o«V /'7 droite D définie par les équations

(i) or + Sj — 3;-f-2 = o, 6^ + 2/ + s + 1/4 = o.

1° Calculer ses cosinus directeurs.

2" Calculer sa distance MM' aw /)o//i< M(— 2, 4- 5, — i), amsf «7«e les équations de la droite MM'.

I" Les cosinus directeurs de D sont donnés par (n" 9i) :

'4 17 5o v/2985' d'où

(3) a = o,256; 6r=o,3ii; 0 = 0,914.

2° Appliquons la méthode indiquée au n" 96 (deuxième cas). L'équation générale des plans passant par D est

(4) (t-6X).r + (8-i-2>.)jK+(-3 + X)c + 2+i4>. = o.

LE PLAN ET LA DROITE DANS l'eSPACE.

Le plan (D, M ) est déterminé par la condition

— 2(1 — 6/) + 5(;S + 2/.) — ( — 3 -h X) + 2 -hl4>.

d'où A=z— ;r^. Portant dans (A), on (5) 293^-1-194^ — 148:: — 532 = 0.

Ecrivons que le plan (4; est perpendiculaire à (5) :

293(1 — 6>.) + 194(8 -+- 2I) 4- 148(3 — >.) = o ; d'où

Portant dans (4), nous avons l'équation du plan P mené par D perpendiculairement à MM :

La distance MM' est

Les équations de la droite MM' sont l'équation [ô) et la suivante, qui représente le plan Q mené par M perpendiculairement à D :

(7) i4a^4-i7/H-5oc — 7=0.

3. Soit un quadrilatè/e gauche A, A., A3 Ai. O/i prend un point quelconque Mj sur Aj A,, puis M, sur AjAj, M3 sur A3 A;, M^ sur A4 Ai tels que

^j^ m;â; mtâ; m;â; M~^

M, A, Mo A3 M3A4 M4A,

Par Mj, on mène le plan Pi perpendiculaire à AgA^. De même, par M2, M3, M;, o/i mène Pj, P3, P4 perpendiculaires à A^Aj, A, A,, A, A3. Trouver la condition pour que ces quatre plans soient concourants.

Prenons des ax.es rectangulaiies quelconques et soient Xi, y,, Zi les

coordonnées du point A,, Soit, d'autre part. la valeur commune

des rapports (i). Les coordonnées du point M, sont (n° 23)

Le plan Pj, par exemple, a pour équation (n° 88)

(.3) P.E^ (^— çO {x,-x,) H- {y—fi,) (7.3-/4) + (s-r,) (33— ^-0 ==0.

Les équations de P,, P3, P4 s'en déduisent par permutations circulaires sur les indices.

Pour exprimer que les quatre plans sont concourants, cherchons à former une combinaison linéaire identiquement nulle fn° 89). A la simple inspection de l'équation (3), on voit qu'en ajoutant les quatre équations analogues, les termes en x^ y, z disparaissent identiquement. La somme Pj -I- P, -+- P3 H- P4 se réduit donc à une constante :

Pi+ P2+ 1^3+ P4 = :^[- lA^z-^u) - ri,{y,-y,) - r,,{z,-z,)-\.

Pour que les quatre plans soient concourants, il faut et il suffit que cette constante soit nulle (*). La condition demandée est donc, en remplaçant les Ci, -fii, C/ par (2),

( 4 j i [(m^i -J- m'x.^) (X3 — œ^) + {myi + m'y.,) (7.3 —y,,)

^{mzy-^m'z^){z^ — Z',)'\ = o.

Il est bien entendu que cette somme doit comprendre les quatre crochets déduits de celui qui est écrit par permutations circulaires des indices. Ordonnons par rapport à m, ni :

m[l{xix^ + y^y. + z^z^) —l{x^x,^ + y^y,^-\- z^z^)'] + m'[2(^.:c3 4- 72/3 + 5,^3) — i(a"2^i + 7.,j4+:;,^4)] — o.

Mais on a

io) l{x^x^-^ y^y^-^- ZiZ:,)=^l{x,X:,-\- y,y,,^ z,z,^)

= 2[(^ia^3 + 7,73-H^l^3) + (-^2*-4 + 7274-+--2-4)].

M) La condition est évidemment nécessaire, puisque la somme P,-i- P;+ P3+ P4 doit s'annuler pour les cnordonnées du point de concours. Elle est suffisante, d'après le n" 89.

LE PLAN ET LA DROITE DANS l'eSPACE. 7I

Si nous appelons A le crochet de (5) et B la valeur commune des deux membres de (6), notre condition s'écrit

On voit qu'elle est vérifiée pour m z=z m'. Donc, rjael que soit le quadrilatère, si M, est au milieu de Ai A,, les plans concourent.

Si, maintenant, l'équation (7) est vérifiée pour m ■=£ m\ on a B nr 2 A et (7) est vérifiée quels (\\xQiO\Qx\\.n\ ç.\. ni' .\)onc, si les plans concourent pour une position particulière de .M,, autre que le milieu de A, A.,, ils concourent pour toutes les positions de M,. La condition pour qu'il en soit ainsi s'écrit d'ailleurs

On peut l'interpréter géométriquement. La' somme •ï'; îa--^J'/Ja -I-^/^a-

est, en effet, le produit scalaire (n° lOi) des vecteurs OA/ et OA^.. Dès lors, (8) peut s'écrire

= ÔT, . ÔA^ -^ ÔT, . ÔÂ^ ^ ÔA 3 . ÔC 4- ÔA 4 . ÔAi .

Telle est la condition cherchée.

Comme les axes ont été arbitrairement choisis et que la condition (9) exprime une propriété du quadrilatère gauche, qui n'a rien à voir avec les axes, on peut affirmer que si l'égalité (9) est vérifiée pour un point O particulier de V espace, elle est vérifiée quel que soit 0.

Prenons, par exemple, O en A,. L'équation (9) se réduit à

( 10 ) 2 Al A, . A, A. =z Al A, . A, A, -h A, A3 . A, A. .

On peut la transformer en s'appuyant sur l'égalité générale

BC'r= ÂÏÏ' — ÂC' — 2ÂB^.Â€.

Kn multipliant fio) par 2, il vient

=r âtâ:'^ Â"^:; - âtâ;'- Â~^'- Â^'- Â7Â7

do i::^::.^ -^^^' -^'kTx.; ~T7\' =i{'k^^ ^Tj:^) .

Autrement dit, la somme des carrés des quatre cotés du quadrilatère doit être égale au double de la somme des carrés des diagonales. Le lecteur vérifiera que (lo) peut aussi se mettre sous la forme

(12) A1A2.A3A4+ A, A4. AjA,^::: O,