Asymptotes des courbes

6. co(.r, j) désignant un polynôme homogène, de degré. /«, démontrer (|ue les points à l'infini du faisceau 9 =^ o sont des points doubles de la

courbe

où A et 1> sont des polynômes de degrés respectifs au plus égaux à m — i et 2/;? — 2.

7. Démontrer que si le facteur ax + j3/ figure au carré dans les termes de plus haut degré d'une courbe algébrique de degré ni, sans figurer dans les termes de degré /?* — i, il y a une branche parabolique dans la direction a r + (3y rzz. o.

.(Le point à l'infini est simple; mais il compte pour deux, dans l'intersection de la courbe et de la droite de l'infini. )

8. Démontrer" (}ue l'équation générale des courbes algébriques de degré m, qui admettent pour asymptote une droite donnée, Przr o, peut

se mettre sous la foime

P9„,i+ cp„,2=:0,

9,„, et o„,j désignant deux polynômes (|uelconques, de degrés respectifs m — I et m — 2.

(On pourra, par un changement de coordonnées, se ramener au cas où P = r. On trouvera une extension de cette proposition |dans An, n» 55. )

!>. Asymptotes de la courbe

xyi^x -H j -- a — h) -\- k{x -^y — a) {x + y — b) — kxy — o.

Équation générale des cubiques qui les admettent pour asymptotes d'inflexion (E. P., 1912).