MO, MO

(Cercle d'isogonalité. )

16. Lieu des centres des cercles (G) qui coupent deux cercles donnés (C,) et (C,) sous des angles donnés Vj et Vo.

17. Soient trois cycles (C,), (C,), (C3) appartenant à un même faisceau et de rayons respectifs R,, R,, R3. Un cycle quelconque du plan les coupe sous les angles Vj, V,, V3. Démontrer la relation

OjOa RiCOsV,-t- OgOt R2COSV2-I- OiOjRsCOsVa^r o.

En déduire que les cercles (C) de l'Exercice précédent coupent sous un angle constant tout cercle du faisceau (Cj, C2) et qu'ils sont, en particulier, orthogonaux au cercle d'isogonalité des deux cycles (C, ) et (C, ) de centres 0, et O, et de rayons RiCosY, et R2C0s\,.

18. Trouver les cercles qui appartiennent à un faisceau donné (f) et

qui coupent un cercle donné (C ; sous un angle donné Yp^ — . Montrer

qu'on peut, sans changer le résultat, remplacer l'angle ^ par un autre

angle quelconque Vpé — , à condition de substituer "au cercle (C) un

I //-x j Rcos V . .

cercle (C), de rayon 7^7- et appartenant au faisceau détermine

cosN '^

par (C) et la ligne des centres de {/). Déduire de là, en prenant V'=:o,

une construction des cercles demandés.

19. Construire un cercle coupant sous le même angle donné \ trois cycles donnés. Cas où V = o. {Cf. n^lTG et Exercice précédent.)

20. Construire un cercle coupant trois cycles donnés (C,), (C2), (C3) sous des angles donnés V,, V,, V3.

[Un tel cercle doit appartenir au faisceau orthogonal aux cercles d'isogonalité des trois cycles (C,), (C,), (C3), concentriques aux cycles proposés et de rayons RiCOsV,, R2COS V,, R3COS V.j ( Exercice 17). On est dès lors ramené à l'Exercice 18].

EXERCICES RÉSOLUS

1. Etant donnés trois axes rectangulaires Oxyz^ on prend les points A sur Ox^ B sur Oy, C sur 0 z.

1° Equation générale des sphères (S) qui passent par ces trois points :

a** Soient I le centre d' une quelconque de ces sphères et Iq le centre de la sphère (Sq) circonscrite au tétraèdre OA BC Soit enfin H la projection de O sur le plan ABC. Démontrer que la puissance de O par rapport à (S) est égale à a OH. loi.

3° Démontrer que la sphère (Si), qui admet comme grand cercle le cercle circonscrit au triangle ABC. coupe suivant un grand cercle la sphère (i) de centre O et de rayon OH.

4° Démontrer que la sphère (S,), qui est orthogonale en A, B, C à (Sfl), coupe suivant un 'grand cercle la sphère (i'), dont le centre est en O et qui est tangente à (Sq).

Soit ÔÂ = a, ÔB =: Z^, OC = c.

1° Les sphères (S) peuvent être considérées comme appartenant au faisceau défini par le plan ABC et par la sphère (Sq). Or, cette dernière a piour équation

(i) x--^y--+-z- — ax — hy — czr^o,

comme on le constate en remarquant que l'équation aux abscisses de ses points de rencontre avec Ox^ par exemple, doit admettre o et « pour racines, de sorte que les termes indépendants de r, .; sont nécessairement x^ — ax ( ').

(') On peut aussi observei- que le centre a pour coordonnées — ? — > --, puisqu'il

se trouve dans les plans perpendiculaires aux milieiix de OA, de OB, de OC. En outre, il ne doit pas y avoir de terme constant, puisque la sphère passe à l'origine.

l4o CHAPITRE XII.

Kn second lieu, le plan ABC a pour équation

L'équation générale des sphères (S) est donc (n° 186)

( O ) x^ -*r y- -^ z- — ax — bv CZ — t.\ r- V H I I = o.

où À désigne un paranaètre arbitraire, qui représente d'ailleurs la puissance de l'origine par rapport à (S).

1° Les cooordonnées du centre I de la sphère (3) sont

X \ a) i\bj 2 \ c

Lorsque À varie, ce point décrit une droite, de paramètres directeurs—? -5 -1 perpendiculaire, par conséquent, au plan ABC; comme abc

cela est, du reste, évident géométriquement. Si nous orientons cette