Construire la courbe

a.-=:r:sin2f, jrrr tang2^C05^ :

./• et y admettent pour période commune 27:. Si l'on change ^ en t. -^ t. X ne change pas. y change de signe. On a donc une symétrie par ra/vy^orf à Or et l'on peut réduire l'intervalle de variation à un intervalle

(|uelconque de longueur 7:, soit, par exemple, ( ' -, -^ - ) • Si l'on

chan<ïe t en — t. x et r changent de signe; on a une symétrie par rapport à O ( ') et l'intervalle est réduit à f o, - j- Le changement de t

en - — ^ modifie la valeur absolue de j. On ne peut donc réduire davan-

tage.

Les variations de x sont évidentes. Celles de j)^ résultent de la dérivée,

qui est essentiellement positive dans l'intervalle fo,- j- Pour / — 7?

Y^='x, r — i: d'où rasvmptote. Pour /:=o, x = y =^0, — tend vers i;

on a une branche tangente en O à la première bissectrice. Pour ^=7'

xz=zyr:^o. ' tend vers zéro; on a une branche tangente en O à 0.37. •^ X

Pour que la courbe soit mieux guidée, nous avons calculé d'autres

points, en faisant varier t de lo? en lo^'. Les résultats sont donnés dans

le Tal)leau ci-dessous :

o 10 io 3o 4o 5o 60 70 80 90

o o,3o9 o,5SS 0,809 0,931 I o,95i 0,809 o,588 0,809

o o,3>> 0,690 i,>.'.5 2,49 -^t/: — --/: — i,Sî — o.G>5 —0,224 — o,o5i

(•) D'après un théorème de Géométrie élémentaire, on en conclut que Ojk est aussi un axe de symétrie, < e qui résulte d'ailleurs du changement t \- — t.

On en déduit la courbe ci-dessous y fig. 20), sur Ia(|uelle on a marqué tous les points calculés. Il suffirait de la compléter par deux symétries par rapport aux axes. Unité de longueur : u = 25™".

Fis. 20.

'.i. Construire la courbe

iNous remar(|uons tout d'abord que l'équation est bicarrée en .r; donc, la courbe admet Oy pour axe de symétrie et. de plus, on pourra discuter pur rapport à oc.