équation / = o.