On considère les deux plans
P = oc a: + ;3/ H- y ^ = o ,
I** Déterminer a, j3, y pour qu'ils soient parallèles.
Les plans ainsi obtenus forment un parallélépipède dont on calculera les coordonnées des sommets, ainsi que le volume.
2° (Quelle relation doit exister entre a, [3, y pour que (P) et (Q) soient perpendiculaires ? Montrer que les dièdres droits ainsi formés se répartissent en deux familles, pour chacune desquelles chaque face du dièdre passe par une droite fixe.
\° Les conditions de parallélisme des plans (P) el (Q) s'écrivent (n°8o)
Prenons pour inconnue auxiliaire S la valeur commune de ces rapports. Nous avons les trois équations
aS — [3-f-y = o, a — [3S — y = o, a — 73 — y S
Pour que ce système, linéaire et homogène en a, |3, y, admette des solutions autres que la solution zéro, il faut et suffit qu'on ait (t. I, n° 292)
ou
Haag. — Exercices, IL
66 CHAPITRE vn.
On aperçoit de suite la racine S, = i. Après suppression du facteur S — I, il reste l'équation du second degré
dont les racines sont 82=: 2, 83 = — 3.
Il nous reste maintenant à chercher les valeurs de a, (3, y qui correspondent à chacune de ces trois racines.
Racine Si=i. — Les deu\ premières équations (3) nous donnent, par addition et soustraction,
(5) [3 = G, a r:: y = I, par exemple.
Les équations (i) s'écrivent alors
(Pi) x-^z = o,
Racine 82= 2. — On trouve, en se servant encore des deux premières équations (3), qu'on peut prendre
d'où les équations
( (P2) 3^ — r + Ss = 0, I (Q2) 3:c— j+5^ + 5 = o,
Racine 83== — 3. — On trouve, de même,
Parallélépipède. — Les six plans (P,), (Qi)) i^z)^ (Q2), (P3), (Q3), étant deux à deux parallèles, constituent les six faces d'un parallélépipède. Les plans (Pj), (P2), (P3) se coupent à l'origine, qni est le premier sommet.
Nous aurons un autre sommet A, par l'intersection de (P2), (P3), (Qi). La résolution du système linéaire formé par les équations de ces plans est élémentaire et donne, pour coordonnées du point A, :
Aj: ^, = —3, y, = — 4, 5,z=:l.
On trouve, de même, les coordonnées des points Aj, intersection de
LE PLAN ET LA DROITE DANS l'eSPACE. 67
(P:j), (P, ), (O.,), et A3, intersection dé (Pi), (Pj), (Q3):
Aj : JTjZr:!, J'2=3, -2^= 'j
Les quatre autres somnaets B,, Bj, B3, G sont donnés maintenant par les égalités géométriques
OB.rzrOAî-^OAj, OBjZzrOAs-^OAi, 0B3=:0A,-0A,,
ÔG = ÔA, -^ 5?,+ Ô?3,
dont on déduit
.>C — JT j — I — X Si ~\~ X^ — ^"" l >
^ — -Sj -h -2 "^ -^3 — ^'
Il est à remarquer que le point G est Tintersection des plans (0^), (Q2), (Q3). G'est donc le point fixe par lequel passent tous les plans (Q). L'équation Q m o est en effet de la forme (22) du n° 88 et définit un réseau de plans. Le lecteur vérifiera sans peine que les coordonnées de G annulent séparément les coefficients de a, 3. y dans Q.
Le volume du parallélépipède est égal à six fois le volume du tétraèdre OA1A2A3. (Prendre, par exemple, pour base du tétraèdre le triangle OAjA, et pour base du parallélépipède le parallélogramme OAïAqBj.) En appliquant la formule (5o) du n° 93, on a donc
Le volume absolu est m.
2° La condition d'orthogonalité des plans (P) et (Q) s'écrit (n°84)
a(y-[3)--,3(a-y)-v(a-73) = o ou
f>8 CHAPITRE VII.
Rlle se décompose en deux :
