Même question pour le point {t, — i) el la droite
k. Soient les deux droites
ntx + ( 2 />? — I ) y + 3 = o , {401 — -)x — ( /« + 2 )y — S = o .
1° Déterminer /n pour qu'elles soient perpendiculaires et calculer, dans celte hypothèse, les coordonnées de leur point de rencontre.
2° Délerminer jn pour qu'elles soient parallèles et calculer, dans celle hypothèse, leur plus courte distance.
o. Déterminer l'angle des deux droites
G. Même question pour les deux droites
{ax + by) cos 9 -\- {bx — ay) sin 9 -\- ex -\- dy -f- /j = o , ( ex + dy) cos 9 — {dx — cy ) ûnQ -\- ax -\- by -^ q =z o .
7. Etant donnée la droite (D), d'équation 3 .r + 2 y — 5 := o ,
calculer les équalions des deux droites qui font avec elle un angle de 45° ^t qui passent par le point (2, — i). Calculer aussi les équalions des deux droites qui forment avec les précédentes un carré ayant une diage-
I,.\ DKOITE EN GÉOMÉTRIE PLANE. • 6l
nale sur (D). Calculer enfin l'équation de l'autre diagonale et la longueur du côlé du carré.
8. Par l'origine des coordonnées (supposées rectangulaires), on mène une droite OX d'angle polaire o. Sur celte droile on projette orthogonalement, en P, un point donné M. Puis on fait tourner OÂ autour de P duu angle donné 9.
1° Calculer l'équation de la droite P/.' ainsi obtenue.
2° Le i)oinl M et l'angle 9 restant fixes et o variant, montrer que Pa' passe par un point fixe M'. Calculer les coordonnées de M' en fonction -le celles de M et, inversement, celles de M en fonction de celles de M .
3° On suppose maintenant que M décrive une droite D. Montrer que \r décrit une droite D'. Prouver que D' passe par un point fixe quand 5 varie, D restant fixe.
4° On suppose au contraire que M' décrive une droite à'. Montrer que M décrit alors une droite A. Quel est le lieu de la projection de 0 sur A ([uand 9 varie, A restant fixe? (Solution géométrique.)
î). Tliéorèine de Ménélaus. — Reprenant les notations de TExercice résolu n°.V, démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que les points a,, a.,, a^ soient en ligne droile est que l'on ait
rt, A,, (7.> V3 «3A1
10. Généralisation du précédent. — Soit un polygone quelconque A, A2A3AV. . . A„. On le coupe par une transversale quelconque (P), qui rencontre Ai A, en a,, A, A3 en «,, A, A, en a^, ... A„ A, en a„. Démontrer que l'on a
rt,A, «.2A2 ^3 A3 an^n
rtjAj «2^3 «3 A 4 ««Al
[S'appuyer sur l'Kxercice résolu 11° 3.]
11. Vérifier aiialytiquement que les médianes, les hauteurs, les bissectrices, les perpendiculaires au milieu des côtés d'un triangle sonl concourantes.
Wbis. Reprenant les notations de l'exercice résolu n° i, on considère le point a\ symétrique de a, par rapport au milieu de A^Aj et les points analogues a\^\. a\. Montrer que si les points «,, «., a^ sont en ligne droile, il en est de même de a',, «(,, a\.
12. Ebant donné le triangle AjAgAs, par un point O de son plan, on mène les perpendiculaires à OAj, OAj, OA3 . Elles rencontrent respectivement AjA^, A3 A], A, A, en a^, a^, aj. Démontrer que ces trois points <^i) ^2: <^3 sont en ligne droite.
[On pourra s'appujer sur le théorème de Ménélaiis, en se servant de rExercice résolu n<» 3, l'origine des coordonnées étant, d'autre part, prise au point 0.]
13. Même exercice, en remplaçant la perpejidiculaire à OA, par la sj-métrique de OA, par rapport à une droite fixe passant par O ou, plus généralement, pa-r la conjuguée harmonique (n" 132) de OA/ par rapport à deux droites fixes passant par O.
[Prendre ces deux droites lixes^pour axes de coordomuées.].
