CONSTRICTION DE? COURBES PLANES

Cherchons les asymptotes. En appliquant la méthode classique (n<^^23.ï et 236j, on trouve l'asymptote

De plus, la quantité V = ^r~y~ la pour partie principale - ^, ce qui permet davoir la position de la courbe ( n° 238).

< >n a Tautre asymptote par symétrie par rapport à O/.

Discutons maintenant l'équation par rapport à a:, en nous bornant a considérer les racines positives, quittes à compléter ensuite par svmétrie. L'équation s'écrit

La condition de réalité de x* est

i y -^ ')- — j*— 4r- — I ^o ou

y doit donc être <— 2 ou bien > o.

Pour que x soit réel, il faut en outre que x"- soit > o. (>n est ainsi conduit à étudier le signe des racines en x\ Le produit de ces racines est — V* H- 4 j2 -I- , . Ecrivons, par exemple, qu'il est positif:

ou

y*— 4/'— KO

La somme —2(7 — 1) est < o, quand j> cet > o, quand r< — 2. Nous avons donc, comme valeurs remarquables de y : —2, o, ±\l 1 -t- v5 ==: 2, 06 et nous pouvons dresser le Tableau suivant :

Produit Somme

I racine

2 racines

o racine

I racine

l^ur y — - 2,oô, on a une racine nulle et une racine é^ale à

S— 2(j^i) =1,46. J'our jz=— 2, on a une racine double égale à 1.

iSf)

La tangente au point A(i, — 2) est parallèle à Ojc, car celte parallèle coupe la courbe en deux points confondus en A. D'autre part. A n'est pas un point double, car, en coupant par la parallèle à Or, on obtient, après suppression de la racine y = — 2, l'équation j'-^ — 2/- — 2 = 0, dont la seule racine réelle est 2,309. ^^ droite X = i ne coupe donc qu'en un seul point confondu avec A.

Fi-. 21.

NN

Pour 7 r:z 4- 2,06, Tunique racine réelle este. En raisonnant comme ci-dessus, on peut prouver que la tangente en chaque point de rencontre avec Oj est parallèle à Ox.

Pour mieux guider la courbe, on a calculé les points suivants :

(y = 3, ^ — 1,94); (j = 4, .rnr 3,12); (r = — 3, ^- = 2,99); (jK = — 4, .r=^4,i4).

La courbe est représentée pfar la ligure 21 (;/-:= 5'""'),

Y. Conslruire lu courbe

Le plus simple est de tirer

îl d'étudier ses variations. En utilisant la dérivée — 7-^— rr: i — S.c^, on

dx