COS'J

Y) ■■ (A — ;;)sino coso = o.

iG«)

Remplaçant a-, r, ^ pir leurs valeurs, nous oljtenons linalemenl

X cos o H- ^ ? i n '^ — Z >i n 2 o =1^ 3 I i .

La trace sur -zOv a pour équalion. dans ce plan,

X coso -f- \ sin 9 =: 3 M.

Elle est tangente au cercle de centre O et de rayon 3R.

[Le lecteur pourra rapprocher cet Exercice de l'Exercice proposé n° '^ du Chapitre XIII, en s'appuyant, d'autre part, sur les propriétés générales des surfaces développables (n° 372).]

7. Calculer L'éq uation du plan nsculaieur à la courbe t ^ r). t- 1

L'application des formules générales (3o) ou (3i) du n° 'liV) donne lieu à des calculs compliqués, à cause du facteur t* ~r t — i (n" 227 j. Employons plutôt la formule (34) relative aux coordonnées h<»mogène> (n° 227). Xous avons l'équation

ou, en développant sui\anl la première ligne,

(i) j:{i — St^)^(U\v^ :{3r^i6t^—o) — i = o.

Autrement. — Soit ( 9. ) A.r + B jj/ -^ C ; + D " o

léquation cherchée. l]cri\ons que léquation aux l des points de rencontre de ce plan avec la courhe, soit

admet une racine triple. Nous devons avoir, outre (3), (4) A+2B/4-D(4/3-4-i)"0,

Prenons D =: — 1 ; nous lirons succe'ssivenient, de (5). (4) et (3),

Portant dans (2), on retrou've ( i ).

T. ElucUer, au voisinage de Vorigine. la courbe

L'oiigiiie est un point double, dont les tangentes sont les bissectrices des axes (n° lî)9i. Étudions d'abord la brandie tangente à la première bissectrice. A cet effet, posons

Portons dans (0 et développons, en négligeant tout terme d'ordre inlinitésimal supérieur à un terme déjà obtenu ( n° 223). Nous avons, en remarquant que V est, a priori, d'ordre supérieur à x :

d"où

On en conclut que la branche considérée est conca^■e vers les y positifs. Passons ;i la seconde branche. Posons

Nous avons

La branche considérée admet O pour point d'inilexion. Elle est audessus de la tangente, à droite de Oj et au-dessous, à gauche.

ErCDE I) LNE COlRIiK M VOISINAGE D LX DE SES POINTS.

EXERCICES PROPOSÉS