Etudier ta position de la courbe

par rapport à sa tangente, au voisinage du point f = i.

Posons t=^i — h et calculons les développements du second ordre de X el de r :

3/, ^3A2 2 — y. h — II-

^ ^ ■î-ih^li'

La tangente a pour équation

On a

Cette quantité est positive. D'autre paît, la région positive de la tangente est celle des x positifs. Donc la courbe est concave vers les / positifs.

2. Déterminer les points d'injlexion de la courbe r r= j; cot x. Montrer qu ils sont en ligne droite et (jue les tangentes en ces points sont tangentes à une parabole. ( E. P., 1918. )

On a

, .r . '• , ■'-•i'cosj"

l()6 CITAI'lTIiK XIV.

L'équation aux .v des points crinflexion est (n° •2'2l) ( :>.) tang.r ::^ ce.

Cette équation admet une racine et une seule dans chacun des intervalles I A- ^5 /. ;: -h — ) j comme on le voit en coupant la courbe

y —^ tang.r par la droite y = .v (cf. t. 1; Eaerc, Cliap. XXII, Exercice résolu n° 3). Il y a donc une infinité de points dHnfleiion.

L'éc[uation (2) s'écrit xco\.x=z\. Donc ces points d'inflexion ne sont autres que les points de rencontre de la courbe avec la droite A, d'équation J' Z= I .

En un te! point P, le coeflicient angulaire de la tangente est

y' -- cotu' — j: (i + cot^^- ) "

Il en résulte que celte tangente est perpendiculaire à 01*. Elle est donc tangente à une parabole de foyer ( > et de tangente au sommet A.

W. Déterminer les /xunts d'inflexion de la courbe

^--h mt -+ 3

Montrer qu'ils sont en ligne droite.

Employons l'équation (14) du n" 221, en prenant pour coordonnées homogènes du point couraint de la courbe : t- -r- mt -{- ?>, I {L- -^ mt-\-'i), t- -\- I ; on obtient :

t- -H mt + 3 /■' -^ mr--}-Zt t- -4- I il-^m 3/- 4- 2///^ + 3 "it I 3 / + /?i I

ou, en retranchant la troisième colonne de la première,

nit -\- i t'-' -\- mi- -^ Z l t'--\m 3t- +- 2 m/ -+- 3 :>.(

Développons suivant la première colonne : .

( I ) /??/•■* -4- 6 /' — 3 /« / — m- — 6 rrr; O.

Il y a donc /rois points d infiexion. Il s'agit de démontrer qu'ils sont

ÉTLDE DLNE COIRBE AL V0I5IXAGE d'i'X DE SES POINTS. 167

sur une même droite. Soit

l'équation de cette droite. Elle coupe la courbe en trois points, dont les t sont donnés par 1 équation

(t ( i- -T- m t — o ) ^ i- { L' -r- int- ~ ?> t) ^ tr( i -^ /- j := o. Cette équalion'doit avoir les mêmes racines que (\). Identifions :

i /' — vni -T- H- iim -I- 3 c 3 // — ir

1)1 6 — '6 m — m- — -"tj

Prenons, par exemple, r := m. (>n trouve en égalant le premier rapport au troisième, puis au second, m =. — G, puis »rr=:i2 — m-. Portant dans le dernier rapport, on trouve qu'il prend la valeur i du premier. Lidenlification est donc possible et les /mis points d inflexion sont sur hi droite (cf. n° oOM )

6x — niy -T- /??- — I 2 =1 o.

i. Dénionirer que si les tangentes à a ne courbe gauche appartiennent à un complexe litiéairc le plan oscnlateur en un point M de cette courbe est le plan polaire de M par rapport au complexe.

Prenons pour axe des z l'axe central du complexe et soit k son pas ( n° 12o). Les coordonnées du système de vecteurs (S) correspondant sont o, o, I , o, o, k. Soient JT, y, :; les coordonnées d'un point quelconque AI de la courbe, exprimées en fonction d'un paramètre t. La tangente MT

en ce point doit être perpendiculaire au vecteur S, M, de composantes: — r, x^ k. On a donc, par hypothèse, tout le long de la courbe :

(i) — yx' -r-y' x^kz=o.

D'autre part, le plan polaire du point M a pour équation

(2) v('X — x)--.r(Y— v)-^ kiZ — z.)^o.

Pour qu'il soit oscnlateur, il faut et suffit qu'on ait (n° 227)

— yx' ^ xv' ^~ k z' - o^ — yx" -^xy" -^ kz'' ^zi o. *

Or, la première de ces conditions n'est autre que (i). Quant à la seconde. elle s'en déduit par simple dérivation.

Remarque. — Les plans osculateurs à la courbe menés par un point

CHAI'ITRK \IV

donné P de l'espace ont pour points de contact les points de rencontre de la courbe avec le plan polaire de P, car le plan polaire de chacun de ces points, devant passer par P, a son pôle dans le plan polaire de P (nOl2o).

Inversement, les plans osculateurs aux points de rencontre de la courbe avec un plan (H) concourent au pôle de ce plan.

Parmi les courbes jouissant de ces propriétés, on peut citer taules les cubiques gauches. On sait, en elTet (Chap. XXVllI, Exercice résolu no6), que toute cubique gauche peut se transformer homographiquement en la suivante :

D'autre part, la transformation homographique transforme tout complexe linéaire en un complexe linéaire (Chap. XXVIII, Exercice proposé no 10). Il suffit donc de vérilier la propriété pour la cubique (3). Or, on constate que l'équation (i) est vérifiée par les fonctions (3), si

l'on prend A =z — -.

o. Trouver l'enveloppe des traces, sur œOy, des plans osculateurs à la courbe ■