I • T 'II

droite par les cosinus directeurs ? - — ? — > ou Ion a pose, pour

OUI bni cm *■

abréger l'écriture,

la mesure algébrique du vecteur Iq I est, en remarquant que lo est obtenu pour la valeur /, z=: o,

(6) lol=-}.m.

D'autre part, si l'on pose /t^Oll, les coordonnées du point H

sont , - — 5 l".crivant quelles veriiienl (2), nous avons

a m bni cm

ou, d'après (5),

( >ti a donc

2LI.OII =: >.m — =};. C.Q.F.D.

3° Ecrivons que I se trouve dans le plan ABC :

do il

Le point O a donc même puissance par rapport aux deux, sphères (S,) et ( — ). Il se trouve donc dans leur plan radical. Comme ce plan est aussi le plan du cercle d'intersection des deux sphères, celui-ci est bien un grand cercle de (i i.

4° Ecrivons que les sphères (i) et (3) sont orlhogonales ( n° 18o) ' A

D autre part, le ravon de ( — ) est égal au diamètre de ( So ), c'est-à-dire

Il a iyj\^^^i\^ — —z=z\^a-~-

b'- ^ C'. Le carré de ce ravon

est égal à — À. Le point O a donc même puissance par rapport à ( Sj ) et à CL' ). Le raisonnement s'achève comme précédemment.

EXERCICES PROPOSES

1. Trouver l'équation de la sphère qui passe par les points (r , 2, — i), (3. — I, o), (2, I, I ), (o, 3, I). Centre et rayon de cette sphère. Equations du cercle passant par les trois premiers points. Centre et rayon de ce cercle. Equations de son axe. Equations paramétriques du cercle, en prenant pour variable l'angle dun rayon avec le rayon qui aboutit au premier des points donnés.

2. Former l'équation générale des sphères tangentes à Ox et à Oy, Quel est le lieu des centres de celles de ces sphères qui sont orthogonales à une sphère donnée ou bien'tangentes à une droite donnée ou bien tangentes à un plan donné?

l42 CHAPITRE XII.

3. Trouver le lieu des centres des sphères qui passent par deux points donnés A et B et qui sont tangentes à une droite donnée, perpendiculaire à AB. ' (E. P., igiS).

4. Soit un trièdre trirectangle Oa^yz. Far le point A(o, o, A), On mène la droite (D), parallèle à û^Oy et d'angle polaire cp. Par le point A'(o, o, — h), on mène (D'), parallèle à œOy et d'angle polaire — o.

|0 Former l'équation de la sphère (S), (jui a pour centre un point donné I(a, jS, o) de a:Oy et dont un diamètre a une extrémité M sur (D) et Tautre M' sur (D').

2° La sphère (S) rencontre de nouveau (D) en Mj et (D) en M'j. On construit la sphère (S,), de diamètre MjM'j. Puis, on construit une sphère (S.;,), en parlant de (Si), comme (Si) a été construite à partir de (S). De (S2) on déduit de même (S3) et ainsi de suite. Former l'équation de la sphère (S„). Quelle est la limite de cette sphère, quand n augmente indéfiniment?

3° On suppose que le plan radical de (S) et de (Si) passe par un point fixe P de xOy. Montrer que les sphères (S) et (S^) passent chacune par deux points fixes : Q, Q' pour (S) et Qi, Q', pour (S,). Quel est le lieu de ces points, quand P décrit xOyl Où doit se trouver P pour qu'ils soient réels? Montrer que les droites QQ' et QiQ', percent xOy^n deux points qui forment un parallélogramme avec O et P. Lieux des centres de (S) et de (S,).

4" Montrer que, si les plans (M', D) et (M, D') sont rectangulaires, la sphère (S) passe par deux points fixes. Lieu de 1, dans cette hypothèse.

r rv . MMi ^^,11

5° On suppose que le rapport ^^^^r reste constant. Quel est alors le

M' M', lieu de I? Par tout point P de l'espace passent deux sphères (S). Où doit se trouver P pour qu'elles soient réelles ou bien orthogonales?

o. Etendre à l'espace les exercices proposés n" 5, 6. 7, 8 du Chapitre précédent,

G. On donne deux cercles (C) et (C'). Le premier est langent en O à O^ et a pour rentre le point (a, o, o); le second est tangent en O à 0/ el a pour centre le point ( — a, o, o). On prend un point M quelconque sur (C) et un point M' quelconque sur (C).

f° Trouver le lieu du centre du cercle (F) circonscrit au triangle OMM'; ■>° Calculer, en fonction des abscisses des points M et M', lerajon de (F),

la distance MM', le cosinus de l'angle MOM , la tangente de l'angle des

deux sphères (S) et (S') qui passent, la première par le cercle (C) et le point M', la seconde par le cercle 1 C ) et le point M. Montrer, en particulier, que ce dernier angle demeure constant, quand on a

OM2 4-OiVl'2rz:-«2.

3° Calculer, en fonction des abscisses de M et de M', léquation de la

sphère (i), qui a son centre sur 0:r et qui passe par M et M', ainsi que

l'équation de la sphère (1') orthogonale en M et M' au cercle (F).

Démontrer que celte dernière sphère coupe suivant un grand cercle la

sphère de centre O et de rayon 2 a.

4° On suppose que Ton a constamment .. — , =7^» ^' dési-

OM' CM " ^'' gnant une constante donnée. Démontrer que (2) appartient alors à un faisceau fixe, dont on cherchera les points limites. Démontrer également que la sphère (1') ne fait que tourner autour de Ojc. en restant égale à elle-même.

7. Étant donnés deux faisceaux de sphères ayant un point limite commun, on associe à chaque sphère du premier faisceau la sphère du second faisceau qui lui est orthogonale. Trouver le lieu de l'intersection de ces deux sphères. (Sphère.)

8. On considère les sphères (S) tangentes en un point donné A de Oar au plan zOx el les sphères (S) tangentes en un point donné B de Ov au plan JsOy. On associe les premières avec les secondes de manière qu'elles soient tangentes. Trouver les lieux de leur point de contact, de leur centre de similitude, de la droite qui joint leurs centres, ainsi que l'enveloppe de leur plan tangent commun.

(Les lieux sont des coniques et un hyperboloïde à une nappe. L'enveloppe est un cône du second degré.;