II. Les droites isotropes issues de A ont pour équation

(c y -r- h z) (b y ^ c z) — a-yz = o.

IIL La condition pour que deux droites D et D'

u X ~.' V y -^ wz = o, a X -^ «'' >'-^ w' z =: o

soient rectangulaires s'obtient aisément en écrivant que leurs points à linfini {bw — ci\ eu — aw. av — bu) et {biv' — et', eu' — a\v\ av' — bu') sont conjugués par rapport au cercle (3). On obtient de la sorte

S(«(''-i- vu')

lab

{u u' -\- VV' -r- WW') = O

OU, en se servant de la formule

€"--= a- -\- b'— lab cosC, (6) S(f/c'T- Ptt') cosC — (««'-h cp'-i- wp'w^') = o.

Par exemple, si Ton prend pour D' le côté BG, on a c' — ip'^o; la condition (6) se réduit à

'7' // = f cosC -i- (i^ cosB.

La hauteur issue de A s'obtient en supposant « =: o, ce qui donne <• m cosB, (r 3= — cosC; d'où l'équation

V cosB =- z cosG.

1. On coupe le triangle ABC par les deux transversales abc, a' b' c {a et a' sur BC, b et b' sur CA, c et c' sur AB ). Démontrer que Ton a

(BC aa') ( ÇAbb) (AB ce) ^- 1,

et réciproquennent.

En déduire le théorème de Ménélaûs ( Chap. VI, E\.ercice proposé n° 9). (Prendre a' b' c' à l'infini.)

2. Soient un triangle ABC et deux, points M et M'. Les droites AINI et AM' rencontrent BC en a et a'; de même, BM et BAI' rencontrent CA en b et b' ; CM et CM' rencontrent AB en c et c' . Démontrer que l'on a encore l'égalité précédente. Réciproque.

3. Soient le triangle ABC, la transversale a' b' c' du n"* 1 et le point M du n° 2. Démontrer que l'on a

( BC aa ) ( CA ^ Z>' ) ( AB c c' ) = — r. Réciproque.

En déduire le théorème de Céva (Chap. M, Exercice résolu n° h).

k. Soient le triangle ABC et un point K dans son plan. On prend les

conjuguées harmoniques de BK par rapport à CBA et de CK par rapport

à ACB. Démontrer qu'elles se coupent sur AK. (l'rendre le point K pour point unitaire.)