Reprendre la question proposée n" 18 du Chapitre A

50. Reprendre la question proposée n" 19 du même Chapitre. (Pest conjugué harmonique de 0 par rapport à BR'.

Dans 2°, le milieu I de AB' décrit la droite 01; R et I décrivent des divisions homographiques. De même pour R' et le point à l'infini de la hauteur issue de R'.

Dans 3°, R et le point à Tinfini de la hauteur décrivent aussi des divisions homographiques. Pour déterminer B, connaissant ce point à l'infini, on s^appuiera sur2°.)

51. Trouver le lieu de Torthocentre d'un triangle, sachant que deux sommets sont fixes et que le troisième décrit une droite.

52. Étant donné un quadrilatère plan ARCD, trou\er le lieu des points M tels que M (ARCD) = A — const.

53. Soit un triangle isoscèle OAR(OA = OR). Par le point O, on mène une droite Oz perpendiculaire au plan OAR. Par A, on mène une droite fixe quelconque D. Par Oz, on fait passer un plan variable (P). On ])rend le symétrique M de B par rapport à (P). Trouver le lieu de la droite d'intersection de (P) avec le plan (M, D).

54. Lieu des sommets des trièdres trirectangles dont les faces passent chacune par une droite fixe. {Cf. Exercice n° 36).

COORDONNÉES TUILINÉAIRES ET TÉTRAÉDRIQUES.

EXERCICES RESOLUS

1. Pôles et polaires tiilinéaires. Pâles et plans polaires tétraédriques. — Reprenons les notations de l'Exercice résolu n° 2 du Chapitre IX. l^renons le triangle ABC pour triangle de référence. Soient ("^01 y<ii ^o) Jes coordonnées du point M. L'équation de la droite AM est"

Celle de A a, qui est conjuguée harmonique de AM par rapport à AC(/=:o) et AB(^ = o) est (n° 134)

Le point a est donc défini par le système

■ 1 =0, X zr: O.

Jo ^0 •

Il satisfait à l'équation.

Conuiu^ celle-ci ne change ])as quand on permute circulairement les coordonnées, elle est aussi vérifiée par les points b et c. D'où il résulte que les trois points sont sur une même droite !), dont (3). est l'équation.

Récij^roquemenl, si nous partons (rmic droite l> quelconque

(4) «>27 -h l'J -H IV3 =^ o,

COORDONNÉES TRILINÉAIRES ET TÉTRAEDRIQUES. I-il

cette équation est identique à (3) si l'on prend

Ces formules donnent donc les coordonnées du pôle trilinéaire de D.

Cherchons le lieu de M. quand Y) passe par un point fixe P (j^h/i, -i). Il suffi L d'écrire que l'équation (3) est vérifiée pour cZ' ^ ^i,/ = ji, s = -i et de considérer ensuite Xç^, yo, -o comme les coordonnées courantes. En supprimant les indices o, on obtient l'équation du lieu :

Xx y, z, (6) i + £i4-l-o

ou

(;) x^yz-vyxz-x-^z^xy^o.

Le lieu est une conique circonscrite au triangle de référence (n° 503). La tangente en A s'obtient en annulant le coefficient de x (n° 200) :

jK,;4-^,J=rO OU

On retrouve, aux notations près, l'équation (2). Donc, la tangente en A passe par le point de rencontre de BG avec la polaire trilinéaire de P.

Soit maintenant un tétraèdre ABCD, que nous prenons pour tétraèdre de référence. Coupons-le par le j^lan (II)

(8) ux ^ çy -^ ix'z -i- rt = o.

Si nous gardons les notations de l'exercice proposé n° 17 du Chapitre LX, le plan BT)a a pour équation

(9) UX -i- iVZ = o,

car, il passe bien par BD (n° 158) et par le point a, qui est obtenu en faisant y =: t=zo dans (8), ce qui donne précisément (9). Le plan BDa', conjugué de BDa par rapport kx=^oelz = oa pour équation

(10) UX — i\'Z z= o.

On a des équations analogues pour les cinq autres plans ADft',

Elles sont toutes vérifiées pour

UX =: vy = ivz =1 ht,

c'est-à-dire pour le point de coordonnées [ —i - •> —■> -r\-> qui est le point

\u (• tv II)

de concours des six. plans BDa', ... et que nous avons appelé le pôle tétraédriqiie de (W).

On verrait de même que le plan polaire télraédrique du point ]\I (^■q, Jo, ::o) ^o) a pour équation

Remarque. — Connaissant l'équation de la droite ou du plan de l'infini, on en déduit les coordonnées du centre de gravité du triangle ou du tétraèdre de référence, qui est le pôle de cette droite ou de ce plan, Par exemple, les eoordonnées trilinècdres normales du centre de gra-

vite sont — , — , - (n° lôo).

abc

2. Trouver V équation du cercle circonscrit au triangle de référence en coordonnées normales.

On peut arriver à cette équation par des considérations de Géométrie élémentaire. 'Nous préférons indiquer une autre méthode, qui nous paraît plus instructive.

L'équation cherchée est de la forme (n° 503)

(i) c.yz -h <^zx -\-yxy =zo.

Pour déterminer a, (3, y, nous allons écrire que les points à l'infini sur les deux, bissectrices de l'angle A sont conjugués par rapport au cercle (n° 164).

Ces deux bissectrices ont pour équations

Va\ combinant avec l'équation de la droite de l'infini (2) aœ + hy -\- cz ^r o,

on a les coordonnées des deux points envisagés; on peut prendre, par exemple,

{b -\- r;, — a: - — a) et ( c — b, a, — a ).

Annulons la forme polaire de (i) par rapport à ces deux groupes de coordonnées ( n° 432) :

COORDONNÉES TRILINÉAIRES ET TÉTRAÉDRIQUES. 123

OU

On aurait des conditions analogues, en considérant les points à l'infini sur les bissectrices des angles B et C. Elles sont toutes satisfaites, en prenant

a = fl', '^—-Ijy -/ = c.

l/équation du cercle circonscrit est donc

( 3 ) ayz -1-- bzjc -\- cxy r^ o.

Remarques. — 1. L'équation d'un cercle quelconque est

(4) ay~- -1- h zx ~r- cxy — Uix ~ by -^ cz) ( y.x -^ 5j h- y;) = o,

car cette équation représente la conique la plus générale qui passe par les points cycliques (n°o07). Si l'on prend une autre équation analogue, l'équation

représente l'axe radical des deux, cercles.